Topologia I Wykład 12 Homotopia

Homotopia
Topologia I
Wykład 12
Homotopia
Stefan Jackowski
19 grudnia 2012
Definicja
I := [0, 1] Homotopia – przekształcenie ciągłe F : X × I → Y .
Przekształcenia f0, f1 : X → Y są homotopijne jeśli istnieje
homotopia F : X × I → Y , ∀x∈X F (x, 0) = f0(x), F (x, 1) = f1(x).
.
Stwierdzenie
Homotopia ∼ jest relacją równoważności w zbiorze Map (X , Y ).
[X , Y ] := Map (X , Y )/ ∼
π0(X ) = [{p}, X ] – zbiór składowych łukowych.
Stwierdzenie
Dowolne dwa przekształcenia f0, f1 : X → W gdzie W ⊂ R n jest
podzbiorem wypukłym są homotopijne przez homotopię
F (x, t) := (1 − t)f0(x) + tf1(x).

Wlasności homotopii
Stwierdzenie (Składanie przekształceń homotopijnych)
Jeśli f0, f1 : X → Y oraz g0, g1 : Y → Z oraz f0 ∼ f1, g0 ∼ g1, to
ich złożenia są homotopijne: g0f0 ∼ g1f1
Wniosek
Jeśli f : X → Y , to dla dowolnej przestrzeni Z są dobrze określone
przekształcenia f # : [Y , Z] → [X , Z], f # ([φ]) := [φ ◦ f ] oraz
f# : [Z, X ] → [Z, Y ], f#([ψ]) := [f ◦ ψ] .
Stwierdzenie
Jeśli f0, f1 : X → Y są homotopijne i C ⊂ X jest składową łukową,
to zbiory f0(C) i f1(C) leżą w tej samej składowej łukowej
przestrzeni Y tzn. f0∗ = f1∗ : π0(X ) → π0(Y ).
Przekształcenia i przestrzenie ściągalne
Definicja
Przekształcenie f : X → Y nazywa się ściągalne jeśli jest
homotopijne z przekształceniem stałym w pewien punkt. Przestrzeń
X nazywa się ściągalna jeśli Id : X → X jest ściągalne.
Przykład
Podzbiór gwiaździsty G ⊂ R n (np. wypukły) jest ściągalny.
Stwierdzenie
Dowolne przekształcenie określone na przestrzeni ściągalnej lub o
wartościach w przestrzeni ściągalnej jest ściągalne.

Przekształcenia bliskie są homotopjne
Stwierdzenie
Jeśli (X , T ) jest przestrzenią zwartą, a W ⊂ R n otwartym
podzbiorem. Dla każdego przekształcenie f : X → W istnieje ɛ > 0
takie, że dowolne przekształcenie g : X → W dla którego
dsup(g, f ) < ɛ jest homotopijne z f .
Dowód.
f (X ) – zwarty. Zatem pokrycie f (X ) ⊂
x∈X
B(f (x), rx) ⊂ W ma
liczbę Lebesgue’a λ > 0 (dowolne dwa punkty odległe o < λ leżą w
pewnej kuli B(f (x), rx) ⊂ W ). Zatem jeśli dsup(g, f ) < λ =: ɛ
homotopia F (x, t) = (1 − t)f (x) + tg(x) jest dobrze określonym
odwzorowaniem F : X × I → W .
Homotopijna równoważność przestrzeni topologicznych
Definicja
Przeksztacenie f : X → Y nazywa się homotopiją równoważnością
jesli istnieje g : Y → X takie, że f ◦ g ∼ IdY i g ◦ f ∼ IdX .
Mówimy, że przestrzenie X , Y są homotopijnie równoważne.
Uwaga
Każdy homeomorfizm jest homotopijną równoważnością. Przestrzeń
jest ściągalna ⇐⇒ jest homotopijnie równoważna {pt}.
Stwierdzenie
Jeśli f : X → Y jest homotopijną równoważnością i Z jest dowolną
przestrzenią, to f # : [Y , Z] → [X , Z], f # ([φ]) := [φ ◦ f ] oraz
f# : [Z, X ] → [Z, Y ], f#([ψ]) := [f ◦ ψ] są bijekcjami. W
szczególności f definiuje bijekcję zbiorów składowych łukowych
f# : π0(X ) → π0(Y ).

Homotopijna równoważność – przykłady
1. ι: S n−1 ⊂ R n \ {0} homotopijna odwrotność
r : R n \ {0} → S n−1 , r(x) := x
||x||
2. Jeśli Y jest ściągalna, to pX : X × Y → X jest homotopijną
równoważnością.
3. S n \ {p1, p2} jest homotopijnie równoważna S n−1 . A co będzie
jeśli wyjąć więcej punktów?
4. S n \ S k jest homotopijnie równoważna z S n−k−1
5. Włożenie równika S 1 ↩→ M we wstęgę Möbiusa jest
homotopijną równoważnością.