Topologia I Wykład 12 Homotopia

More documents

Recommendations

Info

Wlasności homotopii Stwierdzenie (Składanie przekształceń homotopijnych) Jeśli f0, f1 : X → Y oraz g0, g1 : Y → Z oraz f0 ∼ f1, g0 ∼ g1, to ich złożenia są homotopijne: g0f0 ∼ g1f1 Wniosek Jeśli f : X → Y , to dla dowolnej przestrzeni Z są dobrze określone przekształcenia f # : [Y , Z] → [X , Z], f # ([φ]) := [φ ◦ f ] oraz f# : [Z, X ] → [Z, Y ], f#([ψ]) := [f ◦ ψ] . Stwierdzenie Jeśli f0, f1 : X → Y są homotopijne i C ⊂ X jest składową łukową, to zbiory f0(C) i f1(C) leżą w tej samej składowej łukowej przestrzeni Y tzn. f0∗ = f1∗ : π0(X ) → π0(Y ). Przekształcenia i przestrzenie ściągalne Definicja Przekształcenie f : X → Y nazywa się ściągalne jeśli jest homotopijne z przekształceniem stałym w pewien punkt. Przestrzeń X nazywa się ściągalna jeśli Id : X → X jest ściągalne. Przykład Podzbiór gwiaździsty G ⊂ R n (np. wypukły) jest ściągalny. Stwierdzenie Dowolne przekształcenie określone na przestrzeni ściągalnej lub o wartościach w przestrzeni ściągalnej jest ściągalne.
Przekształcenia bliskie są homotopjne Stwierdzenie Jeśli (X , T ) jest przestrzenią zwartą, a W ⊂ R n otwartym podzbiorem. Dla każdego przekształcenie f : X → W istnieje ɛ > 0 takie, że dowolne przekształcenie g : X → W dla którego dsup(g, f ) < ɛ jest homotopijne z f . Dowód. f (X ) – zwarty. Zatem pokrycie f (X ) ⊂ x∈X B(f (x), rx) ⊂ W ma liczbę Lebesgue’a λ > 0 (dowolne dwa punkty odległe o < λ leżą w pewnej kuli B(f (x), rx) ⊂ W ). Zatem jeśli dsup(g, f ) < λ =: ɛ homotopia F (x, t) = (1 − t)f (x) + tg(x) jest dobrze określonym odwzorowaniem F : X × I → W . Homotopijna równoważność przestrzeni topologicznych Definicja Przeksztacenie f : X → Y nazywa się homotopiją równoważnością jesli istnieje g : Y → X takie, że f ◦ g ∼ IdY i g ◦ f ∼ IdX . Mówimy, że przestrzenie X , Y są homotopijnie równoważne. Uwaga Każdy homeomorfizm jest homotopijną równoważnością. Przestrzeń jest ściągalna ⇐⇒ jest homotopijnie równoważna {pt}. Stwierdzenie Jeśli f : X → Y jest homotopijną równoważnością i Z jest dowolną przestrzenią, to f # : [Y , Z] → [X , Z], f # ([φ]) := [φ ◦ f ] oraz f# : [Z, X ] → [Z, Y ], f#([ψ]) := [f ◦ ψ] są bijekcjami. W szczególności f definiuje bijekcję zbiorów składowych łukowych f# : π0(X ) → π0(Y ).
Page 1: Homotopia Topologia I Wykład 12 Ho

Topologia I Wykład 12 Homotopia

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?