Loeng.

YMR0070, 2010/2011 kevad 1/8
TÕENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA
Objekt (element, indiviid) — katse käigus mõõdetav ühik.
Üldkogum — kõikide objektide hulk, mille omaduste vastu tuntakse huvi. Objektide arvu
üldkogumis tähistatakse tavaliselt N.
Valim — üldkogumi alamhulk, objektide arvu valimis tähistatakse tavaliselt n.
Andmed — arvud ja muud faktid, mida kogutakse, analüüsitakse ja summeeritakse.
Andmestik — uuringu käigus kogutud andmete kogu, saadakse katse tulemusi registreerides.
Tunnus (muutuja) — näitaja, mida objektil mõõdetakse. Kui tunnus võib omandada mistahes
väärtuse mingilt lõigult, siis nimetatakse seda tunnust pidevaks. Kui tunnuse väärtused määratakse
loendamise teel, st tunnus võib omandada ainult täisarvulisi väärtusi, siis nimetatakse tunnust
diskreetseks.
Kvalitatiivsed andmed — elementide nimed või sildid.
Kvantitatiivsed andmed — näitavad objekti iseloomustavat arvulist suurust.
1. Kirjeldav statistika — andmete korrastamine, nähtavaks tegemine, lihtsamate karakteristikute
arvutamine. Kirjeldav statistika ei vaja tõenäosusteooria alaseid teadmisi.
2. Tõenäosusteooria.
3. Järeldav (matemaatiline) statistika — suhteliselt väikese osa objektide (valimi) andmete abil
järelduste tegemine kõigi objektide kogumi (üldkogumi) omaduste kohta. Järelduste tegemine
põhineb tõenäosusteoorial.
KIRJELDAV STATISTIKA
1. Tabelite koostamine
2. Graafikud ja joonised
3. Lihtsamate karakteristikute arvutamine
Näide. Olgu antud andmestik
NIMI SUGU VANUS PIKKUS KAAL
1 ALFRED M 14 69,0 112,5
2 ALICE F 13 56,5 84,0
3 BARBARA F 13 65,3 98,0
4 CAROL F 14 62,8 102,5
5 HENRY M 14 63,5 102,5
6 JAMES M 12 57,3 83,0
7 JANE F 12 59,8 84,5
8 JANET F 15 62,5 112,5
9 JEFFREY M 13 62,5 84,0
10 JOHN M 12 59,0 99,5
11 JOYCE F 11 51,3 50,5
12 JUDY F 14 64,3 90,0
13 LOUISE F 12 56,3 77,0
14 MARY F 15 66,5 112,0
15 PHILIP M 16 72,0 150,0
16 ROBERT M 12 64,8 128,0
17 RONALD M 15 67,0 133,0
18 THOMAS M 11 57,5 85,0
19 WILLIAM M 15 66,5 112,0
E:\TTU_kevad_2011\YMR0170\loeng_00_kirj_stat.odt 12/12/10

YMR0070, 2010/2011 kevad 2/8
Iga õpilast iseloomustab mitu tunnust ehk muutujat.NIMI ja SUGU on kvalitatiivsed tunnused
(“sildid”), VANUS, PIKKUS ja KAAL on kvantitatiivsed tunnused. On mõõdetud 19 õpilast
Ühemõõtmelised tabelid
Kahemõõtmeline tabel
Tulpdiagrammid
Õpilaste jaotus soo järgi
Sugu Arv
F 9
M 10
Kokku 19
Õpilaste jaotus vanuse järgi (sageduste tabel)
Vanus Arv
11 2
12 5
13 3
14 4
15 4
16 1
Kokku 19
Õpilaste jaotus soo ja vanuse järgi
Vanus
Sugu 11 12 13 14 15 16 Kokku
F 1 2 2 2 2 0 9
M 1 3 1 2 2 1 10
Kokku 2 5 3 4 4 1 19
12
10
8
6
4
2
0
Õpilaste jaotus soo järgi
F M
E:\TTU_kevad_2011\YMR0170\loeng_00_kirj_stat.odt 12/12/10

YMR0070, 2010/2011 kevad 3/8
Sektordiagrammid
6
5
4
3
2
1
0
4
3
2
1
0
Õpilaste jaotus vanuse järgi
11 12 13 14 15 16
Õpilaste jaotus soo ja vanuse järgi
11 12 13 14 15 16
Õpilaste jaotus soo järgi
Õpilaste jaotus vanuse järgi
E:\TTU_kevad_2011\YMR0170\loeng_00_kirj_stat.odt 12/12/10
F
M
11
12
13
14
15
16
F
M

YMR0070, 2010/2011 kevad 4/8
Lihtsaimad karakteristikud
Olgu mõõdetud üldkogumi kõikide objektide i=1, 2, ... , N puhul tunnuse x väärtus xi .
(Aritmeetiline) keskmine
= x 1 x 2 ...x N
N
= ∑ N
x i =1 i
Exceli funktsioon aritmeetilise keskmise arvutamiseks — AVERAGE
N
Kaalutud keskmine — kui on teada m rühma keskmised ja objektide arvud:
Rühm 1 2 ... m
Rühma keskmine 1 2 ... m
Objektide arv rühmas N1 N2 ... Nm
Üldine keskmine: = N 1
N 1 N 2
N 2 ... N m
N m , kus N = N1 + N2 +...+ Nm .
Mediaan
.
Kui N is paaritu, siis on mediaan järjestatud statistilise rea ehk variatsioonrea keskmine liige. Kui
N on paaris, siis on mediaan variatsioonrea kahe keskmise liikme poolsumma.
Exceli funktsioon mediaani arvutamiseks — MEDIAN
Mood
Mood on arvrea suurima sagedusega liige.
Exceli funktsioon moodi arvutamiseks — MODE
Protsentiilid
p-protsentiil on arv, millest p protsenti andmetest on temast väiksem või võrdne ja (100-p) protsenti
suurem või võrdne.
25-protsentiili nimetatakse esimeseks kvartiiliks.
Mediaan on 50-protsentiil ehk teine kvartiil.
75-protsentiili nimetatakse kolmandaks kvartiiliks.
Exceli funktsioon kvartiilide arvutamiseks — QUARTILE
Dispersioon
σ 2 = x 1 −2 x 2 − 2 ...x N − 2
N
N
= ∑ i =1
x i− 2
N
E:\TTU_kevad_2011\YMR0170\loeng_00_kirj_stat.odt 12/12/10

YMR0070, 2010/2011 kevad 5/8
Excel — VARP, arvutuste lihtsustamiseks võib kasutada valemit σ 2 = ∑ i=1
σ= σ 2
Standardhälve
Excel — STDEVP
Variatsioonikordaja e suhteline viga
CV = σ
Haare on arvrea suurima ja vähima väärtuse vahe.
Olgu igal objektil on mõõdetud rohkem kui üks tunnus
Jrk.
nr.
x y ...
1 x1 y1 ...
2 x2 y2 ...
... ...
N xN yN ...
Iga mõõdetud tunnuse väärtused moodustavad arvrea ehk statistilise rea .
σ xy = ∑ i=1
Tunnuste x ja y vaheline kovariatsioon:
N
x i− x y i− y
N
, kus x on x keskmine ja y on y keskmine.
Excel — COVAR, arvutamiseks lihtsam valem σ xy = ∑ x i=1 i yi −x y
N
(Pearsoni) korrelatsioonikordaja ρ
N
N
2
xi N −2 (tõestus lisas).
ρxy = σxy σ x σ y
,kus σ x on x standardhälve ja and σ y on y standardhälve. Kehtib ∣∣≤1
(tõestus lisas).
Excel: CORREL
E:\TTU_kevad_2011\YMR0170\loeng_00_kirj_stat.odt 12/12/10

YMR0070, 2010/2011 kevad 6/8
Näide. Lk. 1 antud andmestiku puhul õpilaste pikkuste aritmeetiline keskmine ehk keskmine pikkus
on
x= x 1 x 2...x 19
19
= 69,056,5...66,5
=62,3
19
ja keskmine kaal
y= y1 y2... y19 =
19
112,584,0...112,0
=100,0
19
Pikkuse mediaani leidmiseks järjestame õpilaste pikkused minimaalsest maksimaalseni. Pikkuste
variatsioonrida on
51,3 56,3 56,5 57,3 57,5 59,0 59,8 62,5 62,5 62,8 63,5 64,3 64,8 65,3 66,5 66,5 67,0 69,0 72,0
Pikkuse mediaan on pikkuse järjestatud väärtuste keskmine element 62,8.
Kaal järjestatuna minimaalsest maksimaalseni ehk kaalu variatsioonrida on
50,5 77,0 83,0 84,0 84,0 84,5 85,0 90,0 98,0 99,5 102,5 102,5 112,0 112,0 112,5 112,5 128,0 133,0 150,0
Kaalu mediaan on kaalu järjestatud väärtuste keskmine element 99,5.
Pikkuse esimene kvartiil: (57,5 + 59,0 )/2 = 58,3, pikkuse kolmas kvartiil (65,3+66,5)/2=65,9
51,3 56,3 56,5 57,3 57,5 59,0 59,8 62,5 62,5 62,8 63,5 64,3 64,8 65,3 66,5 66,5 67,0 69,0 72,0
Kaalu esimene kvartiil (84,0+84,5)/2=84,3, kaalu kolmas kvartiil (112,0+112,5)/2=112,3
50,5 77,0 83,0 84,0 84,0 84,5 85,0 90,0 98,0 99,5 102,5 102,5 112,0 112,0 112,5 112,5 128,0 133,0 150,0
Pikkuse miinimum 51,3, pikkuse maksimum 72,0, pikkuse haare 72,0 – 51,3 = 20,7
Kaalu miinimum 50,5, kaalu maksimum 150,0, kaalu haare 150,0 – 50,5 = 99,5.
Enne kovariatsiooni ja korrelatsioonikordaja leidmist vt. hajusdiagrammi
kaal
160
140
120
100
80
60
40
20
0
Pikkuse ja kaalu seos
0 10 20 30 40 50 60 70 80
pikkus
E:\TTU_kevad_2011\YMR0170\loeng_00_kirj_stat.odt 12/12/10

YMR0070, 2010/2011 kevad 7/8
Diagrammilt on näha, et kui õpilase pikkus on keskmisest suurem (väiksem), siis enamikul
juhtudest on selle õpilase kaal niisamuti keskmisest suurem (väiksem). Peale selle võib täheldada, et
pikkuse ja kaalu vaheline sõltuvus on enam-vähem lineaarne. Sellisel juhul öeldakse, et pikkus ja
kaal on positiivselt (negatiivselt) korreleeritud. Pikkuse ja kaalu vaheline kovariatsioon on 97,1 ja
korrelatsioonikordaja 0,88 (vt. arvutusi alljärgnevas tabelis).
Jrk.nr. NIMI SUGU VANUS PIKKUS (x) KAAL (y) x x*y
2
y 2
1 ALFRED M 14 69,0 112,5 4761,0 12656,3 7762,5
2 ALICE F 13 56,5 84,0 3192,3 7056,0 4746
3 BARBARA F 13 65,3 98,0 4264,1 9604,0 6399,4
4 CAROL F 14 62,8 102,5 3943,8 10506,3 6437
5 HENRY M 14 63,5 102,5 4032,3 10506,3 6508,75
6 JAMES M 12 57,3 83,0 3283,3 6889,0 4755,9
7 JANE F 12 59,8 84,5 3576,0 7140,3 5053,1
8 JANET F 15 62,5 112,5 3906,3 12656,3 7031,25
9 JEFFREY M 13 62,5 84,0 3906,3 7056,0 5250
10 JOHN M 12 59,0 99,5 3481,0 9900,3 5870,5
11 JOYCE F 11 51,3 50,5 2631,7 2550,3 2590,65
12 JUDY F 14 64,3 90,0 4134,5 8100,0 5787
13 LOUISE F 12 56,3 77,0 3169,7 5929,0 4335,1
14 MARY F 15 66,5 112,0 4422,3 12544,0 7448
15 PHILIP M 16 72,0 150,0 5184,0 22500,0 10800
16 ROBERT M 12 64,8 128,0 4199,0 16384,0 8294,4
17 RONALD M 15 67,0 133,0 4489,0 17689,0 8911
18 THOMAS M 11 57,5 85,0 3306,3 7225,0 4887,5
19 WILLIAM M 15 66,5 112,0 4422,3 12544,0 7448
Kui on mõõdetud üldkogumi osahulk ehk valim mahuga n, siis valimi karakteristikud on
analoogilised üldkogumi vastavate karakteristikutega.
Valimkeskmine
Sum ma 1184,4 1900,5 74304,92 199435,75 120316,05
Keskm ine 62,34 100,03 3910,79 10496,62 6332,42
Dispersioon 24,9 491,35
Standardhälve 4,99 22,17
Kovariatsioon=6332,42–62,34*100,03=
x= x 1 x 2 ...x n
n
valimdispersioon
= ∑ n
x i=1 i
s 2 = x 1 −x 2 x 2 −x 2 ... x n −x 2
n−1
Exceli funktsioon VAR,
n
,
97,10
Korrelatsioonikordaja= 97,1/( 4,99*22,17)=
0,88
n
= ∑ i =1
x i−x 2
n−1
valimstandardhälve s=s 2 , Exceli funktsioon STDEV. Valimi mood, mediaan, kvartiilid ja
haare arvutatakse analoogiliselt vastavate karakteristikutega üldkogumis.
E:\TTU_kevad_2011\YMR0170\loeng_00_kirj_stat.odt 12/12/10
,

YMR0070, 2010/2011 kevad 8/8
Lisa. Tõestused
1. Hälvete summa on 0
N
N
∑ x
i=1 i−=∑ x
i=1 i−N =N −N =0
2. Dispersiooni arvutamise lihtsam valem
N
σ 2 = ∑ i=1
x i− 2
=
N
1
N
N ∑ i=1
2
x i −2 xi 2 = 1
N ∑
N
N
2
x
i=1 i −2∑ i=1
= 1
N ∑ N
2 2
x
i=1 i −
N ∑ N
x
i=1 i 2 = 1
N ∑ N
2 2 1
x
i=1 i −2 =
N ∑ N
2 2
x
i =1 i −
N
x i ∑ i=1
Kovariatsiooni arvutusvalemi σ xy = 1
N ∑ N
x
i=1 i yi−x y tõestus analoogiline.
3. Korrelatsioonikordaja absoluutväärtus on väiksem või võrdne ühega
Olgu λ suvaline arv. Koostame ruutvõrrandi
1
N
N ∑ i=1
= 1
N 2
[ x i− x− y i− y] 2 =
N
∑ x
i=1 i− x 2 −2
N
N ∑ i=1
x i − x y i − y 1
N
N ∑ i=1
y i − y 2
2 =
Võrrandi vasak pool on mittenegatiivne, järelikult ka parem pool on mittenegatiivne, mis on
võimalik ainult siis, kui diskriminant b 2 –4ac on mittepositiivne:
a= 1
, b= 2
c= 1
N
N ∑ i=1
N ∑ i=1
N
N
N ∑ i=1
x i− x 2
x i − x y i − y
y i− y 2
,
ja
b2 –4ac = [2 xy ] 2 2 2
−4 x
y0
, millest ∣ xy∣ x y ja seega ∣ xy∣= xy
1
x y
Kalkulaatorid internetis, näiteks http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Businessstat/otherapplets/Descriptive.htm,
http://www.ruf.rice.edu/~lane/stat_analysis/descriptive.html,
http://bcs.whfreeman.com/ips4e/cat_010/applets/histogramIPS.html .
E:\TTU_kevad_2011\YMR0170\loeng_00_kirj_stat.odt 12/12/10