OSNOVE BETONSKIH KONSTRUKCIJA

SVEUČILIŠTE U SPLITU
GRAĐEVINSKO-ARHITEKTONSKI FAKULTET
Alen Harapin
Jure Radnić
OSNOVE BETONSKIH
KONSTRUKCIJA
INTERNA SKRIPTA
Split, 2009.

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 2
SADRŽAJ:
1 Uvod u Armirani beton...........................................................................................................................................4
1.1 Uvod 4
1.2 Povijest..................................................................................................................................................................4
1.3 Karakteristike.........................................................................................................................................................6
1.4 Norme za proračun AB konstrukcija ......................................................................................................................7
1.5 Opterećenja...........................................................................................................................................................7
2 Fizičko-mehanička svojstva materijala ................................................................................................................8
2.1 Beton .....................................................................................................................................................................8
2.2 Armatura................................................................................................................................................................8
2.3 Uvjeti okoliša .........................................................................................................................................................8
2.4 Zahtjevi trajnosti ....................................................................................................................................................8
2.5 Zaštitni slojevi betona ............................................................................................................................................8
3 Proračun prema Graničnim stanjima nosivosti (GSN)........................................................................................9
3.1 Općenito ................................................................................................................................................................9
3.2 Osnovne pretpostavke.........................................................................................................................................11
3.3 Radni dijagram betona ........................................................................................................................................12
3.4 Radni dijagram čelika ..........................................................................................................................................13
3.5 Koeficijenti sigurnosti...........................................................................................................................................14
3.6 Klase okoliša .......................................................................................................................................................15
4 Dimenzioniranje AB konstrukcija prema Graničnim stanjima nosivosti.........................................................17
4.1 Minimalna i maksimalna armatura u presjeku......................................................................................................17
4.2 Jednostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja...........................................................17
4.2.1 Teoretske postavke.....................................................................................................................................17
4.2.2 Slučaj 1 .......................................................................................................................................................20
4.2.3 Slučaj 2 .......................................................................................................................................................21
4.2.4 Slučaj 3 .......................................................................................................................................................23
4.2.5 Slučaj 4 .......................................................................................................................................................25
4.3 Dvostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja ..............................................................26
4.4 Dimenzioniranje T i Γ presjeka ............................................................................................................................30
4.5 Kratki elementi opterećeni centričnom tlačnom silom..........................................................................................35
4.6 Kratki elementi opterećeni centričnom vlačnom silom .........................................................................................35
4.7 Dimenzioniranje pravokutnog presjeka na moment savijanja i uzdužnu silu........................................................36
4.7.1 Uzdužna vlačna sila – postupak Wuczkowskog ..........................................................................................36
4.7.2 Uzdužna tlačna sila – postupak Wuczkowskog...........................................................................................37
4.7.3 Uzdužna tlačna/vlačna sila – dimenzioniranje pomoću dijagrama interakcije..............................................42
4.8 Dimenzioniranje okruglog presjeka naprezanih momentom savijanja i uzdužnom silom .....................................45
4.9 Dimenzioniranje presjeka na Poprečnu silu.........................................................................................................47
4.9.1 Općenito......................................................................................................................................................47
4.9.2 Postupak .....................................................................................................................................................47
4.9.3 Standardna metoda.....................................................................................................................................48
4.9.4 Metoda slobodnog odabira nagiba tlačnih štapova .....................................................................................49
4.9.5 Minimalna (konstruktivna) armatura ............................................................................................................50
4.10 Dimenzioniranje presjeka na Moment torzije .......................................................................................................54
4.10.1 Općenito......................................................................................................................................................54
4.10.2 Postupak .....................................................................................................................................................54
4.10.3 Zajedničko djelovanje Momenta torzije i Poprečne sile...............................................................................56
4.11 Proračun ploča na proboj.....................................................................................................................................61
4.11.1 Općenito......................................................................................................................................................61
4.11.2 Postupak .....................................................................................................................................................61
4.12 Koso savijanje .....................................................................................................................................................64

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 3
4.12.1 Općenito......................................................................................................................................................64
4.12.2 Postupak .....................................................................................................................................................64
4.13 Vitki elementi naprezani ekscentričnom tlačnom silom........................................................................................68
4.13.1 Općenito......................................................................................................................................................68
4.13.2 Pojam izvijanja ............................................................................................................................................68
4.13.3 Približni postupak prema EC-2....................................................................................................................70
5 Dimenzioniranje presjeka prema Graničnim stanjima uporabe .......................................................................74
5.1 Općenito ..............................................................................................................................................................74
5.2 Granično stanje naprezanja.................................................................................................................................74
5.3 Granično stanje pukotina.....................................................................................................................................75
5.3.1 Općenito......................................................................................................................................................75
5.3.2 Minimalna armatura ....................................................................................................................................75
5.3.3 Dokazni postupak bez kontrole širine pukotina ...........................................................................................76
5.3.4 Proračun širine pukotina .............................................................................................................................76
5.4 Granično stanje progiba ......................................................................................................................................80
5.4.1 Općenito......................................................................................................................................................80
5.4.2 Dokaz graničnog stanja progibanja .............................................................................................................81
6 Detalji ugradnje armature ....................................................................................................................................88
6.1 Općenito ..............................................................................................................................................................88
6.2 Razmak šipki .......................................................................................................................................................88
6.3 Dozvoljeni promjeri savijanja šipki .......................................................................................................................88
6.4 Sidrenje uzdužne armature..................................................................................................................................88
6.5 Sidrenje poprečne armature ................................................................................................................................88
6.6 Posebna pravila za šipke velikog promjera..........................................................................................................88
7 PRILOZI .................................................................................................................................................................89
Prilog 1: Tablice za dimenzioniranje pravokutnih presjeka prema graničnim stanjima sloma ........................................90
Prilog 2: Tablice za dimenzioniranje T i Γ presjeka........................................................................................................91
Prilog 2: Tablice za dimenzioniranje T i Γ presjeka........................................................................................................91
Prilog 3: Tablice za proračun pravokutnih križno armiranih ploča opterećenih jednolikim kontinuiranim opterećenjem.92
Prilog 4: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka.........................................................93
Prilog 5: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka.........................................................94
Prilog 6: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka.........................................................95
Prilog 7: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka ...............................................................96
Prilog 8: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka ...............................................................97
Prilog 9: Dijagram za dimenzioniranje pravokutnih presjeka na koso savijanje – armatura simetrično raspoređena u
kutovima......................................................................................................................................................98
Prilog 10: Dijagram za dimenzioniranje pravokutnih presjeka na koso savijanje – armatura simetrično raspoređena po
stranicama ..................................................................................................................................................99
Prilog 11: Armaturne tablice ........................................................................................................................................100

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 4
1 UVOD U ARMIRANI BETON
1.1 Uvod
U usporedbi s konstrukcijama od drugih materijala (kamen, drvo, čelik), betonske konstrukcije od armiranog i
prednapetog betona relativno su nove.
Betonske konstrukcije pojavljuju se u građevinarstvu u drugoj polovici 19. stoljeća i za kratko vrijeme ulaze u široko
područje upotrebe. Za veliki broj objekata, kao što su: tvornički dimnjaci, silosi, temelji strojeva, piloti, kesoni, a osobito
zgrade, mostovi i hidrotehnički objekti armirani beton i prednapeti beton su se nametnuli kao gotovo nezamjenjiv materijal.
Betonske su konstrukcije u usporedbi s konstrukcijama od drugih materijala u mnoštvu primjera povoljnija rješenja u
ekonomskom, funkcionalnom i estetskom pogledu.
1.2 Povijest
Iskustva u dobivanju betona vrlo su stara. Još su davno Azijati, Hebreji i Egipćani, a preko njih stari Grci i Rimljani,
poznavali hidraulička svojstva mješavine pucolana, pržene gline i vapna. Pucolani su vulkanski pepeli koji nastaju erupcijom
vulkana a imaju vezivna svojstva. Ime dolazi od mjesta Pozzuoli kod Napulja gdje se pucolan koristio kao vezivo u staroj
vijeku. Termički procesi dobivanja pucolana su slični onima dobivanja zgure ili proizvodnji cementa. Sam pucolan nije
vezivno sredstvo ali to postaje mješavina pucolana i vapna.
Stari narodi su hidraulička veziva miješali s pijeskom i drobljenom opekom te na taj način izrađivali mort. Neke rimske
građevine zidane takvim mortom, kao što je rimski Koloseum ili Pont du Gard kod Nimesa u južnoj Francuskoj, održale su se
do danas jer je cementni mort još uvijek jak i čvrst. U ruševinama Pompeja neki mortovi, stari gotovo 2000 godina, često su
bolje očuvani od nekog kamena u zidu.
Slika 1 – Rimski koloseum
Slika 2 – Akvadukt Pont du Gard
Nakon propasti Rimskog carstva način njegovog spravljanja je gotovo izgubljen. Moderna znanstvena iskustva počinju
1818. godine, kad je Vicat otkrio uzroke hidrauličkih svojstava nekih vrsta veziva. Prvi portland-cement proizveo je 1824.
godine graditelj Joseph Aspdin iz Leedsa, ali on nije bio dovoljno pečen, pa je tek 1845. godine Isaac Johnson, pečenjem
mješavine gline i vapnenca sve do nastajanja klinkera, uspio dobiti portland-cement sa svojstvima po kojima je i danas
poznat. Sam naziv nastao je prema boji tog očvrslog cementa sličnoj boji vapnenca iz okolice Portlanda.
Ocem armiranog betona obično se, pogrešno, smatra francuz Monier, koji je 1876. patentirao izradu velikih betonskih
lonaca. Kasnije je patentirao i rezervoare, cijevi montažne ploče i svodove. Monier nije poznavao filozofiju nošenja armiranog
betona, te je on žičanu mrežu postavljao u sredini presjeka. Međutim znatno ranije, francuz Joseph-Louis Lambot počeo je
eksperimentirati s izradom betonskih vodospremnika ojačanih čeličnom žicom. Godine 1848. konstruirao je svoj prvi brod
koristeći isti sustav. Brod je patentiran i prikazan na svjetskoj izložbi u Parizu 1955.
U otprilike isto doba, u Njemačkoj, Weiss i Bauschinger rade prve pokuse utvrđivanja čvrstoće betona. Koenen, 1866.
izlaže prvu metodu proračuna armirano-betonskih konstrukcija, što daje snažan poticaj za širenje uporabe ovih konstrukcija
po Austriji i Njemačkoj.

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 5
François Hennebique, francuski inženjer, razvojem novog sustava rebrastih stropova daje novi podstrek razvoju
armiranog betona. Također je integrirao do tada razdvojene elemente konstrukcije (greda, ploča, stup) u jednu jedinstvenu
monolitnu cjelinu i uveo armirano betonske stropove ojačane čeličnim šipkama na donjoj strani, što je znatno pojeftinilo do
tadašnja rješenja, te je u praksu uveo armiranobetonske pilote.
Vrijeme Hennebiquea, kraj 19. stoljeća, može se smatrati prvom etapom razvoja armiranog betona u kojem nastaju
raznovrsni sustavi armiranobetonskih konstrukcija. U ovoj etapi treba posebno naglasiti i istraživače: u Francuskoj –
Considèra I Masnagera, u Njemačkoj – Mörscha, Bacha i Empergera, u Austriji – Salingera. Za proračun ab konstrukcija se
koristila Coignetova i de Tedescova metoda proračuna prema dopuštenim naprezanjima.
U SAD-u 1906. pojavljuju se nove monolitne ab konstrukcije poznate po imenom ravni gljivasti stropovi. Oni se sastoje od
ploča bez greda sa stupovima koji se u spoju s pločom proširuju. Također u to doba snažan uzlet dobivaju ab okvirne
konstrukcije, kojima se postižu kruti čvorovi, što je u drugim materijalima (čelik, drvo) teže postići.
Počevši od 1928. u građevinsku praksu se uvode i tankostijene prostorne konstrukcije: cilindrične i rotacijske ljuske,
složenice i šatori. Veliku zaslugu u razvoju ljusaka imaju Ellers i Dischinger. Istodobno se počinju razvijati i montažne ab
konstrukcije.
Slika 3 – Tipični Hennebiqueov strop
Slika 4 – Freyssinetovi prednapeti mostni elementi
Kao početak praktične uporabe prednapetog betona smatra se 1928. kada je francuski inženjer-konstrukter Eugène
Freyssinet izveo prvu uporabljivu prednapetu konstrukciju – Most na rijeci Elorn. Iako je prednapeti beton bio poznat i
patentiran ranije, Freyssinetov nesumnjiv doprinos bilo razumijevanje da samo visoko kvalitetni čelik za prednapinjanje može
umanjiti efekte puzanja betona.
Na osnovi ideje A. F. Lolejta, 30-ih godina 20. stoljeća razvija se nova metoda proračuna, prijelomna metoda, koja će
kasnije postati metoda graničnih stanja. Poseban podstrek dali su sovjetski znanstvenici: Lolejt, Gvozdjev, Stoljarov i dr.
Nešto nakon toga ova metoda se počinje primjenjivati u SAD-u i Francuskoj, a zatim i u cijelom svijetu. Uvođenje prijelomne
metode označava početak druge faze razvoja armirano betonskih konstrukcija.
Znanstveni i tehnološki razvoj od 70. godina 20. stoljeća dao je i snažan poticaj razvoju armiranobetonskih konstrukcija.
Razvija se čitav niz novih konstrukcija i poboljšavaju metode proračuna. Specijalnim recepturama i dodacima (aditivima)
postižu se betoni visokih i vrlo visokih čvrstoća, a također se razvijaju i novi materijali.
Kompozitni vlaknasti materijali omotani polimernom smolom, moguća su alternativa čeličnim armaturnim
šipkama/mrežama. Polimerna aramidna armaturna vlakna (aramid fiber reinforced polymer (AFRP), Karbonska polimerna
armaturna vlakna (carbon fiber reinforced polymer (CFRP)), i staklena polimerna armaturna vlakna (glass fiber reinforced
polymer (GFRP) već predstavljaju komercijalni proizvod u građevinskoj industriji. Predviđena su za uporabu kao zamjena za
armaturni i prednapeti čelik (ACI 440R 1996). S njima se izbjegava problem korozije, a imaju i neke druge poboljšane
karakteristike u odnosu na obični čelik.
Betoni od reaktivnog praha (RPC – Reactive Powder Concrete) je mikroarmirani beton vrlo visoke čvrstoće i drugih
poboljšanih svojstava. RPC posjeduje vrlo visoke tlačne čvrstoće 200-800 Mpa, te vrlo velike svijajuće čvrstoće 25-150 Mpa.
Ovo sve ukazuje da su armirani beton i prednapeti beton još uvijek u fazi intenzivnog razvoja.

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 6
1.3 Karakteristike
Beton se može najlakše opisati kao umjetni kamen, dakle materijal koji, kao i svaki kamen ima veliku tlačnu ali malu
vlačnu čvrstoću. Ova loša osobina betona onemogućava širu primjenu nearmiranog betona. Da bi popravili ovaj osnovni
nedostatak betonu dodajemo čelik (armaturu) i time dobivamo jedan novi kompozitni materijal, kojeg nazivamo armirani
beton. Ovaj kompozit omogućava dobru iskoristivost oba materijala i to na mjestima gdje su najbolji: beton – u tlaku i čelik –
u vlaku.
Armirani beton, u odnosu na druge materijale, ima niz prednosti:
− Nezapaljivost. Armirani beton po otpornosti prema požaru pripada povoljnijim građevinskim materijalima. Kako
je poznato, čelik sam po sebi nije otporan na visoke temperature i jako se deformira. Beton je materijal otporan
na djelovanje požara, na što osobito utječe vrsta upotrebljenog agregata. Najbolje vrste agregata prema požaru
su od bazalta, diabaza, vapnenca i dolomita a posebno od šamota i zgure iz visokih peći. Za vrijeme požara
voda ispari iz betona, što znatno povećava njegovu termičku otpornost.
− Trajnost. Trajnost armiranobetonskih konstrukcija osigurana je velikim dijelom time što beton štiti armaturu od
korozije i što mu se čvrstoća u tijeku vremena povećava. To sve vrijedi uz uvjet da je konstrukcija načinjena od
kompaktnog betona.
− Relativno mali troškovi održavanja. Troškovi održavanja armiranobetonskih konstrukcija vrlo su mali, kao
uostalom i za građevine od kamena, za razliku od troškova održavanja čeličnih i drvenih konstrukcija. U pogledu
higijene armiranobetonske su konstrukcije u prednosti pred drvenim i čeličnim zbog svoje monolitnosti, u kojoj
nema šupljina za leglo parazita i skupljanje prašine.
− Mogućnost izrade najraznovrsnijih oblika. Prilagodljivost armiranog betona svim potrebnim oblicima dopušta
projektantu zadovoljenje najrazličitijih zahtjeva konstrukcijske, izvođačke ili arhitektonske prirode.
Međutim, beton ima i niz mana, od kojih se može nabrojati nekoliko:
− znatna vlastita težina
− velika provodljivost topline i zvuka
− niska vlačna čvrstoća
− teško naknadno provjeravanje količine ugrađene armature
− otežani radovi kod niskih i visokih temperatura. Ne bi trebalo betonirati kada je temperatura niža od +5°C. Kod
visokih temperatura (>30°C) voda naglo hlapi iz betona i potrebne su specijalne mjere njege.
− otežana naknadna adaptacija ili pojačanje gotove konstrukcije
− korozija armature u betonu
− dimenzionalna nestabilnost izazvana puzanjem i skupljanjem betona
− poroznost
− osjetljivost na mraz
− mogućnost pojave pukotina koje ne narušavaju sigurnost i trajnost kada su ograničene širine, ali ipak kvare
vanjski izgled.
− beton izložen duže vrijeme visokim temperaturama (>250°C) naglo gubi čvrstoću i prionljivost s čelikom, a
osobito ako se prilikom gašenja požara polijeva vodom, kada zbog naglog hlađenja još više raspucava.
Iako je lista mana betona veća od liste prednosti, prednosti su ipak veće pa je beton danas jedan od najraširenijih
gradiva.
Efikasno djelovanje betona i armature koji su po mehaničkim karakteristikama dva različitih materijala, omogućeno je
sljedećim:
− Beton tokom svog stvrdnjavanja čvrsto prianja uz čelik (armaturu), tako da pri djelovanju vanjskih sila oni zajedno
sudjeluju u nošenju. Prianjanje čelika i betona glavni je faktor njihovog zajedničkog sudjelovanja u nošenju.

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 7
− Beton i čelik imaju približno jednake temperaturne koeficijente. Betonu, ovisno o agregata temperaturni
−5
−5
koeficijent je: α c = 1.
4 ⋅10
− 0.
7⋅
10 1
o
−5
C , a čeliku: α c = 1.
2⋅
10 1
o
C , zbog čega u kombinaciji ova dva
−
materijala dolazi do neznatnog unutrašnjeg naprezanja pri temperaturnim promjenama.
Beton štiti čelik od korozije, ako je dovoljno kompaktan, zbog bazičnog karaktera kemijskih reakcija i obilnog
lučenja Ca(OH)2.
1.4 Norme za proračun AB konstrukcija
Osnovne norme za proračun konstrukcija podijeljene su u 9 knjiga Euro Kodova, koji su navedeni u tablici:
1.5 Opterećenja
Osnovne norme za proračun konstrukcija podijeljene su u 9 knjiga Euro Kodova, koji su navedeni u tablici:

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 8
2 FIZIČKO-MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA
2.1 Beton
Osnovne mehaničke karakteristike betona su čvrstoća i deformabilnost. Struktura očvrslog betona se može zamisliti kao
kostur od stvrdnutog cementnog tijesta u kojem je raspoređena kamena ispuna sastavljena od sitnog i krupnog kamena
(agregat).
2.2 Armatura
2.3 Uvjeti okoliša
2.4 Zahtjevi trajnosti
2.5 Zaštitni slojevi betona

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 9
3 PRORAČUN PREMA GRANIČNIM STANJIMA NOSIVOSTI (GSN)
3.1 Općenito
Pod pojmom graničnog stanja nosivosti presjeka odnosno konstrukcije, podrazumijeva se ono stanje pri kojem presjek
odnosno konstrukcija gubi sposobnost da se odupre vanjskim utjecajima ili pak dobiva nedopušteno velike deformacije ili
lokalna oštećenja, čime prestaje ispunjavati postavljene kriterije u pogledu nosivosti, trajnosti i funkcionalnosti. Prema tome,
konstrukcija (ili jedan njen dio) smatrat će se nepodobnom za predviđenu uporabu ako je prekoračeno bar jedno od graničnih
stanja. Ovakav pristup, zasnovan na teoriji pouzdanosti konstrukcija, zahtijeva da se odabere ograničeni skup stanja za
opisivanje ponašanja konstrukcije. Takva se stanja obično nazivaju graničnim stanjima pri kojima konstrukcija zadovoljava
uvjete za koje je projektirana.
Općenito, uobičajeno je da se granična stanja dijele u dvije velike grupe:
a) granično stanje koje odgovara maksimalnoj nosivosti, a postiže se:
− lomom materijala u kritičnom presjeku ili dosezanjem znatnijih deformacija;
− otkazivanjem nosivosti konstrukcije praćeno pojavom tzv. plastičnih zglobova, gdje se formira mehanizam
loma kod statički neodređenih nosača (kod ploča se formiraju tzv. linije loma);
− dovođenjem konstrukcije ili elementa konstrukcije koje promatramo kao kruta tijela u stanje gubitka ravnoteže;
− izvijanjem u elastičnom ili plastičnom području;
− zamorom materijala (npr. za mostove i nosače kranskih staza);
− nestabilnošću uslijed velikih pomaka i deformacija.
b) granična stanja upotrebljivosti, a postižu se:
− graničnim stanjem deformacija vezano za upotrebljivost i izgled elementa i konstrukcije u cjelini - proračun
deformacija;
− graničnim stanjem pukotina - proračun pukotina.
− graničnim stanjem naprezanja – kontrola naprezanja.
Bitno je napomenuti da se još uvijek često proračun konstrukcija vrši po teoriji elastičnosti (linearna teorija), dok se
dimenzioniranje vrši po metodi graničnih stanja. Dakle, očiti je nesklad takvog postupka jer, naime, nedjeljiva je nelinearna
ovisnost naprezanje-deformacija za armirano betonski presjek od preraspodjele unutarnjih sila u statički neodređenoj
konstrukciji ("plastifikacija" presjeka i "plastifikacija" sistema).
Metoda graničnih stanja promatra stanje deformacija i naprezanja neposredno pred slom presjeka. Da bi se mogla
odrediti nosivost presjeka neposredno pred slom, valja poznavati i stanja naprezanja koja prethode graničnome.
Greda od armiranog betona opterećena koncentriranom silom u sredini raspona ima različite stupnjeve iskorištenosti u
raznim presjecima zavisno od momentnog dijagrama. Idući od ležajeva prema sredini raspona vide se tri različita stanja
naprezanja, poznata u armiranom betonu kao stanja naprezanja I, II i III (crtež 1).

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 10
R
SREDINA
PRESJEKA
I Ia II III
n.o.
n.o.
Bez pukotina Sitne pukotine Pukotine pred
slom
1/2 l
n.o.
M M M M
I Ia II III
Crtež 5 - Stanja naprezanja AB grede
Za stanje I, naprezanja tlaka i vlaka su mala, pa je opravdano pretpostaviti da je raspodjela naprezanja linearna. Kraj
stanja I (Ia) označava da je vlačna čvrstoća betona pred iscrpljenjem, pa raspodjela naprezanja u vlačnoj zoni ide po krivulji
dok je raspodjela tlačnih naprezanja još uvijek linearna. Stanje naprezanja II karakteristično je po tome što u vlačnoj zoni
nastaju pukotine i vlačna se zona isključuje iz nosivosti, a raspodjela tlačnih naprezanja ima oblik krivulje. Stanje naprezanja
III (stanje neposredno pred slom) karakteristično je po tome što raspodjela tlačnih naprezanja ima oblik krivulje, a u vlačnoj
zoni, kao i u zoni II, nastaju pukotine koje su još veće i dosežu neutralnu os. Tlačna zona se smanjuje i neutralna os putuje
prema gore.
Način sloma armirano betonskih elemenata ovisi o postotku armiranja, o djelovanju unutrašnjih sila i o mehaničkim
karakteristikama betona i armature.
Općenito slom presjeka može nastati:
1. uslijed popuštanja armature i to na 2 načina:
− nedovoljnim armiranjem (ρ < ρmin) tako da prilikom prijelaza iz faze I u fazu II dolazi do naglog povećanja
naprezanja u armaturi, plastifikacije armature, formiranja većih pukotina i loma armature. Slom nastaje trenutno.
Da se takav slom ne dogodi, potrebno je presjek armirati minimalnom armaturom;
− iscrpljenošću armature, kod čega se slom presjeka ne događa odmah poslije pojave pukotina, već mu prethode
sve veće pukotine i naglašene deformacije armature u vlačnoj zoni (duktilan slom);
2. uslijed popuštanja betona nastaje neduktilan slom. Takav slom nastaje kod jako armiranih presjeka, pri čemu
naprezanje u čeliku ne doseže granicu popuštanja. Slom nastaje iznenadno bez naglašenih pukotina i većih
deformacija, osobito za betone visokih kvaliteta;
3. uslijed istodobnog popuštanja betona i armature nastaje tkz. balansirani slom, koji je karakteriziran prethodnom
pojavom naglašenih deformacija i pukotina.
Ako postoji mogućnost slobodnog izbora presjeka, preporučuje se dimenzioniranje uz pretpostavku istodobne
iscrpljenosti armature i betona, tj uz potpuno iskorištenje obaju materijala ili samo čelika.
F
d

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 11
3.2 Osnovne pretpostavke
Elementi konstrukcija kod dimenzioniranja trebaju zadovoljiti uvjete:
− postojanje dovoljne sigurnosti na lom,
− zadovoljenje uvjet ograničenja pukotina za radna opterećenja (uvjet trajnosti),
− da ukupne deformacije, s utjecajem puzanja, skupljanja i temperature, ne izazovu nepovoljne utjecaje na
konstrukciju u eksploataciji (uvjet uporabljivosti).
U proračunu se po pravilu izračuna jedno granično stanje, koje se smatra mjerodavnim, a zatim se, za usvojenu
geometriju poprečnih presjeka i kvaliteta materijala, dokazuje da su i ostala granična stanja zadovoljena.
U velikom broju slučajeva, u inženjerskoj praksi, najkritičnije je stanje granične nosivosti - loma. Stoga se detaljan
proračun - dimenzioniranje karakterističnih poprečnih presjeka nosača sprovodi prema teoriji granične nosivosti, a zatim se
daje dokaz odnosno provjera ispunjenosti uvjeta koje traže granična stanja upotrebljivosti.
Međutim, zavisno od namjene objekta, okolne sredine, primijenjenog sistema konstrukcije i sl., može se dogoditi da ne
bude (uvijek) mjerodavno stanje loma, već jedno od dva granična stanja upotrebljivosti. Tako, na primjer, u jako agresivnim
sredinama, gdje se u toku eksploatacije dopuštaju vrlo male širine pukotina u betonu, može biti najkritičnije granično stanje
pukotina, pa kao takvo i mjerodavno za proračun. Kod vitkih AB konstrukcija velikih raspona može pak biti mjerodavno
granično stanje deformacija, koje se kod savijenih elemenata svodi na granično stanje progiba. Uvjeti koje ovo granično
stanje traži moraju se poštivati radi osiguranja funkcionalnosti konstrukcije, posebno radi osiguranja kompatibilnosti
deformacija (progiba) konstrukcije sa opremom, pregradnim zidovima, oblogama, izolacijama; zatim izbjegavanja nepovoljnih
psiholoških efekata, itd.
Proračun prema graničnim stanjima dakle obuhvaća proračune i kontrole ponašanja konstrukcija i to:
a) granično stanje loma:
− proračun statičke ravnoteže konstrukcije (gdje se konstrukcija promatrana kao kruto tijelo provjerava na klizanje,
izvijanje, prevrtanje, isplivavanje, odizanje oslonaca...);
− proračun unutarnjih sila koje vladaju u konstrukciji bilo linearnom teorijom (teorijom elastičnosti) ili
transformacijom konstrukcije u mehanizme loma (proračun teorije plastičnosti);
− proračun granične nosivosti kritičnih presjeka za djelovanje momenata savijanja i uzdužnih sila, poprečnih sila,
momenata torzije, lokalnih naprezanja, probijanja, adhezije i sl.;
− proračun graničnog stanja loma uslijed zamora materijala (za posebne elemente konstrukcija).
b) granično stanje u eksploataciji:
− dokaz razmaka i otvora pukotina u vlačnoj zoni betona;
− dokaz maksimalnih deformacija i progiba za upotrebljivost konstrukcije.
Proračun po graničnoj nosivosti lomu vrši se na osnovu sljedećih pretpostavki:
− presjeci i nakon deformiranja ostaju ravni (vrijedi hipoteza Bernoulli-a), iz čega proističe da je raspored
deformacija po visini presjeka pravolinijski;
− nosivost betona u vlačnoj zoni se ne uzima u obzir. Vlačnu silu prima armatura;
− prianjanje betona i čelika nije narušeno sve do samog loma konstrukcije. Dakle deformacije betona i armature
su iste za istu udaljenost od neutralne osi presjeka;
− poznata je veza naprezanje-deformacija za armaturu i beton, čime je određena veličina i raspored tlačnih
naprezanja po visini tlačnog dijela presjeka.

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 12
3.3 Radni dijagram betona
Eksperimentalna istraživanja su pokazala da stvarni oblik veze između naprezanja σc i deformacije εc za beton ovisi o
nizu faktora: vrsti opterećenja, stanju naprezanja u elementu (jednoosno, dvoosno ili višeosno), kvaliteti betona, brzini
nanošenja opterećenja, dužine trajanja opterećenja, obliku poprečnog presjeka nosača, količine armature u tlačnoj zoni
presjeka, gustoći vilica itd.
Za potrebe proračuna-dimenzioniranja betonskih i armirano betonskih presjeka potrebno je iznaći analitičku vezu između
naprezanja σc i deformacija εc betona, koja će s jedne strane biti vrlo jednostavna i primjenjiva u praksi, a s druge što vjernije
opisivati stvarnu vezu. Ova analitička veza, koja se u literaturi naziva radni dijagram betona (RDB), u pravilnicima raznih
zemalja poprima čitav niz oblika: parabole drugog ili trećeg stupnja, pravokutnika, parabole+pravokutnika i sl.
U našoj zemlji, a prema prijedlogu EC 2, usvojen je radni dijagram betona oblika parabola+pravokutnik (crtež 2).
f ck
α f cd
Računski radni dijagram betona je dakle parabola:
tj pravac
gdje je:
fck
(MPa)
fc,cub
(MPa)
fct,m
(MPa)
τRd
(MPa)
Ecm
(MPa)
σ c
fck
σc
=
4
( 4−ε
c)
εc
2.0 ‰ 3.5 ‰
ε c [‰]
Crtež 6 – Radni dijagram betona
α f
4
( 4 − εc
) εc
cd σ c =
pri 0 εc
≤ 2.
0 ‰
c
cd
≤ (2.1)
σ = α f pri 2. 0 c 3.
5‰
≤ ε < (2.2)
− fcd - računska tlačna čvrstoća betona, koja se dobiva iz karakteristične tlačne čvrstoće
Karakteristika betona C 12/15 C 16/20 C 20/25 C 25/30 C 30/37 C 35/45 C 40/50 C 45/55 C 50/60
Čvrstoća na valjku 12.0 16.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0 50.0
Čvrstoća na kocki 15.0 20.0 25.0 30.0 37.0 45.0 50.0 55.0 60.0
Srednja vlačna
čvrstoća
1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1
Posmična čvrstoća 0.18 0.22 0.26 0.30 0.34 0.37 0.41 0.44 0.48
Početni modul
elastičnosti
26000.0 27500.0 29000.0 30500.0 32000.0 33500.0 35000.0 36000.0 37000.0
U tabeli su također dane i vrijednosti početnog modula elastičnosti te vlačne čvrstoće za pojedine klase betona,
izračunate po izrazima
E
f
cm
ct,
m
= 9500
≈ 0.
3⋅
⋅ 3 fck
+ 8 [ MPa]
; fck
[ MPa]
( f
2 3 ) [ MPa]
; f [ MPa]
ck
ck
(2.3)

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 13
3.4 Radni dijagram čelika
Idealna veza između naprezanja i deformacija za čelik, kao računski model za proračun-dimenzioniranje armirano
betonskih presjeka, koja se u literaturi naziva radni dijagram čelika (RDČ), uzima se u obliku bilinearnog dijagrama (crtež 3).
Maksimalno (granično) naprezanje čelika fyk jednako je granici tečenja (razvlačenja). Dakle usvaja se da je granična nosivost
armature po naprezanjima dostignuta kada naprezanje u armaturi bude jednako granici razvlačenja.
fyk fyd ±σ s
20.0 ‰
ε s [‰]
Crtež 7 – Radni dijagram čelika
Dakle smatra se da je dostignuta granična nosivost presjeka po vlačnoj uzdužnoj armaturi znatno prije no što čelik uđe u
zonu očvršćivanja. To je iz razloga što već pri deformacijama od 5 ‰ do 20 ‰ armirano betonski nosači se toliko deformiraju
da se praktički iscrpljuje nosivost presjeka - deformacije rastu iako se vanjska sila ne mijenja (armatura "teče"). Pri
prekoračenju deformacija od 20 ‰ dolazi do značajnih rotacija presjeka i do znatne redukcije tlačne zone što ima za
posljedicu drobljenje i lom betona u tlaku.
U tablici su date mehaničke karakteristike i uvjeti za pojedina svojstva čelika za armiranje, koji u stvari predstavljaju
tražene kvalitete za pojedina svojstva.
Naziv i oznaka (broj) čelika
Nazivni promjer, d (mm)
Šipkasta armatura
(nHRN EN 10080-2, nHRN EN 10080-3 i nHRN EN 10080-4)
B 500A
(1.0438)
Namot: 4-16
Šipke: 6-40
B 500B
(1.0439)
Namot: 6-16
Šipke: 6-40
B 450C
(1.04…)
B 500A
(1.0438)
Mrežasta armatura
(nHRN EN 10080-5)
B 500B
(1.0439)
B 450C
(1.04…)
Namot: 6-16 5-16 6-16 6-16
Granica razvlačenja fyk (MPa) ≥ 500 ≥ 500 ≥ 450 ≥ 500 ≥ 500 ≥ 450
Omjer vlačne čvrstoće i granice
razvlačenja
≥ 1.05 ≥ 1.08
≥ 1.15
≤ 1.35
≥ 1.05 ≥ 1.08
≥ 1.15
≤ 1.35

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 14
3.5 Koeficijenti sigurnosti
Metoda graničnih stanja je semiprobabilistička metoda u kojoj se na principu vjerojatnoće intenziteta opterećenja
definiraju reprezentativne vrijednosti. Tim se vrijednostima pridružuju koeficijenti sigurnosti, pa se dobivaju računske
vrijednosti. Željeni stupanj sigurnosti postiže se dakle preko koeficijenata sigurnosti. Zavisno o kakvom se opterećenju radi
imamo i različite koeficijente sigurnosti. Koeficijenti sigurnosti variraju prema tome da li se radi o stalnom (vlastita težina,
težina stalne opreme...), promjenjivom (korisno opterećenje, snijeg, vjetar...) ili specijalnom opterećenjenju (utjecaji
temeperature, puzanja i skupljanja betona, seizmički udari...).
Koeficijent sigurnosti, u biti, služi nam da "pokrijemo" neke netočne pretpostavke koje smo uveli u račun, kao što su:
− Netočnost procjene stalnog i pokretnog opterećenja;
− Netočnost određivanja čvrstoća i deformacija materijala;
− Netočnost usvojenog statičkog sistema u odnosu na stvarnu konstrukciju;
− Odstupanje računskih radnih dijagrama σ−ε od stvarnih za pojedine materijale;
− Tolerantne greške proračuna;
− Greške određivanja kritičnih presjeka kod dimenzioniranja konstrukcije;
− Utjecaj puzanja i skupljanja betona na konačnu čvrstoću, kao i utjecaj nejednolike temperature;
− Neke netočnosti kod izvođenja (tolerantna odstupanja vertikalnosti elemenata, netočnost dimenzija presjeka,
itd.);
− Netočnost u položaju armature, naročito odstupanje u veličini zaštitnog sloja u odnosu na projektiranu statičku
visinu presjeka;
− Moguću koroziju čelika, koja utječe na smanjenje nosivosti;
− Zanemarivanje prostornog djelovanja konstrukcije i zanemarivanje prostornog stanja naprezanja na čvrstoće;
Zavisno od deformacije betona i čelika definiraju se područja za određivanje stanja naprezanja, odnosno jedinstvenog
koeficijenta sigurnosti, prema crtežu 4.
d d
2
d
1
A s2
A s1
A
a
1
b
2
3
20.0‰ 3.0‰
Vlak Tlak
2.0‰ 3.5‰
B
c
d
e f
4
g h
Crtež 8 – Dijagram deformacija AB presjeka
1. Centrični i ekscentrični vlak u fazi malog ekscentriciteta u području 1 omeđeni su linijama a i b. Cijeli betonski
presjek je vlačno opterećen. Ukupnu vlačnu silu prima armatura. Točka A je točka rotacije presjeka.
2. Između linija deformacija b i c, u području 2, dolaze slučajevi čistog savijanja i savijanja sa uzdužnom silom
(±N). Neutralna os uvijek se nalazi u presjeku, a po položaju ide i do tlačnog ruba. Mogući položaji linija
deformacije b i c imaju rotaciju u točki A. Samo u slučaju linije c beton je potpuno iskorišten.
3. Slučajevi čistog savijanja i savijanja sa uzdužnom silom mogu biti omeđeni i linijama c i d, u području 3. Beton je
u ovom području uvijek iskorišten do čvrstoće (fcd). Presjeci su jače armirani za liniju deformacije d. Mogući
položaji linije deformacija imaju za rotaciju točku B.
5
C

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 15
4. Između linija d i f u području 4, spadaju svi slučajevi složenog savijanja sa ekscentričnom tlačnom silom. Vlačna
armatura, As1, u pravilu nije uvijek iskorištena kod loma zbog malih deformacija čelika. Točka rotacije linija
deformacije je točka B. Za deformacije armature: ε s1
< εv
= fyd
Es
lom nastaje po betonu, prije nego što čelik
5.
dostigne granicu razvlačenja fyd. Naprezanja u čeliku nisu iskorištena između linija e i f, dok su iskorištena
između linija d i e. Linija f predstavlja granicu kod koje je εc=3.5‰ i εc=0‰. U području iznad ove linije (prema
liniji d) presjeci se računaju na složeno savijanje po velikom ekscentricitetu.
Područje 5 određeno je linijama g i h, a odnosi se na slučajeve ekscentrične tlačne sile u fazi malog
ekscentriciteta. Neutralna linija nalazi se uvijek izvan presjeka. U presjeku se javljaju samo tlačna naprezanja.
Moguća točka rotacije linija deformacije je točka C. Lom uvijek nastaje po betonu. Za krajnje tlačno vlakno
betona εc= 2.0-3.5‰, naprezanja su praktično na granici gnječenja, dok su naprezanja u armaturi na suprotnom
rubu od σs= 0 do σs= fyd. Maksimalna deformacija tlačne armature iznosi 2.0‰.
3.6 Klase okoliša
Beton u eksploataciji može biti izložen različitim djelovanjima. Prema uvjetima u kojima se beton nalazi propisani su
minimalni tehnološki zahtjevi u vezi sastava betona, karakteristične tlačne čvrstoće, minimalnog zaštitnog sloja,
vodocementni omjer i sl. prema kojima treba odabirati i projektirati klasu betona.
Razredi izloženosti i minimalne vrijednosti dane su u tablici.
Razred Opis okoliša
1. Nema rizika od oštećenja
X0
Bez rizika
djelovanja
2. Korozija armature uzrokovana karbonitizacijom
XC1
XC2
XC3
XC4
Suho ili trajno
vlažno
Vlažno, rijetko
suho
Umjerena
vlažnost
Cikličko vlažno
i suho
Informativni primjer moguće pojave razreda
izloženosti
Elementi bez armature u neagresivnom okolišu (npr.
Nearmirani temelji koji nisu izloženi smrzavanju i
odmrzavanju, nearmirani unutarnji elementi)
Elementi u prostorijama obične vlažnosti zraka
(uključujući kuhinje, kupaonice, praonice rublja u
stambenim zgradama); elementi stalno uronjeni u
vodu
Dijelovi spremnika za vodu; dijelovi temelja
Dijelovi do kojih vanjski zrak ima stalni ili povremeni
pristup (npr. Zgrade otvorenih oblika); prostorije s
atmosferom visoke vlažnosti (npr. Javne kuhinje,
kupališta, praonice, vlažni prostori zatvorenih
bazena za kupanje,…)
Vanjski betonski elementi izravno izloženi kiši;
elementi u području vlaženja vodom (slatkovodna
jezera i/ili rijeke,…
3. Korozija armature uzrokovana kloridima koji nisu iz mora
XD1
XD2
XD3
Suho ili trajno
vlažno
Vlažno, rijetko
suho
Cikličko vlažno
i suho
4. Korozija armature uzrokovana kloridima iz mora
Područja prskanja vode s prometnih površina;
privatne garaže
Bazeni za plivanje i kupališta sa slanom vodom;
elementi izloženi industrijskim vodama koji sadrže
kloride
Elementi izloženi prskanju vode s prometnih
površina na koja se nanose sredstva za odleđivanje;
parkirališne ploče bez zaštitnog sloja
Najmanji
razred
tlačne
čvrstoće
betona
Minim.
Zaštitni
sloj
cmin (mm)
Maksim.
v/c omjer
Min.
količina
cementa
Ostali
zahtjevi
C 20/25 15 - - -
C 20/25 20 0.65 260 -
C 30/37 35 0.60 280 -
C 30/37 35 0.55 280 -
C 30/37 40 0.50 300 -
C 30/37 55 0.55 300
C 30/37 55 0.55 320
C 35/45 55 0.45 320
XS1
Izloženi soli iz zraka,
ali ne u direktnom
dodiru s morskom
vodom
Vanjski elementi u blizini obale C 30/37 55 0.50 300 -
XS2 Uronjeno Stalno uronjeni elementi u lukama C 35/45 55 0.45 320 -
XS3
U zonama plime i
prskanja vode
Zidovi lukobrana i molova C 35/45 55 0.45 340 -
5. Djelovanje smrzavanja i odmrzavanja, sa li bez sredstava za odleđivanje
XF1 Umjereno zasićeno Vanjski elementi C 30/37 - 0.55 300
Agregat

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 16
XF2
XF3
XF4
vodom bez sredstava
za odleđivanje
Umjereno zasićeno
vodom sa sredstvom
za odleđivanje ili
morska voda
Jako zasićeno vodom
bez sredstava za
odleđivanje
Jako zasićeno vodom
sa sredstvom za
odleđivanje ili morska
voda
6. Beton izložen kemijskom djelovanju
XA1
XA2
XA3
Slabo kemijski
agresivan okoliš
Umjereno kem.
agresivan okoliš;
konstrukcije u
marinama
Jako kemijski
agresivan okoliš
7. Beton izložen habanju
XM1 Umjereno habanje
XM2 Znatno habanje
XM3 Ekstremno habanje
Područja prskanja vode s prometnih
površina, sa sredstvom za odleđivanje (ali
drukčije od onog kod XF4); područje prskanja
morskom vodom
Otvoreni spremnici za vodu; elementi u
području kvašenja vodom (slatkovodna
jezera i/ili rijeke)
Prometne površine tretirane sredstvima za
odleđivanje; pretežno vodoravni elementi
izloženi prskanju vode s prometnih površina
na koja se nanose sredstva za odleđivanje;
parkirališne ploče bez zaštitnog sloja);
elementi u području morske plime; mjesta na
kojima može doći do struganja u
postrojenjima za tretiranje voda iz
kanalizacije
Spremnici u postrojenjima za tretiranje voda
iz kanalizacije; spremnici tekućih umjetnih
gnojiva
Betonski elementi u dodiru s morskom
vodom; elementi u agresivnom tlu
Kemijski agresivne vode u postrojenjima za
tretiranje otpadnih voda; spremnici za silažu i
korita (žlijebovi) za hranjenje životinja;
rashladni tornjevi s dimnjacima za odvođenje
dimnih plinova
Elementi industrijskih konstrukcija izloženi
prometu vozila s pneumatskim gumama na
kotačima
Elementi industrijskih konstrukcija izloženi
prometu viljuškara s pneumatskim ili tvrdim
gumama na kotačima
Elementi industrijskih konstrukcija izloženi
prometu viljuškara s pneumatskim gumama ili
čeličnim kotačima; hidrauličke konstrukcije u
vrtložnim (uzburkanim) vodama (npr. Bazeni
za destilaciju); površine izložene prometu
gusjeničara
C 25/30 - 0.55 300
C 30/37 - 0.50 320
C 30/37 - 0.45 340
C 30/37 - 0.55 300
C 35/45 - 0.50 320
C 35/45 - 0.45 360
C 30/37 25 - -
C 30/37 45 - -
C 35/45 50 - -
prema HRN
EN 12620
s dovoljnom
otpornošću na
smrzavanje;
Minimalna
količina zraka
4.0%
-
Sulfatno
otporni
cement
Manje maks.
zrno agregata

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 17
4 DIMENZIONIRANJE AB KONSTRUKCIJA PREMA GRANIČNIM
STANJIMA NOSIVOSTI
4.1 Minimalna i maksimalna armatura u presjeku
Slom slabo armiranih presjeka, kao što je prije istaknuto, nastaje trenutno. Da bi spriječili takav slom potrebno je presjek
armirati minimalnom armaturom.
Minimalna vlačna armatura određuje se iz uvjeta sprečavanja krtog loma, tj. iz uvjeta da ukupnu vlačnu silu u betonu kod
pojave pukotina preuzme vlačna armatura. Osim toga ova armatura smanjuje širinu pukotina kod loma betona.
EC-2 utvrđuje jedinstveni minimalni postotak armiranja za presjeke opterećenje dominantno na savijanje: ρ = 0.
1%
Maksimalna vlačna armatura u presjeku određuje se iz uvjeta da kapacitet rotacije pri lomu bude dovoljan da bi se mogla
izvršiti redistribucija momenata duž nosača. Plastifikacija armature se mora izvršiti prije iscrpljenja nosivosti betona da do
sloma ne bi došlo drobljenjem betona u tlaku.
EC-2 utvrđuje jedinstveni maksimalni postotak armiranja za presjeke opterećenje dominantno na savijanje:
ρ = 4.
0%
l , max
4.2 Jednostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja
4.2.1 Teoretske postavke
U presjeku opterećenom momentom savijanja javlja se stanje deformacije-naprezanja kakvo je prikazano na crtežu 5.
h
d
d 1
2
1
Msd
b
As1
d-x
x=ξ*d
Neutralna os
ε c2
2
d-d
z=ζ*d
0.85 f cd
Fc
εs1 A Fs1 Crtež 9 - Naprezanja i deformacije jednostruko armiranog pravokutnog AB presjeka
Linija deformacije je pravac jer vrijedi Bernoullieva hipoteza ravnih presjeka. Naprezanje u betonu je određeno radnim
dijagramom betona (parabola+pravokutnik) - crtež 2, a naprezanje u armaturi po radnom dijagramu čelika – crtež 3.
Za dimenzioniranje presjeka koristi se uvjetom ravnoteže koji se za ovaj slučaj može iskazati
∑
∑
M = 0
H = 0
⇒
⇒
M
c
sd
F = F
= F ⋅ z = F ⋅ z
gdje su:
− Msd ∑ i Mi
γ = - računska vrijednost utjecaja (računski moment);
− F c - računska sila u betonu (tlačna sila);
− F s1 - računska sila u armaturi (vlačna sila);
− z - krak unutrašnjih sila;
− x - udaljenost neutralne osi od tlačnog ruba presjeka;
s1
c
s1
B
l , min
(3.1)

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 18
− d - udaljenost težišta vlačne armature od tlačnog ruba presjeka, statička visina presjeka;
− b, h - dimenzije presjeka (širina i visina);
− d 1 - udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka.
Tlačna sila u betonu za opći poprečni presjek može se izraziti kao integral naprezanja po površini poprečnog presjeka:
Fb
∫ c dA σ = (3.2)
Za pravokutni poprečni presjek kod kojeg je širina (b) konstantna izraz 3.2 se transformira u:
c
x
0
c
A
F = b∫
σ dx = α x b α f
(3.3)
gdje je αv koeficijent punoće RDB-a, ovisan o stupnju iskorištenosti betona, a predstavlja odnos površine RDB-a i površine
pravokutnika ( fcd ⋅ x ).
α
α
v
v
εc2
=
12
3 εc2
− 2
=
3 ε
( 6 − ε )
c2
c2
v
0 ‰
2 ‰
< ε
< ε
c2
c2
≤
≤
cd
2 ‰
3.
5 ‰
Vlačna sila u armaturi dobiva se umnoškom površine armature sa naprezanjem u čeliku sa:
Položaj neutralne osi x može se lako izračunati iz geometrijskih odnosa (crtež 5):
x
εc2
d
=
εs1
+ εc2
εc2
⇒ x = d = ξ d
εs1
+ εc2
gdje je:
− ξ - koeficijent položaja neutralne osi.
Krak unutrašnjih sila (z) također se može lako izračunati:
s1
s1
yd
(3.4)
F = A f
(3.5)
( 1−
k ⋅ ξ)
⋅ d = ζ ⋅ d
z = d − ka
⋅ x = d − ka
⋅ ξ ⋅ d = a
(3.7)
gdje su:
− z - krak unutrašnjih sila;
− ζ - koeficijent kraka unutrašnjih sila;
− ka - koeficijent položaja tlačne sile betona.
k
k
a
a
8 − ε
=
4
ε
=
( 6 − εc2
)
c2
( 3εc2
− 4)
+
2ε
( 3ε
− 2)
c2
c2
c2
2
0 ‰
2 ‰
< ε
< ε
c2
c2
≤
≤
2 ‰
3.
5 ‰
Unutrašnji reaktivni moment (računska nosivost presjeka) može se izraziti kao umnožak unutrašnje sile i kraka:
= F ⋅ z = 0.
85 ⋅ α ⋅ ξ ⋅ d⋅
b ⋅ f ⋅ ζ ⋅ d
(3.9)
tj.
gdje su:
− b - širina pravokutnog presjeka;
− d - statička visina presjeka;
Msd c
v
cd
sd
2
⋅ fcd
(3.6)
(3.8)
M
µ sd = 0.
85 ⋅ αv
⋅ ξ ⋅ ζ =
(3.10)
b ⋅ d

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 19
− f cd - računska čvrstoća betona;
− µ sd - bezdimenzionalna vrijednost momenta savijanja.
Potrebna površina armature dobit će se iz:
M
sd
= A
Na isti način može se postaviti jednadžba preko sume horizontalnih sila:
∑
gdje su:
− ω - mehanički koeficijent armiranja;
− ρ - stvarni koeficijent armiranja;
M
sd
s1 ⋅ fyd
⋅ ζ ⋅ d ; As1
=
(3.11)
ζ ⋅ d⋅
fyd
N = 0 ⇒ Fc
= Fs1
0.
85 ⋅ αv
⋅ ξ ⋅ d⋅
b ⋅ fcd
= A
A f s1
ω = 0.
85 ⋅ αv
⋅ ξ = ⋅
d⋅
b f
Kod praktičnog rješavanja pojedinih zadataka dimenzioniranja armirano betonskih presjeka, niz uvedenih koeficijenata se
očitava iz tablica. Jedne takve tablice dane su u prilogu 1, a njihovo a njihovo praktično korištenje biti će prikazano na
konkretnim primjerima koji se javljaju u praksi.
s1
yd
cd
⋅ f
yd
= ρ ⋅
f
f
yd
cd
(3.12)

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 20
4.2.2 Slučaj 1
Postupak
Poznate su dimenzije betonskog presjeka, kvaliteta materijala i računsko opterećenje. Potrebno je odrediti potrebnu
površinu armature.
Iz izraza (3.10). odredi se bezdimenzionalna vrijednost momenta savijanja:
µ sd
M
bd
sd
= 2
fcd
te se iz tablica (prilog 1) za odabranu deformaciju armature εs1 očitaju vrijednosti εc2, ξ i ζ. Potrebna površina armature
dobiva se prema izrazu (3.11).
Numerički primjer
h = 60
d 1 = 5 d = 55
Msd
b = 40
A s1
c
x = 10.67
Msd
A s1
=
ζ d fyd
Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=5 cm.
Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim
opterećenjem Msd=260 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.
materijal:
C 30/37 ; fck = 30.0 MPa
= f γ = 30.
0 1.
5 = 20.
0 MPa
geometrija
b = 40 cm
h = 60 cm
µ
sd
d
1
=
5.
0
cm
d = h − d = 60 − 5 = 55 cm
Msd
= 2
bd f
cd
1
260 ⋅100
=
=
2
40 ⋅ 55 ⋅ 2.
0
0.
107
fcd ck c
B 500B ; fyk = 500.0 MPa
fyd = fyk
γ s =
opterećenje
Msd = 260.
0 kNm
iz tablica ⇒ εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 2.4 ‰; ζ = 0.925; ξ = 0.194
x = ξ ⋅ d = 0.
194 ⋅ 55 = 10.
67 cm
sd A s1
=
=
ζ d fyd
0.
925 ⋅ 55 ⋅ 43.
48
500.
0 1.
15
M 260 ⋅100
2
= 11.
75 cm ⇒ odabrano 6∅16 (As=12.06 cm2 )
=
434.
8 MPa

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 21
3 0.8
1.6
4.56
4.2.3 Slučaj 2
Postupak
1.6
4.56
1.6
4.56
40
1.6
A s1
4.56
1.6
4.56
1.6
0.8 3
Poznate su dimenzije betonskog presjeka b/d i kvaliteta materijala. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu
površinu armature. (Nepoznato nam je As1, εs1, εc2 i moment nosivosti).
Moment nosivosti presjeka je onaj moment za kojega su oba materijala (beton i čelik) u potpunosti iskorišteni. Dakle εc2
=3.5 ‰ a εs1=3-20 ‰.
Izborom εs1=3 ‰ dobiva se veliki moment nosivosti i više armature, a izborom εs1=20 ‰ mali moment nosivosti i malo
armature
Za pretpostavljene deformacije iz tablica se očitaju koeficijenti µ sd i ζ. Izrazima (3.10) i (3.11) dobivamo tražene veličine.
Numerički primjer
h = 60
d 1 = 5 d = 55
Msd
b = 40
A s1
c
M = µ
Rd,
lim
A
s1
sd,
lim
MRd
=
ζ df
Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=5 cm.
Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Potrebno je odrediti moment nosivosti i
potrebnu površinu armature.
materijal:
C 30/37 ; fck = 30.0 MPa
= f γ = 30.
0 1.
5 = 20.
0 MPa
geometrija
bd
, lim
yd
2
f
cd
fcd ck c
3.5 0.8 1.6
5.1
B 500B ; fyk = 500.0 MPa
fyd = fyk
γ s =
500.
0 1.
15
=
434.
8 MPa

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 22
b = 40 cm
h = 60 cm
d
1
=
5.
0
cm
d = h − d = 60 − 5 = 55 cm
Pretpostavimo: εs1 = 20.0 ‰ i εc2 = 3.5 ‰
1
iz tablica ⇒ µsd,lim = 0.096; ζlim = 0.938; ξ lim = 0.149
M
Rd , lim
= µ
sd
bd
2
f
cd
x = ξlim
⋅ d = 0.
149 ⋅ 55 =
Rd,
lim
s1
= =
ζlim
d fyd
0
Pretpostavimo: εs1 = 3.0 ‰ i εc2 = 3.5 ‰
= 0.
096 ⋅ 40 ⋅ 55 ⋅ 2.
0 =
8.
19
cm
M 232.
32 ⋅100
A =
. 938 ⋅ 55 ⋅ 43.
48
2
10.
36
232.
32 kNm
cm
iz tablica ⇒ µsd,lim = 0.288; ζlim = 0.776; ξ lim = 0.538
M
Rd , lim
= µ
sd
bd
2
f
cd
x = ξlim
⋅ d = 0.
538 ⋅ 55 =
lim
yd
= 0.
288 ⋅ 40 ⋅ 55 ⋅ 2.
0 =
29.
59
cm
MRd,
lim 696.
96 ⋅100
A s1
= =
=
ζ d f 0.
776 ⋅ 55 ⋅ 43.
48
2
37.
56
2
696.
96 kNm
U tablici su dani odnosi momenta nosivosti i uzdužne armature za još neke deformacije čelika:
εs1 εc2 ξlim ζlim µRd,lim x MRd,lim As1
3.0 3.5 0.538 0.776 0.288 29.59 696.96 37.56
5.0 3.5 0.412 0.829 0.235 22.65 568.23 28.67
10.0 3.5 0.259 0.892 0.159 14.26 385.16 18.05
15.0 3.5 0.189 0.921 0.120 10.41 290.24 13.17
20.0 3.5 0.149 0.938 0.096 8.19 232.32 10.36
d = 5 d = 55
h = 60
1
b = 40
A s1
ε s1
cm
14.26
22.65
29.60
2
10.41
8.19
=3.5‰
ε c2
20 ‰ 15 ‰ 10 ‰ 5 ‰ 3 ‰

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 23
4.2.4 Slučaj 3
Postupak
Poznati su kvaliteta materijala i računsko opterećenje. Potrebno je odrediti dimenzije betonskog presjeka i potrebnu
površinu armature. (Nepoznato nam je: b, h, As1, εs1, εc2).
Unaprijed se odabere širina presjeka b, te se izračunavanjem izraza (3.10) po d odredi potrebna visina presjeka.
µ
sd,
lim
M
=
bd
sd
2
fcd
te se za odabrano d, potrebna površina armature dobiva prema izrazu (3.11)
Numerički primjer
h = 60
d 1 = 5 d = 55
Msd
b = 40
A s1
c
A
s1
;
d
pot
M
=
ζ d f
sd
yd
≥
µ
Msd
b f
Potrebno je odrediti optimalni betonski presjek, za računski moment Msd=300 kNm.. Element je izrađen iz betona klase C
30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu površinu armature.
materijal:
C 30/37 ; fck = 30.0 MPa
= f γ = 30.
0 1.
5 = 20.
0 MPa
Pretpostavimo: εs1 = 10.0 ‰ i εc2 = 3.5 ‰
sd,
lim
fcd ck c
cd
B 500B ; fyk = 500.0 MPa
fyd = fyk
γ s =
iz tablica ⇒ µsd,lim = 0.159; ζlim = 0.892; ξ lim = 0.259
d
pot
≥
µ
Msd
b f
sd,
lim
cd
b (cm) d (cm)
10.0 97.1
20.0 68.7
30.0 56.1
40.0 48.6
50.0 43.4
60.0 39.7
70.0 36.7
120.0
100.0
80.0
60.0
40.0
h (cm)
500.
0 1.
15
20.0
b
0.0
0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0
Za presjeke koji su opterećeni momentom savijanja povoljan odnos dimenzija je d/b = 1.5-2.0.
=
434.
8 MPa

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 24
µ
sd
b
h
d
od
od
1
= 35 cm
=
=
60 cm
5.
0 cm
d = h − d = 60 − 5 = 55 cm
Msd
= 2
bd f
cd
1
300 ⋅100
=
=
2
35 ⋅ 55 ⋅ 2.
0
0.
142
iz tablica ⇒ εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 3.1 ‰; ζ = 0.904; ξ = 0.237
x = ξ ⋅ d = 0.
237 ⋅ 55 = 13.
04 cm
M 300 ⋅100
2
= 13.
88 cm ⇒ 7∅16 (As=14.07 cm2 )
sd A s1
=
=
ζ dfyd
0.
904 ⋅ 55 ⋅ 43.
48
A s1
1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6
0.8
3.5 2.53 2.53 2.53 2.53 2.53 2.53
0.8
3.5
s1
2
35
A = 13.
88 cm ⇒ 6∅18 (As=15.27 cm2 )
A s1
1.8 1.8 1.8 1.8 1.8 1.8
0.8
3.5 3.12 3.12 3.12 3.12 3.12
0.8
3.5
35
3.5 0.8 1.6
5.1
3.5 0.8 1.8
5.2
Armatura nije dobro odabrana jer je razmak
između šipki premali.
Ova armatura je bolje odabrana.

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 25
4.2.5 Slučaj 4
Postupak
Poznate su dimenzije betonskog presjeka (b/h), površina armature i kvaliteta materijala. Potrebno je odrediti moment
nosivosti. (Nepoznato nam je: Msd).
Uz pretpostavku deformacija armature εs1 = 20.0 ‰, nađe se mehanički koeficijent armiranja (izraz 3.12):
A f
⋅
s1 yd
ω =
d ⋅ b fcd
te nakon što se iz tablica (prilog 1) očitaju koeficijenti µ sd, lim ili ζ lim moment nosivosti se odredi prema jednom od sljedećih
izraza
M
M
Rd,
lim
Rd,
lim
= µ
= A
sd, lim
s1
lim
2
bd
f
ζ df
Važno je napomenuti da se na ovaj način dobiva najmanji moment nosivosti. Odabirom manjih deformacija
Numerički primjer
Potrebno je odrediti optimalni betonski presjek, za računski moment Msd=300 kNm.. Element je izrađen iz betona klase C
30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu površinu armature.
materijal:
C 30/37 ; fck = 30.0 MPa
= f γ = 30.
0 1.
5 = 20.
0 MPa
h = 60
d 1 = 5 d = 55
Msd
b = 40
A s1
c
Pretpostavimo: εs1 = 10.0 ‰ i εc2 = 3.5 ‰, i b=60 cm
yd
cd
ili
fcd ck c
B 500B ; fyk = 500.0 MPa
fyd = fyk
γ s =
iz tablica ⇒ µsd,lim = 0.159; ζlim = 0.892; ξ lim = 0.259
d
pot
≥
µ
Msd
b f
sd,
lim
cd
=
300 ⋅100
=
0.
159 ⋅60
⋅ 2.0
39.
65 cm
500.
0 1.
15
=
434.
8 MPa

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 26
4.3 Dvostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja
Dvostruko armirani presjeci su oni presjeci koji posjeduju vlačnu i tlačnu armaturu (crtež 6). Dvostruko armirani presjeci
upotrebljavaju se kada je računski moment Msd veći od momenta nosivosti MRd,lim kojeg presjek može preuzeti bez tlačne
armature.
h
d
d 1
2
1
Msd
b
As2
Nsd
As1
2
d
d-x
x=ξ*d
εs2
Neutralna os
ε c2
2
d-d
z=ζ*d
0.85 f cd
Fs2
εs1 Fs1 Crtež 10 - Naprezanja i deformacije dvostruko armiranog pravokutnog AB presjeka
U dvostruko armiranom presjeku utjecaj tlačne armature na njegovu nosivost može se uzeti u obzir ako je ona povezana
sponama na razmaku: sw ≤ 15∅ (∅ - promjer šipke tlačne armature) i ako je zadovoljen uvjet x ≥ 2d2 (x - udaljenost
neutralne osi od tlačnog ruba presjeka , d2 -udaljenost težišta tlačne armature od ruba presjeka). Time se tlačna armatura
osigurava od izvijanja!
Za betone razreda ≤C 35/45 prema normi HRN EN 1992-1-1 najveća dopuštena granična vrijednost koeficijenta položaja
neutralne osi iznosi ξlim=0.45. S tim u vezi mogu se izračunati i ostali parametri:
ε
ξ
c2
lim
= 3.5
‰
= 0.45
;
;
ζ
ε
s1
lim
= 4.278
‰
=
0.813
;
µ
sd, lim
= 0.252
Prema tome najveći moment savijanja koji jednostruko armirani presjek može preuzeti je:
Rd,
lim
sd,
lim
2
cd
2 ( bd f )
cd
F
c
(3.13)
M = µ bd f = 0.
252 ⋅
(3.14)
Za betone razreda ≥C 40/50 prema normi HRN EN 1992-1-1 najveća dopuštena granična vrijednost koeficijenta položaja
neutralne osi iznosi ξlim=0.35. S tim u vezi mogu se izračunati i ostali parametri:
ε
ξ
c2
lim
= 3.5
‰
= 0.35
;
;
ζ
ε
s1
lim
= 6.5
‰
=
0.854
;
µ
sd, lim
= 0.206
Prema tome najveći moment savijanja koji jednostruko armirani presjek može preuzeti je:
Rd,
lim
sd,
lim
2
cd
2 ( bd f )
cd
(3.15)
M = µ bd f = 0.
206 ⋅
(3.16)
Limitirajući moment preuzimaju beton i vlačna armatura, dok razliku do stvarnog momenta preuzimaju dodatna vlačna i
tlačna armatura. Prema tome potrebna armatura će se izračunati prema izrazima:
A
s1
MRd,
lim Msd
− MRd,
lim
= +
- ukupna vlačna armatura (3.17)
ζ df
f
lim
A
s2
yd
( d − d )
( d − d )
2
yd
Msd
− MRd,
lim
= - tlačna armatura (3.18)
σ
2
s2
Gdje je σs2 tlačno naprezanje u armaturi. Pri deformaciji ε s2
≤ εv
uzima se da je ε s2
= fyd
a za ε s2
> εv
, sa se
izračunava iz izraza:

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 27
gdje je:
− ε s2
- vlačna deformacija čelika promatrana kao apsolutna vrijednost,
− Es - modul elastičnosti čelika ( Es = 200GPa
),
− εv - Granična deformacija pri kojoj dolazi do tečenja armature (= f yd Es
).
Numerički primjer 1
d2
ξ −
σ = ε d
s 2 Es
s2
(3.19)
1−
ξ
Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne i tlačne armature od ruba presjeka d1=d2=5
cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim
opterećenjem Msd=760 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.
d 1 = 5 d = 55
d = 5
2
Msd
b = 40
geometrija
b = 40 cm
h = 60 cm
µ
sd
d = d =
1
2
A s2
A s1
5.
0 cm
c
c
d = h − d = 60 − 5 = 55 cm
Msd
= 2
bd f
cd
1
760 ⋅100
=
=
2
40 ⋅ 55 ⋅ 2.
0
0.
314
materijal:
C 30/37 ; fck = 30.0 MPa
= f γ = 30.
0 1.
5 = 20.
0 MPa
fcd ck c
B 500B ; fyk = 500.0 MPa
fyd = fyk
γ s =
opterećenje
Msd = 760.
0 MPa
500.
0 1.
15
=
434.
8 MPa
Vidljivo je da izračunati µ sd veći od maksimalnog kojeg možemo očitati iz tablica. Presjek je potrebno dvostruko armirati.
Računamo moment nosivosti:
ε
ξ
M
c2
lim
= 3.5
‰
= 0.45
Rd , lim
= µ
Vlačna armatura:
;
;
sd,
lim
ζ
bd
ε
s1
lim
2
f
= 4.278
‰
=
cd
0.813
=
;
µ
2
0.
252 ⋅ bd
sd, lim
f
cd
=
= 0.252
2
0.
252 ⋅ 40 ⋅ 55
⋅ 2.0 =
609.
8 kNm

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 28
A s2
A s1
A
s1
s1
M
=
ζ df
lim
x = 24.75
=
Rd,
lim
yd
31.
36
d = 5
2
M
+
+
sd
( d − d )
6.
91
− M
2
=
ε = 3.5 ‰
c2
2
Rd,
lim
f
yd
ε = 2.79 ‰
s2
38.
27
609.
8 ⋅100
=
+
0.813
⋅ 55 ⋅ 43.
48
cm
2
x = ξlim
⋅ d = 0.
45 ⋅ 55 =
( 760.
0 − 609.
8)
( 55 − 5)
⋅ 43.
24.
75 cm
⋅100
=
48
εc
2 εs2
x − d2
24.
75 − 5.
0
= ⇒ εs2
= εc2
=
⋅ 3.
5 =
x x − d
x 24.
75
2
fyd
434.
8
ε v(
B 500)
= = ⋅1000
(‰) = 2.17 ‰
E 200000
ε
s2
> ε
v
s
⇒ σ
s2
( d − d )
A = 38.
27 cm ⇒ odabrano 5∅32 (As=40.21 cm2 )
s2
2
A = 6.
91cm
⇒ odabrano 3∅20 (As=9.42 cm2 )
3.2
0.8
3.5 3.85
M
Rd , lim
3.2
= µ
Vlačna armatura:
A
s1
lim
3.85
sd,
lim
M
=
ζ df
=
Tlačna armatura
Rd,
lim
( d − d )
yd
bd
30.
80
2
yd
3.2
40
2
f
M
+
+
A s2
cd
sd
3.85
A s1
=
3.2
( d − d )
8.
16
3.85
0.
252 ⋅ bd
− M
2
=
Rd,
lim
f
yd
38.
96
2
= f
yd
yd
( 760.
0 − 609.
8)
( 55 − 5)
⋅ 43.
Msd
− MRd,
lim
⋅100
A s2
=
=
=
f
48
3.2
0.8
3.5
2
cm
( 760.
0 − 587.
9)
( 54 − 5.
5)
⋅ 43.
f
2
cd
=
0.8 3.5
5.33
2
3.5 0.8 3.2
5.9
0.
252 ⋅ 40 ⋅ 54
587.
9 ⋅100
=
+
0.813
⋅ 54 ⋅ 43.
48
Msd
− MRd,
lim
⋅100
A s2
=
=
=
f
48
8.
16
cm
2
6.
91
cm
2.
79 ‰
Krivo su pretpostavljene veličine d1 i d2, pa
ponavljamo proračun.
b = 40 cm
h = 60 cm
2
⋅ 2.0 =
d
d
1
2
=
=
6.
0 cm
5.
5 cm
d = h − d = 60 − 6 = 54 cm
587.
9 kNm
( 760.
0 − 587.
9)
( 54 − 5.
5)
⋅ 43.
Vidljivo je da se armatura nije značajno promijenila. Vrijede odabrane šipke.
1
⋅100
=
48
2

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 29
Numerički primjer 2
Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=6 cm, a
udaljenost težišta tlačne armature od ruba presjeka d2=12 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša
XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=760 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu
površinu armature.
d 1 = 5 d = 55
d = 12
2
Msd
b = 40
geometrija
b = 40 cm
h = 60 cm
µ
M
sd
d
d
1
2
=
6.
0 cm
A s2
A s1
= 12.
0 cm
c
c
d = h − d = 60 − 6 = 54 cm
Msd
= 2
bd f
Rd , lim
= µ
Vlačna armatura:
A s2
A s1
A
s1
lim
=
cd
sd,
lim
M
=
ζ df
Rd,
lim
d = 12
2
x = 24.75
1
760 ⋅100
=
=
2
40 ⋅ 55 ⋅ 2.
0
yd
bd
30.
80
2
f
M
+
+
cd
sd
=
( d − d )
9.
42
0.
314
2
0.
252 ⋅ bd
− M
2
=
ε = 3.5 ‰
c2
Rd,
lim
f
yd
ε = 1.80 ‰
s2
40.
22
cm
f
2
cd
=
materijal:
C 30/37 ; fck = 30.0 MPa
= f γ = 30.
0 1.
5 = 20.
0 MPa
fcd ck c
B 500B ; fyk = 500.0 MPa
fyd = fyk
γ s =
opterećenje
Msd = 760.
0 MPa
2
0.
252 ⋅ 40 ⋅ 54
587.
9 ⋅100
=
+
0.813
⋅ 54 ⋅ 43.
48
x = ξlim
⋅ d = 0.
45 ⋅ 55 =
⋅ 2.0 =
500.
0 1.
15
587.
9 kNm
( 760.
0 − 587.
9)
( 54 − 12)
⋅ 43.
24.
75 cm
=
⋅100
=
48
434.
8 MPa
εc
2 εs2
x − d2
24.
75 − 12.
0
= ⇒ εs2
= εc2
=
⋅ 3.
5 = 1.
80 ‰
x x − d
x
24.
75
2
fyd
434.
8
ε v(
B 500)
= = ⋅1000
(‰) = 2.17 ‰
E 200000
ε
s 2
> ε
v
s
⇒ σ
s2
( d − d )
2
= E ⋅ ε
s2
s
s2
= 200000 ⋅ 0.
0018 =
( 760.
0 − 587.
9)
( 55 − 12)
⋅ 36.
360.
6 MPa
Msd
− MRd,
lim
⋅100
A s2
=
=
= 11.
36 cm
σ
06
2

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 30
s1
2
A = 40.
22 cm ⇒ odabrano 5∅32 (As=40.21 cm2 )
s2
2
A = 11.
36 cm ⇒ odabrano 4∅20 (As=12.57 cm2 )
3.2
0.8
3.5 3.85
3.2
3.85
3.2
40
A s2
3.85
A s1
3.2
3.85
3.2
0.8
3.5
Napomena: Ovim postupkom se praktički može odrediti armatura za bilo koji zadani moment Msd. No, potrebno je uvijek
imati na umu da ukupni postotak armature u presjeku ne prijeđe maksimalnu dopuštenu vrijednost.
ρ l =
A
As1
+ As
=
60 ⋅ 40
Asl 2
c
40.
21+
12.
57
=
=
60 ⋅ 40
2.
2%
Maksimalna vrijednost količine armature za presjeke naprezanje savijanjem je (prema EC2) ρl,max=4%, što je više od
dobivene vrijednosti, te zaključujemo da je presjek ispravno dimenzioniran. Međutim, ovaj postotak armature je praktično
prevelik za dani presjek, te je potrebno povećati presjek i/ili smanjiti opterećenje.
4.4 Dimenzioniranje T i Γ presjeka
T presjecima nazivamo one presjeke čija tlačna zona ima oblik slova "T", crtež 7.
h
d
d 1
f
h
2
Msd
1
b eff
b
A s1
d
A s2 x 2
w
d-x
Neutralna os
εs2
ε c2
ε
*
c
2
d-d
z
0.8 3.5
5.33
2
3.5 0.8 3.2
5.9
0.85 f cd
F
F
εs1 Fs1 Crtež 11 – T - presjek
Dakle, osim oblika, da bi presjek bio T presjek mora biti ispunjen i uvjet da je x>hf . Ako je x5bw
primjenjuje se pojednostavljeni proračun, koji je za praksu dovoljno točan, a nalazi se na strani sigurnosti. Pri tome se
s2
c

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 31
pretpostavlja da ukupnu tlačnu silu prima samo ploča, i da ova sila djeluje u srednjoj ravnini ploče, tj. da je krak unutrašnjih
sila z=(d-hf/2). Dakle, zanemaruje se tlačna sila koju prima dio rebra između neutralne osi i donje ivice ploče
h
d
d 1
f
h
2
Msd
1
b eff
b
w
A s1
d
x 2
d-x
Neutralna os
εs2
εs1
ε c2
ε
*
c
z = d - h /2
f
Crtež 12 – "T" presjek s odnosom beff/bw>5
Koristeći uvjete ravnoteže, dobiva se izraz za potrebnu površinu presjeka vlačne armature.
A
M
( d − hf
/ 2)
fyd
0.85 f cd
sd
s1
= (3.20)
U praksi se najčešće pretpostave-usvoje dimenzije presjeka, a zatim se određuje armatura. Pri tom se, u pravilu, ne ide
na potpuno iskorištavanje betona, jer bi to dalo neracionalne, previše armirane presjeke. Dakle granična nosivost ovakvih
presjeka dostiže se po armaturi (10-20 ‰). S obzirom na veliku nosivost ploče, tlačna računska armatura je u pravilu
nepotrebna i ekonomski neopravdana.
Izuzetno kada aktivna širina ploče beff nije mnogo veća od širine rebra bw, a T presjek izložen savijanju s velikom tlačnom
silom, može se javiti potreba i za tlačnom računskom armaturom.
Ako je beff≤5bw, obično se ne zadovoljavamo prethodnim, pojednostavljenim postupkom proračuna T presjeka, posebno
ako je nosač T presjeka većeg raspona i opterećenja. Tada primjenjujemo točniji postupak u kojem ne zanemarujemo
doprinos tlačnog dijela rebra. Točniji postupak primjenjujemo i onda kada je beff>5bw ako je x >>hf. To će se dogoditi kod
presjeka opterećenih na savijanje s velikom tlačnom silom. Tada se doprinos nosivosti presjeka velike tlačne zone rebra ne
smije zanemariti.
U praksi se dimenzioniranje T presjeka svodi na dimenzioniranje zamjenjujućeg presjeka širine bi. Širina bi određuje se iz
uvjeta da se, pri jednakim položajima neutralne osi, dobiju jednake tlačne sile u zadanom i zamjenjujućem presjeku.
Polazišna osnova nam je pravokutni presjek širine jednake širini ploče.
Nakon izračunavanja koeficijenta µsd i očitavanja koeficijenta ξ, određujemo položaj neutralne osi (3.6), pri čemu se
mogu pojaviti dvije mogućnosti:
− neutralna os prolazi kroz ploču ili njenim donjim rubom. Takav presjek proračunavamo kao pravokutni dimenzija
beff/d, dakle za očitani ζ određujemo armaturu prema (3.11).
− neutralna os siječe rebro.
h
d
d 1
f
h
2
Msd
Nsd
1
beff bi b
A s1
d
A s2 x 2
w
d-x
Neutralna os
εs2
ε c2
ε
*
c
2
d-d
z
0.85 f cd
F s1
Fc
F
F
εs1 Fs1 s2
c

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 32
Širinu fiktivnog T presjeka bi
Crtež 13 – Zamjenjujući "T" presjek
možemo odrediti iz izraza:
b = λ ⋅ b
(3.21)
i
pri čemu se koeficijent λb može izračunati iz formule (3.22) ili dovoljno točno očitati iz tablica danih u prilogu 2, što u praksi
predstavlja uobičajeni postupak.
b
eff
⎟ α ⎛ ⎞
v ⎛ hf
⎞ b
⎜ ⎟
⎜ eff
= 1 − 1−
1−
(3.22)
αv
⎝ ξ d ⎠⎝
bw
⎠
λb ∗
pri čemu su:
− α v - koeficijent punoće radnog dijagrama betona za deformaciju ε c2
;
−
∗
αv - koeficijent punoće radnog dijagrama betona za deformaciju ∗
εc ;
Nakon pronalaženja aktivne širine bi zamjenjujućeg T presjeka provodi se dimenzioniranje kao za pravokutni presjek
poznatih dimenzija bi/d. Dobivene nova vrijednost ξ uspoređuje se sa starom, pa nastane li razlika, postupak se ponavlja.
Na ovaj način T presjek je zamijenjen s pravokutnim presjekom pa se mogu koristiti sva pomoćna sredstva za proračun
pravokutnih presjeka (tablice, dijagrami i sl.)
Numerički primjer 1
Zadan je betonski presjek dimenzija prema slici. Element je izrađen iz betona klase C 25/30 (klasa okoliša XC2), armiran
s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=700 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.
b eff = 150
materijal:
C 25/30 ; fck = 25.0 MPa
= f γ = 25.
0 1.
5 = 16.
7 MPa
h = 100
d = 95
d 1 = 5
Msd
A s1
b = 40
w
c
h = 15
f
fcd ck c
B 500B ; fyk = 500.0 MPa
fyd = fyk
γ s =
opterećenje
Msd =
700.
0 MPa
500.
0 1.
15
=
434.
8 MPa

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 33
početni presjek: beff/d = 150/95:
µ
sd
Msd
= 2
b d f
eff
cd
700 ⋅100
=
=
2
150 ⋅ 95 ⋅1.
67
0.
031
iz tablica ⇒ εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 1.0 ‰; ζ = 0.968; ξ = 0.091
x d 0.
091 95 8.
65 cm hf
15.
0 cm = <
= ⋅ = ⋅ ξ = − neutralna os siječe ploču!
M 700 ⋅100
2
= 17.
51cm
⇒ odabrano 6∅20 (As=18.85 cm2 )
sd A s1
=
=
ζ dfyd
0.
968 ⋅ 95 ⋅ 43.
48
Numerički primjer 2
Zadan je isti betonski presjek kao u prethodnom primjeru, ali opterećen računskim opterećenjem Msd=3000 kNm.
početni presjek: beff/d = 150/95:
µ
sd
Msd
= 2
b d f
eff
cd
3000 ⋅100
=
=
2
150 ⋅ 95 ⋅1.
67
0.
133
iz tablica ⇒ εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 2.9 ‰; ζ = 0.910; ξ = 0.225
x = ξ ⋅ d = 0.
225 ⋅ 95 = 21.
38 cm > hf
= 15.
0 cm − neutralna os siječe rebro!
⇒ Potrebno je odrediti aktivnu širinu fiktivnog T presjeka.
Aktivnu širinu očitavamo iz Tablice u Prilogu 2, prethodno izračunavši parametre:
beff
150
hf 15
= = 3.
75 , = = 0.
16 , ξ = 0.
225
b 40
d 95
w
Te iz tablice očitamo λb:
λ b = 0.
91
Fiktivna širina je:
bi = λb
⋅ beff
= 0.
91⋅150
= 136.
5 cm
h f
d
0.550 0.525 0.500 0.475 0.450 0.425 0.400 0.375 0.350 0.325 0.300 0.275 0.250 0.225 0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
ξ = x d
λ b
0.550 0.525 0.500 0.475 0.450 0.425 0.400 0.375 0.350 0.325 0.300 0.275 0.250 0.225 0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
0.550 0.513 0.489 0.464 0.437 0.413 0.386 0.362 0.335 0.309 0.284 0.259 0.232 0.207 0.181 0.155 0.130 0.103 0.078 0.052 0.026 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
0.550 0.513 0.487 0.461 0.436 0.409 0.383 0.357 0.330 0.303 0.276 0.249 0.221 0.194 0.166 0.139 0.111 0.083 0.056 0.028 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99
0.550 0.513 0.487 0.460 0.434 0.407 0.379 0.351 0.323 0.295 0.266 0.237 0.208 0.178 0.149 0.119 0.090 0.060 0.030 0.99 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98
0.550 0.512 0.485 0.459 0.431 0.403 0.374 0.345 0.315 0.285 0.254 0.223 0.192 0.160 0.129 0.097 0.065 0.032 0.98 0.97 0.97 0.97 0.96 0.96 0.96 0.96
0.550 0.512 0.485 0.457 0.428 0.399 0.368 0.337 0.306 0.273 0.240 0.207 0.173 0.139 0.105 0.070 0.035 0.97 0.96 0.95 0.94 0.94 0.94 0.94 0.93
0.550 0.511 0.483 0.454 0.425 0.394 0.362 0.329 0.295 0.260 0.224 0.188 0.151 0.114 0.076 0.038 0.96 0.94 0.93 0.92 0.91 0.91 0.91 0.90
0.550 0.510 0.481 0.451 0.420 0.388 0.354 0.318 0.281 0.243 0.204 0.164 0.124 0.083 0.042 0.95 0.92 0.90 0.89 0.88 0.88 0.87 0.87
0.550 0.509 0.479 0.448 0.415 0.381 0.344 0.305 0.265 0.223 0.180 0.136 0.091 0.046 0.93 0.90 0.87 0.86 0.85 0.84 0.84 0.83
0.550 0.508 0.477 0.444 0.409 0.372 0.331 0.289 0.244 0.198 0.150 0.101 0.051 0.91 0.87 0.84 0.83 0.81 0.80 0.80 0.79
0.550 0.507 0.473 0.439 0.401 0.360 0.316 0.268 0.218 0.166 0.112 0.056 0.90 0.84 0.81 0.79 0.78 0.76 0.76 0.75
0.550 0.505 0.469 0.432 0.391 0.345 0.295 0.241 0.184 0.125 0.063 0.88 0.82 0.78 0.75 0.74 0.72 0.71 0.70
0.550 0.502 0.464 0.423 0.378 0.326 0.268 0.206 0.140 0.071 0.86 0.79 0.74 0.72 0.70 0.68 0.67 0.66
0.550 0.499 0.457 0.412 0.360 0.299 0.232 0.158 0.081 0.84 0.76 0.71 0.68 0.65 0.64 0.62 0.61
0.550 0.494 0.448 0.397 0.335 0.262 0.181 0.093 0.82 0.73 0.68 0.64 0.61 0.59 0.58 0.57
0.550 0.488 0.435 0.374 0.298 0.208 0.108 0.80 0.70 0.64 0.60 0.57 0.55 0.53 0.52
0.550 0.479 0.418 0.342 0.243 0.127 0.78 0.67 0.60 0.56 0.53 0.51 0.49 0.48
0.550 0.467 0.392 0.288 0.154 0.76 0.64 0.58 0.53 0.49 0.47 0.45 0.43
b eff
0.550 0.449 0.347 0.192 0.74 0.62 0.54 0.49 0.45 0.42 0.40 0.38
0.550 0.420 0.252 0.72 0.59 0.50 0.45 0.41 0.38 0.36 0.34
0.550 0.351 0.71 0.56 0.47 0.41 0.37 0.34 0.31 0.29
0.550 0.69 0.53 0.43 0.37 0.33 0.29 0.27 0.25
b

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 34
⇒ Analiziramo novi presjek: bi/d = 136.5/100
µ
sd
M
=
b d
i
sd
2
fcd
=
3000
⋅
136.
5
⋅100
2
95 ⋅1.
67
=
0.
146
iz tablica ⇒ εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 3.2 ‰; ζ = 0.901; ξ = 0.242
⇒ Ponovno je potrebno odrediti aktivnu širinu fiktivnog T presjeka (ξ = 0.242):
Te iz tablice očitamo λb:
λ b = 0.
88
Fiktivna širina je:
bi = λb
⋅ beff
= 0.
88 ⋅150
= 132.
0 cm
⇒ Analiziramo novi presjek: b/d = 132.0/100
µ
sd
M
=
b d
i
sd
2
fcd
3000 ⋅100
=
=
2
132 ⋅ 95 ⋅1.
67
0.
151
iz tablica ⇒ εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 3.3 ‰; ζ = 0.898; ξ = 0.248
pošto je promjena ξ mala, zadovoljavamo se dobivenim rezultatom.
M 3000 ⋅100
2
= 80.
87 cm ⇒ odabrano 6∅20 (As=18.85 cm2 )
sd A s1
=
=
ζ dfyd
0.
898 ⋅ 95 ⋅ 43.
48
Da smo prihvatili da je zadani presjek vitak (beff>5bw):
M
3000 ⋅100
sd
A s1
=
=
=
( d − hf
2)
fyd
( 95 −15
2)
⋅ 43.
48
78.
85
Napomena uz primjer 2: Potrebna površina armature je korektno izračunata danim formulama, međutim postava ove
armature u presjek bi bila prilično nezgodna.
ρ
s
A
=
A
s1
c
80.
87
= =
150 ⋅100
0.
5%
h f
d
0.550 0.525 0.500 0.475 0.450 0.425 0.400 0.375 0.350 0.325 0.300 0.275 0.250 0.225 0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
ξ = x d
λ b
0.550 0.525 0.500 0.475 0.450 0.425 0.400 0.375 0.350 0.325 0.300 0.275 0.250 0.225 0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
0.550 0.513 0.489 0.464 0.437 0.413 0.386 0.362 0.335 0.309 0.284 0.259 0.232 0.207 0.181 0.155 0.130 0.103 0.078 0.052 0.026 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
0.550 0.513 0.487 0.461 0.436 0.409 0.383 0.357 0.330 0.303 0.276 0.249 0.221 0.194 0.166 0.139 0.111 0.083 0.056 0.028 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99
0.550 0.513 0.487 0.460 0.434 0.407 0.379 0.351 0.323 0.295 0.266 0.237 0.208 0.178 0.149 0.119 0.090 0.060 0.030 0.99 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98
0.550 0.512 0.485 0.459 0.431 0.403 0.374 0.345 0.315 0.285 0.254 0.223 0.192 0.160 0.129 0.097 0.065 0.032 0.98 0.97 0.97 0.97 0.96 0.96 0.96 0.96
0.550 0.512 0.485 0.457 0.428 0.399 0.368 0.337 0.306 0.273 0.240 0.207 0.173 0.139 0.105 0.070 0.035 0.97 0.96 0.95 0.94 0.94 0.94 0.94 0.93
0.550 0.511 0.483 0.454 0.425 0.394 0.362 0.329 0.295 0.260 0.224 0.188 0.151 0.114 0.076 0.038 0.96 0.94 0.93 0.92 0.91 0.91 0.91 0.90
0.550 0.510 0.481 0.451 0.420 0.388 0.354 0.318 0.281 0.243 0.204 0.164 0.124 0.083 0.042 0.95 0.92 0.90 0.89 0.88 0.88 0.87 0.87
0.550 0.509 0.479 0.448 0.415 0.381 0.344 0.305 0.265 0.223 0.180 0.136 0.091 0.046 0.93 0.90 0.87 0.86 0.85 0.84 0.84 0.83
0.550 0.508 0.477 0.444 0.409 0.372 0.331 0.289 0.244 0.198 0.150 0.101 0.051 0.91 0.87 0.84 0.83 0.81 0.80 0.80 0.79
0.550 0.507 0.473 0.439 0.401 0.360 0.316 0.268 0.218 0.166 0.112 0.056 0.90 0.84 0.81 0.79 0.78 0.76 0.76 0.75
0.550 0.505 0.469 0.432 0.391 0.345 0.295 0.241 0.184 0.125 0.063 0.88 0.82 0.78 0.75 0.74 0.72 0.71 0.70
0.550 0.502 0.464 0.423 0.378 0.326 0.268 0.206 0.140 0.071 0.86 0.79 0.74 0.72 0.70 0.68 0.67 0.66
0.550 0.499 0.457 0.412 0.360 0.299 0.232 0.158 0.081 0.84 0.76 0.71 0.68 0.65 0.64 0.62 0.61
0.550 0.494 0.448 0.397 0.335 0.262 0.181 0.093 0.82 0.73 0.68 0.64 0.61 0.59 0.58 0.57
0.550 0.488 0.435 0.374 0.298 0.208 0.108 0.80 0.70 0.64 0.60 0.57 0.55 0.53 0.52
0.550 0.479 0.418 0.342 0.243 0.127 0.78 0.67 0.60 0.56 0.53 0.51 0.49 0.48
cm
0.550 0.467 0.392 0.288 0.154 0.76 0.64 0.58 0.53 0.49 0.47 0.45 0.43
2
b eff
0.550 0.449 0.347 0.192 0.74 0.62 0.54 0.49 0.45 0.42 0.40 0.38
0.550 0.420 0.252 0.72 0.59 0.50 0.45 0.41 0.38 0.36 0.34
0.550 0.351 0.71 0.56 0.47 0.41 0.37 0.34 0.31 0.29
0.550 0.69 0.53 0.43 0.37 0.33 0.29 0.27 0.25
b

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 35
Moguća armatura bila bi 8∅36 (As1=81.43 cm 2 ), pa skica armature jasno pokazuje da je potrebno ponoviti proračun s
novom vrijednosti d1≈10.0 cm.
3.6
0.8
3.5
5.67
3.6
5.67
40
3.6
Težište armature
5.67
3.6
0.8
3.5
4.5 Kratki elementi opterećeni centričnom tlačnom silom
Pošto je beton materijal koji posjeduje veliku tlačnu čvrstoću, često nema potrebe za armiranjem kratkih elemenata
opterećenih centričnom tlačnom silom. Kratkim elementima smatramo one elemente kod kojih nema pojave izvijanja.
Potrebna armatura u presjeku, uz poznate dimenzije, proračunava se po izrazu:
A
s,
req
N − A ⋅ 0.
85 ⋅ f
f − 0.
85 ⋅ f
yd
cd
9.7
sd c
cd
= (3.23)
Ako je vrijednost A s,
req negativna, armatura nije potrebna i tada se postavlja minimalna armatura.
Važno je napomenuti da bi presjeci opterećeni na centrični tlak u svakom slučaju trebali biti minimalno armirani. Pojava
armature, posebno veće količine, u takvim presjecima ukazuje na iscrpljenost betona i nedostatne dimenzije presjeka.
4.6 Kratki elementi opterećeni centričnom vlačnom silom
Elementi naprezani na centrični vlak mogu se proračunavati na dva načina:
1. Ako monolitnost betona nije važna i u njemu mogu nastati pukotine, sve sile vlaka preuzima armatura
N
sd A s,
req = (3.24)
fyd
2. Ako treba paziti na trajnu monolitnost betona, što znači da beton konstrukcije ne smije imati pukotina, tada:
N
A
⋅ f
+ A
pri čemu su:
− Nsd ∑ i Ni
γ = - računska vrijednost utjecaja (računska uzdužna sila);
⋅ f
c ct,
m s s
sd ≤ NRd
=
(3.25)
γ1
− N Rd - računska nosivost;
− A c - ukupna površina betonskog presjeka;
− f ct, m - srednja vlačna čvrstoća betona (tablica u poglavlju 2.4);
− f s - stvarna čvrstoća čelika;
− γ 1 - koeficijent sigurnosti od pojave pukotina: 1.2-1.5 i ovisi o važnosti konstrukcije;;
3.6 3.6
3.5 0.8 3.6

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 36
Stvarno naprezanje u armaturi nalazi se iz uvjeta da su relativne deformacije betona εc i čelika εs u trenutku nastanka
pukotina jednake (uvjet monolitnosti):
ε
s
= ε
c
f
=
E
ct,
m
cm
;
f
s
= E ⋅ ε
Prema pokusima opasnost od pojave pukotina u betonu nastaje kada relativna deformacija betona dosegne vrijednost εc
= 0.1‰.
Iz izraza (3.25) može se odrediti potrebna količina armature za zadani betonski presjek odnosno potrebna površina
betonskog presjeka za zadani koeficijent armiranja.
Ovdje je također važno napomenuti da je generalno potrebno izbjegavati armiranog betonske elemente opterećene na
centrični vlak. Takve elemente je znatno ekonomičnije izvesti iz čelika ili nekog drugog materijala (npr. karbonska vlakna i
sl.).
4.7 Dimenzioniranje pravokutnog presjeka na moment savijanja i uzdužnu silu
4.7.1 Uzdužna vlačna sila – postupak Wuczkowskog
Kada na pravokutni presjek osim momenta savijanja Msd djeluje i uzdužna vlačna sila Nsd govorimo o ekscentričnom
vlaku ili savijanju s uzdužnom vlačnom silom. Primjer takvog slučaja prikazan je na crtežu 10.
h
d
d 1
2
1
Nsd
Msd
b
As2
As1
2
d
d-x
x=ξ*d
εs2
Neutralna os
ε c2
s
2
d-d
z=ζ*d
s
0.85 f cd
Fs2
εs1 Fs1 Crtež 14 – Pravokutni presjek opterećen momentom savijanja i tlačnom silom
Dimenzioniranju presjeka pristupa se tako da se sila prebaci u težište vlačne armature, crtež 11.
d-h/2
Nsd
Msds
h
d
d 1
2
1
b
As2
As1
2
d
d-x
x=ξ*d
εs2
Neutralna os
ε c2
2
d-d
z=ζ*d
εs1 Fs1 Crtež 15 – Prebacivanje sile u težište vlačne armature
Računski moment savijanja s obzirom na vlačnu armaturu bit će:
F
c
0.85 f cd
⎛ h ⎞
sds = Msd
− N ⋅ ⎜d
− ⎟ (3.26)
⎝ 2 ⎠
M sd
Moment nosivosti (najveći moment savijanja koji jednostruko armirani presjek može preuzeti) je:
F
F
s2
c

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 37
Rd,
lim
Pa se potrebna armatura može dobiti po slijedećim izrazima:
A
s 1
sd,
lim
2
M = µ bd f
(3.27)
( d − d )
cd
MRd,
lim Msd
− MRd,
lim Nsd
= +
+ - ukupna vlačna armatura (3.28)
ζ df
f f
lim
yd
A
s2
2
( d − d )
gdje je
− σs2 tlačno naprezanje u armaturi (izraz 3.19)
yd
yd
Msd
− MRd,
lim
= - tlačna armatura (3.29)
σ
2
s2
Kada je računski moment Msd nije veći od momenta nosivosti MRd,lim, prethodni izrazi za potrebnu količinu armature se
reduciraju:
A
s 1
Msd
Nsd
= + - ukupna vlačna armatura (3.30)
ζ df
f
yd
A 2
4.7.2 Uzdužna tlačna sila – postupak Wuczkowskog
yd
s = 0 - tlačna armatura (3.31)
U slučaju kada na pravokutni presjek osim momenta savijanja Msd djeluje i uzdužna tlačna sila Nsd govorimo o
ekscentričnom tlaku ili savijanju s uzdužnom tlačnom silom. Primjer takvog slučaja prikazan je na crtežu 12.
h
d
d 1
2
1
Nsd
b
As2
Msd
As1
2
d
d-x
x=ξ*d
εs2
Neutralna os
ε c2
2
d-d
z=ζ*d
0.85 f cd
Fs2
εs1 Fs1 Crtež 16 – Pravokutni presjek opterećen momentom savijanja i tlačnom silom
Dimenzioniranju presjeka također se pristupa tako da se sila prebaci u težište vlačne armature, crtež 13.
d-h/2
Nsd
Msds
h
d
d 1
2
1
b
As2
As1
2
d
d-x
x=ξ*d
εs2
Neutralna os
ε c2
2
d-d
z=ζ*d
εs1 Fs1 Crtež 17 – Prebacivanje sile u težište vlačne armature
F
c
0.85 f cd
F
F
s2
c

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 38
Računski moment savijanja s obzirom na vlačnu armaturu bit će:
⎛ h ⎞
sds = Msd
+ N ⋅ ⎜d
− ⎟ (3.32)
⎝ 2 ⎠
M sd
Moment nosivosti (najveći moment savijanja koji jednostruko armirani presjek može preuzeti) je:
Rd,
lim
Pa se potrebna armatura može dobiti po slijedećim izrazima:
A
s1
sd,
lim
2
M = µ bd f
(3.33)
( d − d )
cd
MRd,
lim Msd
− MRd,
lim Nsd
= +
− - ukupna vlačna armatura (3.34)
ζ df
f f
lim
yd
2
yd
Msd
− MRd,
lim
As2
= - tlačna armatura (3.35)
( d − d2
) σs2
gdje je
− σs2 tlačno naprezanje u armaturi (izraz 3.19)
Kada je računski moment Msd nije veći od momenta nosivosti MRd,lim, prethodni izrazi za potrebnu količinu armature se
reduciraju:
A
s1
yd
Msd
Nsd
= − - ukupna vlačna armatura (3.36)
ζ df
f
yd
A 2
yd
s = 0 - tlačna armatura (3.37)

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 39
Numerički primjer 1
Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=5 cm.
Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim
opterećenjem Msd=260 kNm i Nsd=-120 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.
materijal:
C 30/37 ; fck = 30.0 MPa
= f γ = 30.
0 1.
5 = 20.
0 MPa
h = 60
d 1 = 5 d = 55
Msd
Nsd
b = 40
A s1
c
geometrija
b = 40 cm
d1
= 5.
0 cm
h = 60 cm
d = h − d1
= 60 − 5 = 55 cm
Moment s obzirom na težište vlačne armature
x = 10.67
x = 11.33
fcd ck c
B 500B ; fyk = 500.0 MPa
fyd = fyk
γ s =
opterećenje
Msd = 260.
0 kNm
N sd
500.
0 1.
15
=
= −120.
0 kN (tlačna sila)
⎛ h ⎞
⎛ 0.
60 ⎞
Msds = Msd
+ Nsd⎜
d − ⎟ = 260.
0 + 120.
0 ⋅ ⎜0.
55 − ⎟ = 290.
0 kNm
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
Moment nosivosti za εs1 = 10.0 ‰ ( µ = 0.
159 )
Rd,
lim
sd,
lim
2
cd
sd , lim
2
M = µ bd f = 0.
159 ⋅ bd f = 0.
159 ⋅ 40 ⋅ 55 ⋅ 2.0 = 384.
8 kNm > M
µ
sd
M
=
bd
sds
2
fcd
290 ⋅100
=
=
2
40 ⋅ 55 ⋅ 2.
0
cd
0.
120
iz tablica ⇒ εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 2.6 ‰; ζ = 0.919; ξ = 0.206
x = ξ ⋅ d = 0.
206 ⋅ 55 = 11.
33 cm
A
A
s1
s2
M
=
ζ df
=
0.
0
sd
yd
N
−
f
s1
sd
yd
290 ⋅100
120.
0
=
− = 13.
20 −
0.
919 ⋅ 55 ⋅ 43.
48 43.
48
2
2
2.
76
A = 10.
44 cm ⇒ odabrano 6∅16 (As=12.06 cm2 )
=
10.
44
Kao usporedba mogu se navesti rezultati za čisto savijanje (djelovanje samog momenta) iz točke 3.2.2.
Položaj neutralne osi: xsav = 10.
67 cm < xexc , tl = 11.
33 cm
Potrebna armatura: A = 11.
75 cm > A =
10.
44 cm
s1,
sav
2
s1,
exc,
tl
2
cm
2
434.
8 MPa
sds

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 40
Numerički primjer 2
Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=5 cm.
Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim
opterećenjem Msd=260 kNm i Nsd=120 kN (vlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.
materijal:
C 30/37 ; fck = 30.0 MPa
= f γ = 30.
0 1.
5 = 20.
0 MPa
h = 60
d 1 = 5 d = 55
Msd
Nsd
b = 40
A s1
c
geometrija
b = 40 cm
d1
= 5.
0 cm
h = 60 cm
d = h − d1
= 60 − 5 = 55 cm
Moment s obzirom na težište vlačne armature
x = 9.57
x = 11.33
fcd ck c
B 500B ; fyk = 500.0 MPa
fyd = fyk
γ s =
opterećenje
Msd = 260.
0 kNm
500.
0 1.
15
Nsd = 120.
0 kN (vlačna sila)
⎛ h ⎞
⎛ 0.
60 ⎞
Msds = Msd
− Nsd⎜
d − ⎟ = 260.
0 − 120.
0 ⋅ ⎜0.
55 − ⎟ = 230.
0 kNm
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
Moment nosivosti za εs1 = 10.0 ‰ ( µ = 0.
159 )
Rd,
lim
sd,
lim
2
cd
sd , lim
2
M = µ bd f = 0.
159 ⋅ bd f = 0.
159 ⋅ 40 ⋅ 55 ⋅ 2.0 = 384.
8 kNm > M
µ
sd
M
=
bd
sds
2
fcd
230 ⋅100
=
=
2
40 ⋅ 55 ⋅ 2.
0
cd
0.
095
iz tablica ⇒ εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 2.1 ‰; ζ = 0.934; ξ = 0.174
x = ξ ⋅ d = 0.
174 ⋅ 55 = 9.
57 cm
A
A
s1
s2
M
=
ζ df
=
0.
0
sd
yd
N
−
f
s1
sd
yd
230 ⋅100
120.
0
=
+ = 10.
30 +
0.
934 ⋅ 55 ⋅ 43.
48 43.
48
2
2
2.
76
A = 13.
06 cm ⇒ odabrano 7∅16 (As=14.07 cm2 )
=
13.
06
cm
2
=
434.
8 MPa
Kao usporedba mogu se navesti rezultati za čisto savijanje (djelovanje samog momenta) iz točke 3.2.2. i rezultati iz
prethodnog primjera:
Položaj neutralne osi: xexc , vl = 9.
57 cm < xsav = 10.
67 cm < xexc , tl = 11.
33 cm
2
Potrebna armatura: A = 13.
06 cm > A = 11.
75 cm > A =
10.
44 cm
s1,
exc,
vl
s1,
sav
2
s1,
exc,
tl
2
sds

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 41
Numerički primjer 3
Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=5 cm.
Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim
opterećenjem Msd=360 kNm i Nsd=-240 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.
A s2
A s1
h = 60
d 1 = 5 d = 55
Msd
Nsd
b = 40
A s2
A s1
c
geometrija
b = 40 cm
d1
= 5.
0 cm
h = 60 cm
d = h − d1
= 60 − 5 = 55 cm
Moment s obzirom na težište vlačne armature
materijal:
C 30/37 ; fck = 30.0 MPa
= f γ = 30.
0 1.
5 = 20.
0 MPa
fcd ck c
B 500B ; fyk = 500.0 MPa
fyd = fyk
γ s =
opterećenje
Msd = 360.
0 kNm
N sd
500.
0 1.
15
=
= −240.
0 kN (tlačna sila)
⎛ h ⎞
⎛ 0.
60 ⎞
Msds = Msd
+ Nsd⎜
d − ⎟ = 360.
0 + 240.
0 ⋅ ⎜0.
55 − ⎟ = 420.
0 kNm
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
Moment nosivosti za εs1 = 10.0 ‰ ( µ = 0.
159 )
Rd,
lim
sd,
lim
2
cd
sd , lim
2
M = µ bd f = 0.
159 ⋅ bd f = 0.
159 ⋅ 40 ⋅ 55 ⋅ 2.0 = 384.
8 kNm < M
iz tablica ⇒
presjek je dvostruko armiran
εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 3.5 ‰; ζ = 0.892; ξ = 0.259
A
s1
M
=
ζ df
lim
x = 14.25
Rd,
lim
d = 5
2
yd
s1
M
+
sds
− M
( d − d )
2
Rd,
lim
f
yd
N
−
f
sd
yd
cd
384.
8 ⋅100
=
+
0.892
⋅ 55 ⋅43.
48
2
2
( 420.
0 − 384.
8)
( 55 − 5)
⋅43.
434.
8 MPa
sds
⋅100
240.
0
−
48 43.
48
A = 18.
04 + 1.
62 − 5.
52 = 14.
14 cm ⇒ odabrano 5∅20 (As=15.71 cm2 )
ε = 3.5 ‰
c2
ε = 2.27 ‰
s2
x = ξlim
⋅ d = 0.
259 ⋅ 55 = 14.
25 cm
εc
2 εs2
x − d2
14.
25 − 5.
0
= ⇒ εs2
= εc2
=
⋅ 3.
5 =
x x − d
x 14.
25
2
fyd
434.
8
ε v(
B 500)
= = ⋅1000
(‰) = 2.17 ‰
E 200000
ε
s2
> ε
v
s
⇒ σ
s2
( d − d )
2
= f
yd
( 420.
0 − 384.
8)
( 55 − 5)
⋅43.
Msds
− MRd,
lim
⋅100
A s2
=
=
= 1.
62 cm
f
48
yd
⇒ odabrano 2∅12 (As=2.26 cm2 )
2.
27 ‰
2

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 42
4.7.3 Uzdužna tlačna/vlačna sila – dimenzioniranje pomoću dijagrama interakcije
Pravokutni presjeci pri djelovanju momenta savijanja i uzdužne tlačne ili vlačne sile mogu se također proračunati pomoću
dijagrama interakcije. Dijagrami su napravljeni za različite vrste armature i za različite omjere d1/h (d2/h) i za različite omjere
As2/As1. Dijagrami za armaturu B500, simetričnu armaturu (As2=As1) i tri odnosa d1/h (d2/h) prikazani su u prilozima 4, 5 i 6.
Postupak je vrlo jednostavan. Za proračunate bezdimenzionalne vrijednosti:
µ
ν
sd
sd
M
=
b ⋅ h
sd
2
⋅ fcd
Nsd
=
b ⋅ h ⋅ f
u dijagramima interakcije se očita mehanički koeficijent armiranja ω, te se proračuna potrebna armatura prema izrazima
Numerički primjer 1
A
A
s1
s2
= ω ⋅
= A
s1
A
c
f
⋅
f
cd
yd
cd
f
= ω ⋅ b ⋅ h ⋅
f
Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta armatura od ruba presjeka d1=d2=5 cm. Element je
izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), simetrično armiran s B 500B. Element je opterećen računskim
opterećenjem Msd=260 kNm i Nsd=-120 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.
h = 60
d 1 = 5 d = 55
d = 5
2
Nsd
Msd
geometrija
b = 40 cm
h = 60 cm
b = 40
A s2
A s1
c
Koristimo dijagram: α=0.075 (prilog 5)
ν
µ
sd
sd
d = d =
1
α = d
1
2
5.
0 cm
h = 5 60 =
Nsd
=
bh fcd
120
=
= 0.
025
40 ⋅ 60 ⋅ 2.
0
Msd
= 2
bh f
260 ⋅100
=
= 0.
090
2
40 ⋅ 60 ⋅ 2.
0
cd
cd
yd
materijal:
C 30/37 ; fck = 30.0 MPa
= f γ = 30.
0 1.
5 = 20.
0 MPa
fcd ck c
B 500B ; fyk = 500.0 MPa
fyd = fyk
γ s =
opterećenje
Msd = 260.
0 kNm
0.
083
N sd
500.
0 1.
15
=
= −120.
0 kN (tlačna sila)
434.
8 MPa
(3.38)
(3.39)

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 43
ν
0.10
ω=0.05
B 500
α = As2
As1
= 1.
0
β = d h = d h = 0.
075
0.15
0.35
0.30
0.25
0.20
1
0.45
0.40
2
0.50
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
Nsd
νsd
=
bh
fcd
Msd
µ sd = 2
bh
fcd
fcd
As1
= As2
= ωb
h
fyd
Msd
Nsd
b
As1
As1
d 2
d
h
d 1
µ
Očitano
ω = 0.
090
Armatura
A
A
s1
s2
s1
0.10
ω=0.05
0.15
30
0.25
0.20
2.
0
= 0.
09 ⋅ 40 ⋅ 60 ⋅ = 9.
94 cm
43.
48
2
= A = 9.
94 cm
Vidljivo je da je armatura izračunata na ovakav način znatno veća nego armatura izračunata postupkom Wuczkowskog,
iako je sama vlačna armatura (As1) nešto manja:
A
A
sl, tot, dij
sl, tot, Wuc
= A
s1
= A
+ A
s1
s2
+ A
=
s2
9.
94
+
9.
94
= 10.
44 +
=
0.
0
19.
88
=
10.
44
cm
U slučaju da je moment alternirajući (mijenja smjer), vidljivo je da bi ukupna armatura tada bila manja.
2
cm
2
2

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 44
Numerički primjer 2
Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta armatura od ruba presjeka d1=d2=5 cm. Element je
izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), simetrično armiran s B 500B. Element je opterećen računskim
opterećenjem Msd=860 kNm i Nsd=-420 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.
h = 60
d 1 = 5 d = 55
d = 5
2
Nsd
Msd
geometrija
b = 40 cm
h = 60 cm
ν
b = 40
A s2
A s1
Koristimo dijagram: α=0.075
0.10
ω=0.05
0.15
ν
µ
sd
sd
0.35
0.30
0.25
0.20
c
d = d =
1
α = d
Nsd
=
bh fcd
420
=
=
40 ⋅ 60 ⋅ 2.
0
Msd
= 2
bh f
860 ⋅100
=
=
2
40 ⋅ 60 ⋅ 2.
0
0.45
0.40
0.50
cd
B 500
α = As2
As1
= 1.
0
β = d h = d h = 0.
075
1
2
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
Nsd
νsd
=
bh
fcd
Msd
µ sd = 2
bh
fcd
fcd
As1
= As2
= ωb
h
fyd
1
2
5.
0 cm
h = 5 60 =
0.
088
0.
300
Msd
Nsd
b
As1
As1
d 2
d 1
materijal:
C 30/37 ; fck = 30.0 MPa
= f γ = 30.
0 1.
5 = 20.
0 MPa
fcd ck c
B 500B ; fyk = 500.0 MPa
fyd = fyk
γ s =
opterećenje
Msd = 860.
0 kNm
0.
083
d
h
µ
N sd
500.
0 1.
15
=
= −420.
0 kN (tlačna sila)
Očitano
ω = 0.
31
Armatura
A
A
s1
s2
s1
0.10
ω=0.05
0.15
0.35
0.30
0.25
0.20
434.
8 MPa
0.45
0.40
2.
0
=
0.
31⋅
40 ⋅ 60 ⋅ = 34.
22 cm
43.
48
2
= A = 34.
22 cm
0.50
2
0

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 45
4.8 Dimenzioniranje okruglog presjeka naprezanih momentom savijanja i uzdužnom
silom
Određivanje potrebne armature za elemente okruglog presjeka najlakše je sprovesti pomoću dijagrama interakcije.
Na sličan način kao za pravokutne presjeke izrađeni su dijagrami za dimenzioniranje kružnih presjeka. Dijagrami,
izrađeni za armaturu B500 simetrično raspoređenu po opsegu, te za odnose ϕ = rs priloženi su u prilozima 7 i 8.
r = 0.
85 i ϕ = rs r = 0.
90 ,
d=2r
d 1
Nsd
Msd
As
r s
r
Neutralna os
εs,max
Crtež 18 – Kružni presjek opterećen momentom savijanja i tlačnom silom
Dijagram se koristi na sličan način kao i dijagram za pravokutne presjeke. Dakle, za proračunati odnos: ϕ = rs r ,
proračunaju se bezdimenzionalne vrijednosti:
M
sd
sd
µ sd =
; νsd
=
(3.40)
r ⋅ Ac
⋅ fcd
Ac
⋅ fcd
te se iz dijagrama interakcije očita mehanički koeficijent armiranja ω i proračuna ukupna potrebna armatura prema izrazu:
Proračunatu armaturu je potrebno jednoliko raspodijeliti po opsegu.
Numerički primjer
cd
yd
N
ε c2
f
As = ω ⋅ Ac
⋅
(3.41)
f
Okrugli betonski stup dimenzija d=50 cm (udaljenost težišta armatura od ruba presjeka d1 =4 cm), izrađen je iz betona
klase C 40/50 (klasa okoliša XC2), simetrično armiran s B 500B. Stup je opterećen računskim opterećenjem Msd=160 kNm i
Nsd=-320 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.
materijal:
geometrija
Nsd
Msd
4 42
50
A s
4
C 40/50 ; fck = 40.0 MPa
fcd = fck
γc
= 40.
0 1.
5 = 26.
7 MPa
B 500B ; fyk = 500.0 MPa
fyd = fyk
opterećenje
γ s = 500.
0 1.
15 = 434.
8 MPa
Msd = 160.
0 kNm
= −320.
0 kN (tlačna sila)
N sd

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 46
cm
21
d
r
r
cm
25
r
1
s
=
−
=
=
84
.
0
25
21
r
r
cm
0
.
4
d
s
1
=
=
=
ϕ
=
Koristimo dijagram: 85
.
0
=
ϕ (prilog 7)
122
.
0
67
.
2
25
5
.
1963
100
160
f
r
A
M
061
.
0
67
.
2
5
.
1963
320
f
A
N
cm
5
.
1963
25
r
A
cd
c
sd
sd
cd
c
sd
sd
2
2
2
c
=
⋅
⋅
⋅
=
=
µ
=
⋅
−
=
=
ν
=
π
⋅
=
π
=
ν
µ
ω=0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
s
A
r
sd
N
sd
M
s
r
c
cd
sd
sd
cd
sd
sd
r
A
f
M
f
N
π
=
=
µ
=
ν
0.85
r
r
500
B
s
ϕ =
=
c
A
c
A r
yd
cd
2
s
1
s
f
f
A
A ω
=
=
2
c
A
ω=0.05
0.10
0.15
Očitano
010
.
0
=
ω
Armatura
2
yd
cd
c
s
cm
1
.
12
48
.
43
67
.
2
5
.
1963
100
.
0
f
f
A
A
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
ω
=
Odabrana simetrična armatura:
12∅12 As=13.57 cm 2
%
7
.
0
5
.
1963
13.57
A
A
c
s =
=
=
ρ
50
4
4 42
s
A =12Ø12

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 47
4.9 Dimenzioniranje presjeka na Poprečnu silu
4.9.1 Općenito
Poprečne sile se proračunavaju prema poboljšanoj Mörsch-Ritterovoj analogiji rešetke. Po toj metodi pretpostavlja se da
jedan dio poprečne sile prihvaća beton i uzdužna armatura nakon razvoja dijagonalnih pukotina u betonu, a ostatak
poprečne sile se prihvaća vertikalnim sponama (stremenovima) i/ili kosom armaturom (Standardna metoda).
Po drugoj metodi – Metodi slobodnog odabira nagiba tlačnih štapova, koja se kao alternativa predlaže s EC2, nosivost
betona se ne uzima u obzir, već se uzima blaži kut nagiba tlačnih dijagonala od 45°, čime se postižu uštede na poprečnoj
armaturi, ali se povećava uzdužna armatura, izravno ili preko pomaka dijagrama vlačnih sila prilikom raspodijele armature.
4.9.2 Postupak
s w
V wd
Uvjet nosivosti na poprečne sile:
gdje je:
s w
− Vsd – računska poprečna sila
− VRd – računska nosivost na poprečne sile
l
s w
F
z
d
h
F
V Rd1
Crtež 19 – Model Mörsch-Ritterove rešetke
sd
Rd
V wd
V V ≤ (3.42)
Računska armatura za prihvaćanje poprečnih sila (tj. glavnih kosih vlačnih naprezanja) neće biti potrebna ako je
zadovoljen uvjet:
[ τ ⋅ k ⋅ ( 1.
2 + 40 ⋅ ρ ) + 0.
15 ⋅ σ ] ⋅ b ⋅ d
Vsd ≤ VRd1
= Rd
l
cp w
(3.43)
gdje je:
− τRd – računska čvrstoća na djelovanje glavnih kosih naprezanja
− k = 1.
6 − d ≤ 1 - korekcijski faktor (d u metrima)
− ρl – koeficijent armiranja uzdužnom armaturom (As/Ac) < 0.02 (2.0%)
− bw – najmanja širina presjeka u vlačnoj zoni
− d – statička visina presjeka
− σcp = Nsd/Ac – središnje naprezanje (+ za tlak, - za vlak)
− Nsd – računska uzdužna sila u presjeku
− Ac – površina betonskog presjeka
Za presjek u kojem je zadovoljen izraz 3.43, računska poprečna armatura nije potrebna, ali je uvijek potrebno postaviti
minimalnu (konstruktivnu) poprečnu armaturu.
Ako na presjek istovremeno s poprečnim silama djeluje i moment torzije, tada se uzima VRd 1 = 0.
0 , i cjelokupnu
poprečnu silu preuzima armatura.

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 48
Nosivost tlačnih štapova biti će zadovoljena ako je:
≤ V = 0.
5 ⋅ ν ⋅ f ⋅ b ⋅ z ≈ 0.
5 ⋅ ν ⋅ f ⋅ b ⋅ 0.
9 ⋅ d
(3.44)
pri čemu je:
Vsd Rd2
cd w
cd w
−
fck
ν = 0. 7 − ≥ 0.
5 – redukcijski faktor (fck u N/mm2 )
200
Tablica Karakteristika betona:
Karakteristika betona C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60
fck (MPa)
fc,cub
(MPa)
τRd (MPa)
Čvrstoća na
valjku
Čvrstoća na
kocki
Posmična
čvrstoća
12 16 20 25 30 35 40 45 50
15 20 25 30 37 45 50 55 60
0.18 0.22 0.26 0.30 0.34 0.37 0.41 0.44 0.48
Ako u elementu djeluje uzdužna tlačna sila, potrebno je reducirati nosivost tlačnih štapova:
pri čemu je:
⎛ σcp,
eff ⎞
VRd2, red = 1.
67 ⋅ VRd2
⋅
⎜
⎜1−
≤ VRd2
f ⎟
(3.45)
⎝ cd ⎠
−
⎛ A ⎞ s2
σ cp,
eff =
⎜
⎜Nsd
− fyk
⎟
⎝ γs
⎠
Ac
- tlačno naprezanje u betonu
Ako nije zadovoljen uvjet Vsd ≤ VRd1
potrebno je proračunati računsku armaturu za prijem poprečnih sila.
4.9.3 Standardna metoda
0
Konstrukcijska poprecna
armatura
Proracun poprecne
armature
VRd1 Vsd Vwd Nedopušteno
podrucje
V Rd2
V sd
Crtež 20 – Područja poprečnih sila
Standardna metoda proračuna presjeka na djelovanje poprečnih sila pretpostavlja nagib tlačnih štapova u betonu od 45°.
Poprečna armatura (stremenovi, vilice, spone) se proračunava iz uvjeta:
gdje je:
− Asw – površina jedne grane spone
− m – reznost spona
− z – krak unutrašnjih sila (z ≈ 0.9 d)
− sw – razmak spona
V
V
sd
wd
≤ V
A
=
Rd3
sw
= V
⋅ f
Rd1
yw,
d
− fyw,d – računska granica popuštanja poprečne armature
s
w
+ V
wd
⋅ m ⋅ z
(3.46)

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 49
Nosivost kose armature može se izračunati po izrazu:
A sw ⋅ fyw,
d ⋅ z
Vwd
= ⋅ ( 1+
ctgα)
⋅ sinα
(3.47)
s
gdje je:
− s – razmak kose armature mjeren uzduž osi elementa
− α – kut nagiba kosih šipki prema osi nosača (crtež 17)
Θ
α
s s s
Crtež 21 – Kutovi kod proračuna poprečnih sila
4.9.4 Metoda slobodnog odabira nagiba tlačnih štapova
Ovaj postupak dopušta veću slobodu rasporeda armature od normalnog postupka, što dovodi do racionalnijeg
razmještaja poprečne armature, ali može dovesti do povećanja uzdužne vlačne armature. Ovaj se postupak preporuča kad
je element istodobno napregnut poprečnim silama i torzijom.
Nagib tlačnih štapova prema uzdužnoj osi (Θ) bira se u granicama:
o
21. 8 ≤ Θ ≤ 68.
2 ⇒ 0.
4 ≤ tgΘ
≤
o
26. 6 ≤ Θ ≤ 63.
4 ⇒ 0.
5 ≤ tgΘ
≤
o
o
2.
5
2.
0
- Kada se glavna uzdužna armatura vodi do ležaja
- Kada se glavna uzdužna armatura postupno prekida u polju
Kod elemenata s vertikalnom poprečnom armaturom (sponama), nosivost na poprečne sile dobiva se iz izraza:
V
V
Rd2
Rd3
= ν ⋅
= V
0
f
wd
cd
⋅ b
w
A
=
sw
s
z
⋅
ctgΘ
+ tgΘ
⋅ f
w
yw,
d
s
w
A
=
⋅ z ⋅ m
⋅ ctgΘ
sw
⋅ f
yw,
d
V
Proracun poprecne
armature
V wd
Sd
;
⋅ z ⋅ m
⋅ ctgΘ
V sd
uz uvjet :
Nedopušteno
podrucje
V Rd2
Kod elemenata s kosom poprečnom armaturom, nosivost na poprečne sile:
V sd
⎛ A sw ⋅ m ⋅ f
⎜
⎝ bw
⋅ sw
yw,
d
1
≤ ⋅ ν ⋅ f
2
cd
⎞
⎟
⎠
(3.48)

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 50
V
V
Rd2
Rd3
= ν ⋅
= V
f
wd
cd
⋅ b
w
A
=
ctgΘ
+ ctgα
⋅ z ⋅
2
1+
ctg Θ
sw
⋅ f
yw,
d
s
uz uvjet
⋅ z
⋅
:
( ctgΘ
+ ctgα)
⎛ A
⎜
⎝ b
sw
w
⋅ f
⋅ s
yw,
d
w
⋅ sinα
1 ν ⋅ f ⎞
cd ⋅ sinα
≤ ⋅
⎟
2 1−
cosα
⎠
Da bi se ustanovila najmanja količina poprečne armature za mala i srednja posmična naprezanja, gornje granice za ctg
Θ, bit će u običnom slučaju mjerodavne za dimenzioniranje. Za veća posmična naprezanja najveću vrijednost za ctg Θ (što
odgovara najmanjoj količini poprečne armature) može se naći izjednačavanjem vrijednosti proračunskih poprečnih sila VSd i
VRd2.
Nakon raspucavanja nosača, sila u donjem pojasu bit će:
MSd
1
Fs = + ⋅ VSd
⋅ ( ctgΘ
− ctgα)
(3.50)
z 2
te je za drugi član potrebno povećati uzdužnu armaturu u polju.
4.9.5 Minimalna (konstruktivna) armatura
Ukupna poprečna armatura (spone) ne smije biti manja od minimalne:
ρmin
⋅ sw
⋅ bw
A sw,
min =
m
Tablica 4.1 - Minimalni postoci armiranja
(3.51)
Klasa betona C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60
ρmin 0.0007 0.0011 0.0013
Tablica 4.2 - Maksimalni razmaci spona
Broj Računska poprečna sila Vsd
Maksimalni razmak spona u smjeru glavne
vlačne armature sw,max
(3.49)
Maksimalni razmak vertikalnih krakova spona u
poprečnom smjeru sp,max
1 Vsd ≤ 0.2 VRd2 0.8 d; 30 cm 1.0 d; 80 cm
2 0.2 VRd2 ≤ Vsd ≤ 0.67 VRd2 0.6 d; 30 cm 0.6 d; 30 cm
3 Vsd > 0.67 VRd2 0.3 d; 20 cm 0.3 d; 20 cm
gdje je:
− d – statička visina presjeka
s
w,max
s
w,max
s
w,max
s
w,max
s
w,max
d d
h
1
s
p,max
s
p,max
b
s
p,max

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 51
Numerički primjer
Potrebno je dimenzionirati ab gredu, l=8.0 m, dimenzija 30×80 cm, udaljenost težišta armatura od ruba presjeka d1 =7
cm. Greda je izrađena iz betona klase C 30/37 i armirana s B 500B.
Greda je opterećena opterećenjem prema skici. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.
G, Q g, q
1.0 7.0
8.0
beton:
C 30/37
fck = 30.0 MPa
fcd = fck
γc
= 30.
0 1.
5 = 20.
0 MPa
τRd = 0.34 MPa
Opterećenje:
g =
s = γ
S = γ
V (kN)
sd
M (kNm)
sd
8.
0 kN m'
q = 11.
0 kN m'
g
g
⋅ g + γ
q
⋅ G + γ
⋅ q =
q
⋅ Q =
G, Q
1.
35
;
;
⋅
1.
35
8.
0
⋅
G =
Q =
+
40.
0
40.
0 kN
67.
0 kN
1.
5
+
⋅
11.
0
1.
5
⋅
=
67.
0
1.0 7.0
8.0
244.4
217.1
62.6
3.3
27.
3 kN m'
=
A s1
30
73
80
7
armatura:
B 500B
fyk = 500.0 MPa
= f γ = 500.
0 1.
15 = 434.
8 MPa
154.
5 kN
g, q
fyd yk s
a b
c d
R =244.4 kN R =128.5 kN
a b
230.8
302.4
Nosač je prvo potrebno dimenzionirati na moment savijanja.
128.5
A s1
30
73
80
7

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 52
µ
sd
Msd
= 2
bd
f
M
cd
302.
40 ⋅100
=
=
2
30 ⋅ 73 ⋅ 2.
0
0.
095
iz tablica ⇒ εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 2.1 ‰; ζ = 0.934
30240
sd A s1
= =
=
ζ dfyd
0.
934 ⋅ 73 ⋅ 43.
48
Odabrana armatura prikazana je na skici:
10.
20
73
7
cm
30
2
2Ø14 (A s2=3.08
cm ) 2
2Ø14 (A s =3.08 cm ) 2
5Ø16 (A s1=10.05
cm ) 2
Za proračun nosača na poprečne sile koristi se standardna metoda proračuna.
∑
ρ
l
=
A
s
∑
= 10.
5 + 2 ⋅ 3.
08 = 16.
21cm
A
A
c
s
16.
21
= =
30 ⋅ 80
0.
00675
Dio poprečne sile koju preuzima beton i uzdužna armatura:
V
V
Rd1
Rd1
=
=
[ τ ⋅ k ⋅ ( 1.
2 + 40 ⋅ ρ ) + 0.
15 ⋅ σ ]
Rd
2
k = 1.
6 − d = 1.
6 − 0.
73 = 0.
87 < 1.
0
σ
[ 0.
034 ⋅1.
0 ⋅ ( 1.
2 + 40 ⋅ 0.
00675)
+ 0.
15 ⋅ 0.
0]
V
cp
Rd1
= N
sd
A
c
=
= 109.
5 kN
l
0.
0
Dio poprečne sile koju mogu preuzeti tlačne dijagonale:
V
V
Rd2
Rd2
=
0.
5
⋅
ν ⋅
f
cd
⋅ b
w
⋅ z
cp
⋅ b
w
⋅ d
fck
30
ν = 0.
7 − = 0.
7 − = 0.
55 > 0.
5
200 200
= 0.
5 ⋅ 0.
55 ⋅ 2.
0 ⋅ 30 ⋅
⇒
( 0.
9 ⋅ 73)
= 1084.
1kN
k = 1.
0
⋅ 30 ⋅ 73
⇒
ν =
0.
55

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 53
V (kN)
sd
M (kNm)
sd
a
G, Q
1.0
c d
7.0
8.0
R =244.4 kN
a
244.4
230.8
217.1
62.6
3.3
Odabrane spone ∅7/20, B 500B
f
yw,
d
V
Rd
f
=
γ
= V
yk
s
f
;
yw,
d
Rd1
+ V
sd,
a
wd
Rd
302.4
B 500B
500
= =
1.
15
= V
⇒
Rd1
g, q
434.
8 MPa
m ⋅ A
+
sw
2 ⋅ 0.
38 ⋅ 43.
48 ⋅
109.
5 +
20
V > V
s
⋅ f
w
=
V
V
s
ρ
sd,
max
sd,
max
w,
max
min
= V
V
sd,
a
Rd2
= min
=
min
= 0.
0011
=
244.
4 kN
244.
4 1084.
1
≈
0.
23
{ 0.
6 ⋅ d;
30.
0cm}
=
{ 0.
6 ⋅ 73 = 43.
8;
30.
0}
⇒ V
⇒
sd
s
=
w,
max
0.
23
=
V
Rd2
30.
0cm
Maksimalni razmak spona:
m ⋅ Asw
sw
≤
ρmin
⋅ bw
2 ⋅ Asw
=
0.
0011⋅
30
Profil Površina (Asw) (cm2 ) Razmak (sw) (cm)
∅6 0.28 17.0
yw,
d
( 0.
9 ⋅ 73)
∅7 0.38 23.0
∅8 0.50 30.3
∅10 0.79 47.9
43.
48 kN
⋅ z
Odabrane spone zadovoljavaju na cijelom nosaču osim kod ležaja a.
244.4
V Rd=218.1
kN
217.1
62.6
Prikaz armature nosača:
s
w , pot
m ⋅ A
≤
V
cm
2
= 109.
5 + 108.
6 =
sw
sd
⋅ f
− V
yw,
d
Rd1
Odabrane spone ∅7/15, B 500B
218.
1kN
⋅ z 2 ⋅ 0.
38 ⋅ 43.
48 ⋅
=
244.
4 − 109.
5
( 0.
9 ⋅ 73)
= 16.
09 cm

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 54
1.0 7.0
Ø7/15 Ø7/20
8.0
4.10 Dimenzioniranje presjeka na Moment torzije
4.10.1 Općenito
Kod betonskih konstrukcija, s obzirom na značenje, a potom i daljnje tretiranje, razlikujemo kompatibilnu (sekundarnu) i
ravnotežnu (primarnu) torziju.
Kompatibilna torzija je ona koja nastaje kod monolitnih spojeva elemenata, nije nužno bitna za ravnotežu, pa se za
granično stanje nosivosti može zanemariti. Naime, konstrukcija u graničnom stanju doživljava velike deformacije i pukotine
što znano smanjuje torzijsku krutost, te kompatibilna torzija iščezava. Može se reći da konstrukcija koja je ispravno
dimenzionirana na momente savijanja, poprečne sile i ostale utjecaje je sigurna i na djelovanje kompatibilne torzija.
Nasuprot tome primarna torzija nastaje kao posljedica zadovoljavanja uvjeta ravnoteže. Zanemarivanjem primarne torzije
dolazi do sloma konstrukcije, te stoga ona ne smije biti zanemarena.
Dva karakteristična primjera za primarnu i sekundarnu torziju prikazani su na crtežu 18.
4.10.2 Postupak
Primarna torzija Sekundarna torzija
Crtež 22 – Primjer primarne (ravnotežne) i sekundarne (kompatibilne) torzije
Proračun elemenata naprezanih torzijom provodi se uporabom modela oblika prostorne rešetke. Puni presjeci zamjenjuju
se šupljim presjecima debljine t. Nagib tlačnih štapova slobodno se odabire u granicama navedenim pri proračunu na
poprečne sile.
A s1
30
73
80
7

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 55
Uvjet nosivosti na moment torzije:
gdje je:
− Tsd – računski moment torzije
− TRd – računska nosivost na torziju
A k
Kontura u
Kontura u k
Crtež 23 – Presjek opterećen momentom torzije
sd
t /2
t
Rd
c
T ≤ T
(3.52)
Nosivost tlačnih štapova biti će zadovoljena ako je:
2 ⋅ ν′ ⋅ fcd
⋅ Ak
⋅ t
Tsd
≤ TRd1
=
(3.53)
ctgΘ
+ tgΘ
gdje je:
⎛ fck
⎞
− ν′ = 0. 7 ⋅ ⎜0.
7 − ⎟ ≥ 0.
35 – - redukcijski faktor (fck u N/mm
⎝ 200 ⎠
2 )
− t=A/u – debljina stjenke zamjenjujućeg šupljeg presjeka
− Ak – površina unutar srednje konture šupljeg presjeka
− u – opseg vanjske konture
− A – ukupna površina presjeka
0
Proracun poprecne
armature
TRd2 TRd3 T sd
Nedopušteno
podrucje
T Rd1
Crtež 24 – Područja momenata torzije
Površina poprečne armature za prihvaćanje momenta torzije određuje se iz uvjeta:
T
Sd
w
T Sd
ctgΘ
≤ TRd2
= 2 ⋅ Asw
⋅ Ak
⋅ fyw,
d ⋅
(3.54)
s

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 56
Površina uzdužne armature za prihvaćanje momenta torzije određuje se iz uvjeta:
gdje je:
− Asw – presjek spone koja obuhvaća presjek na razmaku sw
− Asl – površina svih uzdužnih šipki
T
Sd
− fyw,d, fyl,d – računske granice popuštanja poprečne i uzdužne armature
tgΘ
≤ TRd3
= 2 ⋅ A sl ⋅ Ak
⋅ fyl,
d ⋅
(3.55)
u
Uzdužne šipke treba raspodijeliti po opsegu. U svakom kutu treba postaviti jednu šipku, a ostale jednoliko raspodijeliti po
opsegu, s tim da razmak između njih ne bude veći od 35.0 cm.
Kada su poznate armature Asw i Asl, te kut Θ i nosivost TRd2, moraju biti zadovoljene i sljedeće jednadžbe:
2 A
tg Θ =
s
T
Rd2
sw
w
= 2 ⋅ A
k
fyw,
d
⋅
A sl ⋅ f
u
⋅
k
A
s
sw
w
yl,
d
⋅ f
yw,
d
4.10.3 Zajedničko djelovanje Momenta torzije i Poprečne sile
A
⋅
u
Pri istodobnom djelovanju poprečne sile i momenta torzije valja zadovoljiti uvjet:
2
2
⎛ T ⎞ ⎛ V ⎞
Sd Sd
⎜
≤ 1 ; uz : VRd2
= 0.
5 ⋅ ν′ ⋅ fcd
⋅ bw
⋅ z
T ⎟ +
⎜
Rd1
V ⎟
(3.57)
⎝ ⎠ ⎝ Rd2
⎠
Poprečna armatura se posebno određuje za svako djelovanje te superponira.
Pri simultanom djelovanju momenta savijanja i momenta torzije valja posebno za svako naprezanje izračunati uzdužnu
armaturu, samo što se one u vlačnoj zoni od savijanja zbrajaju, a u tlačnoj redovito nije potrebno dodavati onu zbog
naprezanja torzijom, jer je ona često manja od konstruktivne.
Kad istodobno djeluju moment torzije i veliki moment savijanja (sandučasti presjeci), može biti kritično glavno naprezanje
u tlačnoj zoni od savijanja, pa valja zadovoljiti uvjet:
gdje je:
−
M Sd
sl
k
k
⋅ f
yl,
d
(3.56)
2
σSd
⎛ σSd
⎞ 2
σ 2 = − ⎜ ⎟ + τSd
≤ 0.
85 ⋅ fcd
(3.58)
2
⎝
σ Sd = – Računsko normalno tlačno naprezanje koje se uvrštava s predznakom +
z ⋅ b ⋅ t
2
TSd
− τ Sd =
– Računsko posmično naprezanje uzrokovano torzijom
2 ⋅ Ak
⋅ t
Spone za prihvaćanje torzije moraju biti zatvorene i preklopljene po kraćoj stranici. Uvjeti za minimalnu armaturu i
maksimalne razmake spona su isti kao i kod proračuna na poprečne sile.
Numerički primjer 1
Isti presjek kao kod proračuna na poprečne sile, opterećen momentom torzije Tsd=20.0 kNm
⎠

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 57
80
7
73
7 68
5
4 22 4
30
Nosivost tlačnih štapova:
T
T
T
Rd1
Rd1
Rd1
A
Θ = 45
2
2Ø14 (A s2=3.08
cm )
2
2Ø14 (A s =3.08 cm )
2
5Ø16 (A s1=10.05
cm )
2 ⋅ ν′ ⋅ fcd
⋅ Ak
⋅ t
=
ctgΘ
+ tgΘ
ν′ =
k
=
0
. 7
⎛ fck
⎞ ⎛
⋅ ⎜0.
7 − ⎟ = 0.
7 ⋅ ⎜0.
7 −
⎝ 200 ⎠ ⎝
A = b ⋅ h = 30 ⋅ 80 = 2400 cm
u = 2 ⋅ ( b + h)
= 2 ⋅ ( 30 + 80)
= 220 cm
A 2400
t = = = 10.
91cm
u 220
beton:
C 30/37
fck = 30.0 MPa
fcd = fck
γc
= 30.
0 1.
5
τRd = 0.34 MPa
armatura:
B 500B
fyk = 500.0 MPa
fyd = fyk
γs
=
30
200
( b − t)
⋅ ( h − t)
= ( 30 − 10.
91)
⋅ ( 80 − 10.
91)
o
2 ⋅ ν′ ⋅ fcd
⋅ Ak
⋅ t 2 ⋅ 0.
385 ⋅ 2.
0 ⋅1319
⋅10.
91
=
=
=
o
o
ctgΘ
+ tgΘ
ctg45
+ tg45
= 11080.
5 kNcm = 110.
8 kNcm
2
⎞
⎟ =
⎠
0.
385
=
500.
0 1.
15
= 1319 cm
2
20.
0 MPa
=
434.
8 MPa

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 58
Odabrane spone ∅10 (Asw=0.79 cm 2 ):
T
s
Sd
w,
pot
≤ T
Rd2
2 ⋅ A
≤
Uzdužna armatura:
T
Sd
≤ T
= 2 ⋅ A
sw
sw
⋅ A
k
T
⋅ A
⋅ f
Sd
k
yw,
d
⋅ f
yw,
d
⋅ ctgΘ
ctgΘ
⋅
s
2 ⋅ 0.
79 ⋅1319
⋅ 20.
87 ⋅1
=
= 21.
74 cm
2000
Odabrana poprečna armatura: ∅10/20.
Rd2
u
k
A
= 2 ⋅ A
sl
= 2 ⋅
sl
⋅ A
w
( ( b − t)
+ ( h − t)
) = 2 ⋅ ( ( 30 − 10.
91)
+ ( 80 − 10.
91)
)
k
k
⋅ f
yl,
d
yl,
d
tgΘ
⋅
u
k
TSd
⋅ uk
2000 ⋅176.
36
=
=
=
2 ⋅ A ⋅ f ⋅ tgΘ
2 ⋅1319
⋅ 43.
48 ⋅1
Odabrana uzdužna armatura: 8∅10 (Asl=6.28 cm 2 ).
3.
08
cm
2
= 176.
36 cm
Numerički primjer 2
Pretpostavimo da na gredu zadanu kod numeričkog primjera za poprečne sile, djeluje i moment torzije. Koristimo metodu
slobodnog odabira nagiba tlačnih štapova. Odaberimo Θ=45°.
VRd1
= 0.
0
fck
30
ν = 0.
7 − = 0.
7 − = 0.
55 > 0.
50
200 200
z
0.
9 ⋅ 73
VRd2
= ν ⋅ fcd
⋅ bw
⋅
= 0.
55 ⋅ 2.
0 ⋅ 30 ⋅ = 1084.
1kN
ctgΘ
+ tgΘ
1+
1
Ukupnu poprečnu silu, u ovom slučaju potrebno je preuzeti armaturom. Odabrani profil spona: ∅10. Presjek uz ležaj a:
Asw
⋅ fyw,
d ⋅ z ⋅ m
VRd3
= Vwd
=
⋅ ctgΘ
sw
2 ⋅ 0.
79 ⋅ 43.
48 ⋅ 0.
9 ⋅ 73
sw
=
⋅1
= 18.
47 cm
244.
4
Odabrane spone uz ležaj a: ∅10/18. Kontroliramo zadani uvjet:
0.
79 ⋅ 2 ⋅ 43.
48 1
≤ ⋅ 0.
55 ⋅ 2.
0
30 ⋅18
2
0.
191≤
0.
55
Ostali presjeci duž nosača:
V
wd
A
=
sw
⋅ f
yw,
d
s
w
⋅ z ⋅ m 2 ⋅ 0.
79 ⋅ 43.
48 ⋅ 0.
9 ⋅ 73
⋅ ctgΘ
=
⋅1.
0 = 180.
5 kN
s
Odabrane spone na ostalom dijelu nosača: ∅10/25
w

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 59
Presjek (element) smo dosad dimenzionirali odvojeno na moment savijanja, poprečnu silu i torziju. U slučaju da sva tri
djelovanja su istovremena armaturu je potrebno sumirati.
Uzdužna armatura:
Msd Tsd Ukupno
2Ø14
2Ø14
5Ø16
"+"
2Ø10
2Ø10
2Ø10
2Ø10
"="
− U gornjoj zoni i sredini presjeka armatura od savijanja je konstruktivna, a armatura od torzije je računska.
Usvaja se armatura od torzije.
2Ø10
2Ø10
2Ø10
6Ø16
− U donjoj zoni obje armature (i od savijanja i od torzije su računske. Potrebno ih je zbrojiti.
5∅16 (As=10.05 cm2 ); 2∅10 (As=1.57 cm2 )
6∅16 (As=12.06 cm2 ) > 5∅16+2∅10
Poprečna armatura:
1.0 7.0
Ø10/18 Ø10/25
"+"
8.0
Ø10/20
"="
1.0 7.0
Ø10/9.5 Ø10/11.1
Vsd
Tsd
Ukupno
Spone na prvih 1 m grede:
s
wt
s
≤
s
w,
V
w,
V
⋅ s
+ s
w,
T
w,
T
=
18 ⋅ 20
= =
18 + 20
9.
5 cm
Spone na ostalom dijelu grede:
s
wt
s
≤
s
w,
V
w,
V
⋅ s
+ s
w,
T
w,
T
=
25 ⋅ 20
= = 11.
1cm
25 + 20

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 60
Kontrola zajedničkog djelovanja poprečne sile i momenta torzije
⎛
T ⎞ Sd
⎜
T ⎟
⎝ Rd1
⎠
⎛ V ⎞ Sd +
⎜
V ⎟
⎝ Rd ′ 2 ⎠
≤ 1
T = 20.
0 kNm ; T
V
Sd
Sd
=
2
⎛ 20.
0 ⎞
⎜ ⎟
⎝110.
8 ⎠
244.
4 kN
V′
2
Rd2
=
2
;
0.
7 ⋅ V
⎛ 244.
4 ⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ 758.
8 ⎠
V
Rd2
2
Rd1
Rd2
=
= 110.
8 kNm
=
= 1084.
1kN
758.
8 kN
0.
129
≤ 1

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 61
4.11 Proračun ploča na proboj
4.11.1 Općenito
Proboj ploče nastaje kad na ploči leži teret na maloj površini, ili kad je ploča na stupovima male površine. U
građevinarstvu to nastaje kod gljivastih stropova, temeljnih ploča, stropova opterećenih koncentriranim teretom i sl.
Granično stanje sloma manifestira se stvaranjem zaobljenog probojnog stošca kojem je vodilica kontura opterećene
površine, a izvodnica pravac koji u normalnim okolnostima zatvara s ravninom ploče kut β=33.7° (tg β=1/1.5).
Provjeru na proboj potrebno je provesti kod:
− kružnih presjeka s promjerom manjim od 3.5 d,
− pravokutnih presjeka s opsegom manjim od 11d, ako je omjer širine i dužine presjeka stupa najviše 2.0,
− proizvoljnih presjeka koji se približno svode na jedan od gornja dva kriterija.
pri čemu je d statička visina ploče.
4.11.2 Postupak
Uvjet nosivosti na proboj:
gdje je:
1.5 d l c 1.5 d
Kriticna površina
1.5 d l 1.5 d
c
Crtež 25 – Proboj ploče
− vsd – računska poprečna sila po jedinici kritičnog opsega
− vRd – računska nosivost na proboj po jedinici kritičnog opsega
sd
Rd
β
Kriticni presjek
d d1
h
Kriticni presjek
v ≤ v
(3.59)

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 62
Računska nosivost na proboj:
gdje je:
1.5 d
− Vsd – računska sila proboja od vanjskog opterećenja
− ucr – duljina kritičnog opsega
v
sd
βp
= Vsd
⋅
(3.60)
u
− βp – korekcijski faktor kojim se uzima u obzir ekscentrično djelovanje sile proboja u odnosu na kritičan presjek
1.5 d
b 1 /2
b 1 /2
− βp = 1.0 – za simetrično naprezane stupove
− βp = 1.15 – za unutrašnje stupove nesimetrično naprezanje
− βp = 1.4 – za stupove na rubu
− βp = 1.5 – za stupove u kutu
1.5 d
1.5 d
⎧ a
⎪
⎧ b
a1≤⎨2⋅b ; b1≤⎨
⎪
⎩2.
8⋅d
⎩5.
6⋅d−b
1
a 1/2
a 1/2
a > b
Stup pri rubu Stup u kutu
1.5 d
1.5 d
b
cr
Crtež 26 – Kritični opseg
β = 1.4 β = 1.0 β = 1.0
β = 1.4
β = 1.5
β = 1.15
Instalacijski šaht
β = 1.0
β = 1.4 β = 1.4
Armatura za osiguranje od proboja neće biti potrebna ako je zadovoljen uvjet
v sd ≤ vRd1
= τRd
⋅ k ⋅ ( 1.
2 + 40 ⋅ ρl
) ⋅ d
(3.61)
gdje je:
− τRd – računska čvrstoća za djelovanje glavnih kosih naprezanja
− k – koeficijent visine presjeka ploče (vidi dimenzioniranje na poprečne sile)
− d – srednja statička visina presjeka ploče (d=(dx+dy)/2)
− ρl – koeficijent armiranja ploče ρ = ρ ⋅ ρ 0.
5%
≤ ρ ≤ 1.
5%
l
lx
ly ; l
Ako gornji uvjet nije zadovoljen, potrebno je kontrolirati nosivost na tlak te proračunati poprečnu armaturu. Nosivost
tlačnih štapova kontrolira se prema izrazu:

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 63
v ≤ v = 1.
6 ⋅ v
(3.62)
sd
Rd2
Potrebna armatura se dobiva po izrazu:
sinα
v sd ≤ vRd3
= vRd1
+ ∑ Asw
⋅ fyd
⋅
(3.63)
ucr
gdje je:
− Asw – ukupna poprečna armatura
− α – kut nagiba poprečne armature prema ravnini ploče
Minimalna poprečna armatura proračunava se po izrazu:
ρw,
min ⋅ ( Acrit
− Aload
)
∑ A sw , min =
(3.64)
sinα
gdje je
Rd1
− ρw,min = 0.6 ρmin (ρmin – minimalni koeficijent armiranja na poprečne sile)
− Acrit – površina unutar kritičnog presjeka
− Aload – površina djelovanja opterećenja
1.5 d l c 1.5 d
a) Spone
α=90
< 0.5 d
≤ 0.75 d
≈ 1.5 d
α
1.5 d l c 1.5 d
b) Kosa armatura
Crtež 27 – Armatura za osiguranje ploče protiv probijanja

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 64
4.12 Koso savijanje
4.12.1 Općenito
Koso savijanje nastaje kada moment (momenti) savijanja djeluju van glavnih osi tromosti presjeka, pa prilikom savijanja
dolazi do zakretanja neutralne osi presjeka.
Koso savijanje s uzdužnom tlačnom silom i bez nje susreće se kod stupova prostornih okvira i kod elemenata nepravilnih
presjeka. Presjek je istodobno naprezan momentima savijanja oko glavnih osi z i y ili uzdužnom silom koja ima hvatište van
glavnih osi presjeka. Dimenzioniranje na koso savijanje je stoga opsežan posao jer položaj neutralne osi ne ovisi samo o
poprečnom presjeku već i o položaju sile.
4.12.2 Postupak
h
d
d 1
3 4
Msdz
b
y
Nsd
M
sdy
1 2
z
Neutralna os
ε
ε
s1
s2
ε
ε
s3
s4
ε c2
Crtež 28 – Presjek opterećen kosim savijanjem
0.80 f cd
Najčešći način proračuna presjeka na koso savijanje je postupak pomoću dijagrama interakcije. Dijagram se koristi na
sličan način kao i dijagram za pravokutne presjeke opterećene momentom savijanja oko jedne osi. Za proračunati odnos:
α = h , proračunaju se bezdimenzionalne vrijednosti:
d 1
µ
ν
sdz
sd
M
=
b ⋅h
Nsd
=
b ⋅h
⋅ f
sdz
2
⋅ fcd
cd
;
µ
sdy
Msdy
= 2
b ⋅h
⋅ f
i u dijagramima interakcije se očita mehanički koeficijent armiranja ω, te se proračuna potrebna armatura prema izrazima
pri čemu je As ukupna armatura u presjeku.
f
f
A ⋅
cd
Fs2 Fs1 F
F
F
c
s4
s3
(3.65)
cd
cd
s = ω⋅
Ac
⋅ = ω⋅
b ⋅h
(3.66)
fyd
fyd
U prilozima su prikazani dijagrami za armaturu koncentriranu u krajevima presjeka, te za armaturu simetrično
raspodijeljenu po stranicama presjeka.

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 65
Numerički primjer 1
Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta armatura od ruba presjeka d1=d2=5 cm. Element je
izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), simetrično armiran s B 500B. Element je opterećen računskim
opterećenjem Msdz=260 kNm, Msdy=100 kNm i Nsd=0.0 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.
h = 60
d 1 = 5 d = 55
d = 5
2
Nsd
Msdz
geometrija
b = 40 cm
h = 60 cm
b = 40
M sdy
c
d = d =
1
α = d
1
2
5.
0 cm
h = 5 60 =
materijal:
C 30/37 ; fck = 30.0 MPa
= f γ = 30.
0 1.
5 = 20.
0 MPa
opterećenje
0.
083
fcd ck c
B 500B ; fyk = 500.0 MPa
fyd = fyk
γ s =
Koristimo dijagram za simetričnu armaturu u uglovima presjeka, α=0.1 (prilog 9)
ν
µ
µ
sd
sdz
sdy
N
=
bh f
sd
cd
Msdz
= 2
bh f
Msdy
= 2
b h f
0.
0
=
= 0.
0
40 ⋅ 60 ⋅ 2.
0
cd
cd
260 ⋅100
⎫
=
= 0.
090
2
40 ⋅ 60 ⋅ 2.
0
⎪
⎬ µ
100 ⋅100
=
= 0.
052⎪
2
40 ⋅ 60 ⋅ 2.
0 ⎪⎭
sdz
> µ
sdy
M
M
sdz
sdy
N sd
500.
0 1.
15
= 260.
0 kNm
= 100.
0 kNm
=
= −120.
0 kN (tlačna sila)
⎧µ
⇒ ⎨
⎩
µ
1
2
= µ
= µ
Očitano
ω = 0.
218
Armatura
A
A
s
s, kut
sdz
sdy
= 0.
090
= 0.
052
434.
8 MPa
2.
0
= 0.
218 ⋅ 40 ⋅ 60 ⋅ = 24.
07 cm
43.
48
As
24.
07
2
= = = 6.
02 cm
4 4
Odabrano: 3∅16 u svakom kutu (As=6.03 cm 2)
2

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 66
h = 60
d 1=
6.33
Numerički primjer 2
d = 6.33
b = 40
1
c = 3.0
d = d =
1
α = d
1
2
h =
6.
33
6.
33
cm
60 ≈
1.
00
Zadan je betonski presjek, kao u prethodnom primjeru, s računskim opterećenjem Msdz=260 kNm, Msdy=100 kNm i Nsd=-
200.0 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.
ν
µ
µ
sd
sdz
sdy
N
=
bh f
sd
cd
Msdz
= 2
bh f
Msdy
= 2
b h f
− 200
=
= −0.
042
40 ⋅ 60 ⋅ 2.
0
cd
cd
260 ⋅100
⎫
=
= 0.
090
2
40 ⋅ 60 ⋅ 2.
0
⎪
⎬ µ
100 ⋅100
=
= 0.
052⎪
2
40 ⋅ 60 ⋅ 2.
0 ⎪⎭
sdz
> µ
sdy
⎧µ
⇒ ⎨
⎩
µ
1
2
= µ
= µ
sdz
sdy
= 0.
090
= 0.
052
Za νsd=0.0, očitano: 0 . 0 0.
218 = ω
Za νsd=-0.2, očitano: 0 . 2 0.
100 = ω
za νsd=-0.042:
ω =
=
=
Armatura
( ω0.
2 − ω0.
0 )
⋅ ( νsd
− νsd,
0.
0 ) + ω
( νsd,
0.
2 − νsd,
0.
0 )
( 0.
100 − 0.
218)
⋅ ( − 0.
042 − 0.
0)
( − 0.
2 − 0.
0)
0.
59 ⋅ ( − 0.
042)
+ 0.
218 = 0.
193
0.
0
2.
0
As
=
0.
193 ⋅ 40 ⋅ 60 ⋅ = 21.
31cm
43.
48
As
21.
31
2
As,
kut = = = 5.
33 cm
4 4
+ 0.
218
2

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 67
Numerički primjer 3
Zadan je betonski presjek, kao u prethodnim primjerima, s računskim opterećenjem Msdz=160 kNm, Msdy=240 kNm i Nsd=-
480.0 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.
ν
µ
µ
sd
sdz
sdy
N
=
bh f
sd
cd
Msdz
= 2
bh f
Msdy
= 2
b h f
− 480
=
= −0.
100
40 ⋅ 60 ⋅ 2.
0
cd
cd
160 ⋅100
⎫
=
= 0.
056
2
40 ⋅ 60 ⋅ 2.
0
⎪
⎬ µ
240 ⋅100
=
= 0.
125⎪
2
40 ⋅ 60 ⋅ 2.
0 ⎪⎭
sdz
< µ
sdy
⎧µ
⇒ ⎨
⎩µ
1
2
= µ
= µ
sdy
sdz
= 0.
125
= 0.
056
Za νsd=0.0, očitano: ω 0 . 0 = 0.
310
Za νsd=-0.2, očitano: 0 . 2 0.
195 = ω
za νsd=-0.100:
ω =
=
=
Armatura
( ω0.
2 − ω0.
0 )
⋅ ( νsd
− νsd,
0.
0 ) + ω0
( νsd,
0.
2 − νsd,
0.
0 )
( 0.
195 − 0.
310)
⋅ ( − 0.
100 − 0.
0)
( − 0.
2 − 0.
0)
0.
575 ⋅ ( − 0.
100)
+ 0.
310 = 0.
253
2.
0
As
=
0.
253 ⋅ 40 ⋅ 60 ⋅ = 27.
93 cm
43.
48
As
27.
93
2
As,
kut = = = 6.
98 cm
4 4
. 0
+ 0.
310
2

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 68
4.13 Vitki elementi naprezani ekscentričnom tlačnom silom
4.13.1 Općenito
Proračun po teoriji II reda mora se provesti za pojedinačne stupove i konstrukcije od vitkih elemenata pretežno
naprezanih uzdužnom tlačnom silom. Tim proračunom valja dokazati da za najnepovoljniju kombinaciju opterećenja u
graničnom stanju nosivosti neće doći do gubitka ravnoteže pojedinih elemenata ili sustava kao cjeline prije otkazivanja
nosivosti presjeka naprezanih na ekscentrični tlak.
U analizi sustava po teoriji II reda valja razlikovati:
− Krute sustave i elemente od onih koji to nisu,
− Horizontalno pomične i horizontalno nepomične sustave.
Kruti element ima veliku krutost na savijanje, upet je u temelj ili podrumsko ziđe (npr. armirano-betonski zid). Kruti sustav
sadrži jedan ili više krutih elemenata u oba smjera.
Horizontalno nepomični sustavi su oni koji zadovoljavaju uvjet:
za n
za n
≤ 3
> 4
h
h
tot
tot
⋅
⋅
Fv
E ⋅I
cm
Fv
E ⋅I
cm
c
c
≤
≤
0.
2
0.
6
+ 0.
1⋅
n
gdje je:
− htot – ukupna visina zgrade od temelja ili stropa podruma
− n – broj katova
− Fv – suma ukupnog vertikalnog opterećenja
− Ecm Ic – suma krutosti na savijanje vertikalnih krutih elemenata
Horizontalno pridržani sustavi proračunavaju se tako da sve horizontalne sile prihvaćaju kruti elementi (zidovi), a
ostali elementi (stupovi), ovisno o vitkosti, proračunavaju prema teoriji I, odnosno II reda, uključujući imperfekciju i puzanje
betona. Često se pri tome koriste pojednostavljene metode.
4.13.2 Pojam izvijanja
F
H
∆u
F
∆v
h
N
Rezne računske sile po teoriji I reda:
I
M
I
sd
N
Rezne računske sile po teoriji II reda:
M
sd
II
sd
II
sd
= F
= H ⋅ h
= F
= H ⋅
( h − ∆v)
+ F ⋅ ∆u
1. SLUČAJ: Nema uzdužne sile ili je zanemariva (F ≈ 0.0)
M
II
sd
= H ⋅
I
( h − ∆v)
+ F ⋅ ∆u
= H ⋅ ( h − ∆v)
< M = H ⋅ h
2. SLUČAJ: Sustav nije vitak (∆u ≈ ∆v ≈ 0.0)
II
sd
I
( h − ∆v)
+ F ⋅ ∆u
≈ H⋅
h M
M = H⋅
=
3. SLUČAJ: Sustav je vitak (Du >> Dv ≠ 0.0)
M
II
sd
=
H ⋅
I
( h − ∆v)
+ F ⋅ ∆u
> M = H ⋅ h
sd
sd
sd
(3.67)

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 69
Mjera vitkosti je parametar izvijanja λ:
l0 l0
λ = =
(3.68)
i I A
Za određivanje dužine izvijanja Eurokodom 2 se predlažu Jackson-Morelandovi nomogrami. Dužina izvijanja se općenito
može izraziti:
l = β ⋅ l
(3.69)
0 col
Za korištenje nomograma treba općenito izračunati kA i kB, te očitati vrijednost β iz nomograma.
Za upete čvorove je:
a za slobodni vrh (vrh konzole):
Za ostale slučajeve:
k
A
( ili k )
B
kA = kB = 0 (3.70)
kA = ∞ (3.71)
E
cm
col = (3.72)
∑
pri čemu indeks “col” označava stupove (columns), a indeks “b” grede (beams). α – koeficijent oslanjanja suprotnog kraja
grede; α=1.0 – kraj upet, α=0.5 zglob; α=0.0 konzola
∑
E
l
cm
l
b
⋅ l
col
⋅ α ⋅I
Crtež 29 – Jackson-Morelandovi nomogrami
b

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 70
Pojedinačne tlačne elemente nije potrebno proračunavati po teoriji II reda, ako je zadovoljen uvjet:
l0
λ = =
i
l
⎛ 0
e ⎞ 01
≤ λcrit
= 25 ⋅ 2
I A
⎜ −
e ⎟
⎝ 02 ⎠
; e02
≥ e01
(3.73)
gdje su e01 i e02 ekscentriciteti uzdužne tlačne sile na krajevima elementa.
e 0
Nsd
Nsd
e 02
e 01
Nsd
e 01
e 02
Nsd
Nsd Nsd
Crtež 30 – Ekscentriciteti
Elemente koji ne zadovoljavaju gornji kriterij valja proračunati po teoriji II reda, pri čemu vitkost ne smije prelaziti graničnu
λlim=140.
4.13.3 Približni postupak prema EC-2
Približni postupak koji predlaže EC-2, a koji vrijedi za elemente konstantnog presjeka i armature, pronalazi se ukupni
ekscentricitet za koji se izračuna povećani moment savijanja dok odgovarajuća uzdužna sila ostaje nepromijenjena. Ukupni
ekscentricitet, bez utjecaja puzanja, bit će:
gdje je:
− ea – ekscentricitet zbog imperfekcije
e = e + e + e
(3.74)
tot
l
e ⋅
− e0 – ekscentricitet po teoriji I reda
0
0
a = ν1
⋅ l0
= β lcol
1 =
≥ νmin
2
100 ⋅ htot
− e2 – dodatni ekscentricitet po teoriji II reda
− htot – ukupna visina građevine
− λ0 – dužina izvijanja stupa
− lcol – stvarna dužina stupa
1
ν min = - pridržani sustavi
400
1
ν min = - nepridržani sustavi
200
a
sd
0
Nsd
− β – koeficijent izvijanja (iz nomograma)
2
1
ν (3.75)
M
e = (3.76)
Ekscentricitet nastao zbog deformiranja sustava (dodatni ekscentricitet po teoriji II reda) može se izračunati po izrazu:

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 71
gdje je:
−
1 εyd
= 2 ⋅K
2 - zakrivljenost
r 0.
9 ⋅ d
λ
− K1 = − 0.
75 ; za λ > 35,
K1
= 1.
0 - Korekcijski faktor
20
− K 2 ≤ 1-
Koeficijent kojim se uzima u obzir zakrivljenost
−
yd
yd =
Es
2 ⎛1⎞
e2
= 0.
1⋅
K1
⋅ l0
⋅ ⎜ ⎟ (3.77)
⎝ r ⎠
f
ε - Računska deformacija u čeliku koja odgovara računskoj granici popuštanja
Rezne računske sile na deformiranom sustavu bit će:
4.13.4 Približni postupak prema ACI-propisima
N
M
II
sd
II
sd
= N
= N
ACI (American code institut) propisi daju jedan vrlo jednostavan postupak za srednje razine vitkosti. Postupak se sastoji
u izračunu koeficijenta vitkosti ψ, kojim se množi moment 1. reda:
gdje je:
− 1.
0
C m = - koeficijent
− γ = 1.
5 - koeficijent sigurnosti
−
N
e
M
II sd
2 Eϕ
⋅I
E
= π
; Eϕ
=
l
1+
ϕ
2 0
I
sd
I
sd
⋅ e
tot
e
(3.78)
Cm
= ψ ⋅M
sd ; ψ =
(3.79)
γ ⋅N
1−
N
- Eulerova sila

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 72
Numerički primjer 1
Potrebno je proračunati i dimenzionirati stup dimenzija prema slici. Materijal C 25/30 i B500B.
F
4.5 m
As1
Proračun prema EC-2
35
40
As2
Ekscentricitet po teoriji I reda:
30
Msd
1.
35 ⋅MG
+ 1.
5 ⋅MQ
129.
6
e0
= =
= =
Nsd
1.
35 ⋅NG
+ 1.
5 ⋅NQ
457.
5
Ekscentricitet zbog imperfekcije:
ν
ν
e
1
1
a
1
=
100 ⋅ h
min
=
ν < ν
1
200
min
=
⇒
tot
1
=
100 ⋅
0.
005
ν
1
=
4.
5
0.
005
0.
0047
l0
9.
0
= ν1
⋅ = 0.
005 ⋅ = 0.
0225 m
2 2
Dodatni ekscentricitet po teoriji II reda:
λ
K1
= − 0.
75
20
K 2 = 1.
0
; za λ > 35,
K
fyd
434.
8
εyd
= = =
E 200000.
0
e
2
s
=
0.
02174
Rezne sile pri dnu stupa
NG
= 150 kN ; NQ
= 170 kN
MG
= 36 kN
Računske čvrstoće
; NQ
= 54 kN
C25
30 ⇒ fcd
= 25 1.
5 = 16.
6 MPa
B500B
⇒ f = 500 1.
15 = 434.
8 MPa
0.
283 m
Koeficijent izvijanja
l
0
= 2 ⋅ l
1 εyd
0.
02174
−3
= 2 ⋅K
2 = 2 ⋅1.
0 = 1.
38 ⋅10
r 0.
9 ⋅ d 0.
9 ⋅ 35
2 ⎛1⎞
2
−3
= 0.
1⋅
K1
⋅ l0
⋅ ⎜ ⎟ = 0.
1⋅1.
0 ⋅ 9.
0 ⋅1.
38 ⋅10
= 0.
0112 m
⎝ r ⎠
1
= 1.
0
crit
col
yd
= 2 ⋅ 450 = 900 cm
l0
900
λ = = = 78
i 0.
289 ⋅ 40
⎛ e ⎞ ⎛ 01
λcrit
= 25 ⋅
⎜
⎜2
− = 25 ⋅ 2
e ⎟
⎜ −
⎝ 02 ⎠ ⎝
λ > λ
Potreban proračun na deformiranom sustavu!
0
e
02
⎞
⎟ = 50
⎠

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 73
Ukupne sile po teoriji I reda:
I sd
N = 1.
35⋅
NG
+ 1.
5⋅
NQ
= 457.
5 kN
I
Msd
= 1.
35⋅
MG
+ 1.
5⋅
MQ
= 129.
6 kNm
Ukupni ekscentricitet:
etot = e0
+ ea
+ e2
= 0.
283 +
Ukupne sile po teoriji II reda:
N
II sd
II sd
= N
I sd
I sd
=
457.
5
M = N ⋅ etot
=
Odnos momenata:
M
II
kN
457.
5
Msd
144.
9
= = 1.
12
I
M 129.
6
sd
⋅
0.
3167
= 1.
115⋅
129.
6 = 144.
6 kNm
=
0.
0225
144.
9
+
kNm
0.
0112
Proračun prema ACI propisima:
II I Cm
Msd
= ψ ⋅M
sd ; ψ =
; Cm
= 1.
0 ; γ = 1.
5
γ ⋅N
1−
Ne
2 Eϕ
⋅I
E 34000
Ne
= π
; E
34000.
0
2 ϕ = = =
l
i
1+
ϕ 1+
0
3
0.
30⋅
0.
40
4
I = = 0.
0016 m
12
l 0 = 9.
0 m
2 34.
000.
000,
0⋅
0,
0016
Ne
= π
= 6628.
5 kN
2
9.
0
Cm
1.
0
ψ = =
= 1.
115
γ ⋅N
1.
5⋅
457.
5
1−
1−
N
6628.
5
II sd
e
=
0.
3167 m
MPa

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 74
5 DIMENZIONIRANJE PRESJEKA PREMA GRANIČNIM STANJIMA
UPORABE
5.1 Općenito
Ako graničnim stanjima nosivosti osiguravamo da konstrukcija i njeni elementi u graničnom stanju imaju dovoljnu
nosivost, graničnim stanjima uporabe osiguravamo da ta konstrukcija bude i upotrebljiva, pri čemu uzimamo u obzir uvjete
okoliša i vrstu i karakter opterećenja. Primjerice, ako konstrukcija ima preveliki progib i/ili značajne pukotine, bez obzira na
što sigurnost konstrukcije nije ugrožena, korištenje takve konstrukcije neće biti ugodno, te je bitno smanjena njena
vrijednost.
U nastavku će biti obrađena tri granična stanja uporabe koja obrađuje i EC-2, to su:
− Granično stanje naprezanja
− Granično stanje pukotina
− Granično stanje progiba
5.2 Granično stanje naprezanja
Prekomjerno naprezanje betona i/ili čelika pod opterećenjem u eksploataciji utječe preko raspucavanja i plastičnog
deformiranja na trajnost i uporabljivost armiranobetonskih i prednapetih konstrukcija. Da bi se izbjegle negativne posljedice,
prema EC-2 ograničavaju se naprezanja, i to:
U Betonu:
− Pod rijetkom kombinacijom opterećenja
− Pod kvazistalnom kombinacijom opterećenja
U Čeliku:
− Pod rijetkom kombinacijom opterećenja
σ ≤ 0.
6 f
(4.1)
c
c
ck
σ ≤ 0.
45 f
(4.2)
s
ck
σ ≤ 0.
8 f
(4.3)
− Pod naprezanjem izazvanim samo indirektnim djelovanjem (prinudne deformacije)
s
yk
σ ≤ 1.
0 f
(4.4)
− U čeliku za prednaprezanje nakon svih gubitaka pod rijetkom kombinacijom djelovanja
p
yk
σ ≤ 0.
75 f
(4.5)
Ograničenjem naprezanja sprječava se slabljenje tlačne zone otvaranjem poprečnih mikropukotina nastalih poprečnim
vlačnim naprezanjima (sile cijepanja) i plastifikacija betona.
Izrazima (5.3) i (5.5) želi se spriječiti prekomjerno istezanje čelika, a time i široke pukotine.
Za određivanje naprezanja koristi se linearna raspodjela naprezanja u betonu i čeliku (linearna teorija), te konstantan
odnos modula elastičnosti (Es/Ec=15). Kada uvjeti ograničenja naprezanja nisu ispunjeni, potrebno je pojačati presjek i/ili
armaturu, ili poduzeti druge mjere.
pk

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 75
5.3 Granično stanje pukotina
5.3.1 Općenito
Raspucavanje armiranobetonskih konstrukcija ograničava se kako bi se spriječile šetne posljedice za trajnost građevine.
Pukotine nastaju kada vlačna naprezanja izazvana savijanjem, torzijom, poprečnim silama i uzdužnom vlačnom silom,
pojedinačno ili zajednički, prijeđu vlačnu čvrstoću betona.
Kada nema posebnih zahtjeva na raspucavanje (npr. vodonepropusnost) armiranobetonskih sustava, može se uzeti za
normalne klase onečišćenja, za armirano betonske konstrukcije wg=0.3 mm, a za prednapete konstrukcije wg=0.2 mm.
Za proračun graničnih stanja pukotina primjenjuju se kvazistalna i/ili česta kombinacija opterećenja.
5.3.2 Minimalna armatura
Armiranobetonske i prednapete elemente valja uvijek armirati u području vlačnih naprezanja barem minimalnom
armaturom za ograničenje širina pukotina, osobito ako se očekuje indirektno djelovanje izazvano spriječenošću slobodnog
skupljanja ili prinudnim deformacijama (popuštanje ležaja).
Kako raspodjela vlačnih naprezanja po visini presjeka utječe na raspucavanje elementa, valja razlikovati:
− Promjenjivu raspodjelu izazvanu momentom savijanja (postoji vlačna i tlačna zona),
− Jednoliku raspodjelu izazvanu vlačnom silom ( cijeli presjek naprezan na vlak).
Minimalna armatura može se izračunati po izrazu:
gdje je:
A
s,
min
A
ct
= kc
⋅ k ⋅ fct,
eff ⋅
(4.6)
σs
− kc – koeficijent kojim se uzima u obzir raspodjela naprezanja po visini presjeka pri pojavi prve pukotine (kc=1.0
za centrični vlak; kc=0.4 za savijanje)
− k – korekcijski koeficijent (k=0.8 kod spriječenih deformacija; k=1.0 za prinudne deformacije)
− fct,eff – vlačna čvrstoća betona pri pojavi prve pukotine
− Act – vlačna površina neposredno prije pojave pukotine
− σs – naprezanje u armaturi neposredno nakon pojave pukotine
Granično stanje pukotina nije potrebno kontrolirati kod ploča, ako debljina ploče ne prelazi 200 mm, te kada je ploča
armirana u skladu s preporukama u vezi površine i rasporeda armature potrebnom za nosivost.
Za elemente armirane minimalnom armaturom, dobivenom po prethodno prikazanom izrazu, granično stanje pukotina biti
će zadovoljeno ako promjeri šipaka i razmaci šipki budu manji od graničnih. Naprezanja u čeliku (σs) odgovara onom pri
određivanju minimalne armature, a proračunava se za kvazistalnu kombinaciju opterećenja.

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 76
5.3.3 Dokazni postupak bez kontrole širine pukotina
Armirano betonske i prednapete ploče naprezane savijanjem nije potrebno kontrolirati na granično stanje širina pukotina
ako ukupna debljina ploče ne prelazi 20 cm, te kada je korektno proračunata i armirana prema graničnim stanjima nosivosti.
Za elemente armirane minimalnom armaturom, izračunatom prema izrazu (4.6) granično stanje širina pukotina biti će
zadovoljeno ako promjeri šipki i razmaci među njima odgovaraju onima danim u tablicama priloženim u nastavku.
Osnovni odnos raspona i efektivna debljina presjeka (l/h), sortirani su u tablici:
Konstrukcijski sustav Jače napregnut beton Slabije napregnut beton
1. Prosta greda; Samostojeće ploče koje nose u jednom ili dva smjera (ploče koje se
nastavljaju)
2. Krajnji raspon kontinuiranog nosača ili ploče koja nosi u dva smjera a nastavlja se preko
jedne stranice
3. Unutarnji raspon kontinuiranog nosača ili ploče koja nosi u 1 smjeru ili 2 smjera i koja se
nastavlja
18 25
23 32
25 35
4. Ploče oslonjene na stupove bez greda (bazirano na duljem rasponu) 21 30
5. Konzole 7 10
Maksimalni promjeri šipki i njihovi maksimalni razmaci za različite nivoe naprezanja u čeliku, sortirani su u tablici:
Naprezanje u
armaturi (MPa)
160
200
240
280
320
360
Maksimalni promjer
šipke φ (mm)
32
25
20
16
12
10
Maksimalni razmak šipki (mm)
Savijanje Vlak
Visoke grede (grede visine 60 cm i više), kod kojih je glavna armatura skoncentrirana u donjem dijelu vlačne zone valja
armirati po visini hrpta kako bi se ograničile širine pukotina i po visini grede. Površinu ove armature se može izračunati po
izrazu (4.6), s tim da se uzme k=0.5, a σs=fyk. Promjeri i razmaci šipki se odabiru prema priloženim tablicama. Ovu armaturu
je potrebno dobro povezati sponama.
5.3.4 Proračun širine pukotina
Kada nisu zadovoljeni uvjeti iz tablica ili kada se želi točniji dokaz graničnog stanja pukotina, proračunava se računska
(karakteristična) vrijednost širine pukotina i uspoređuje s graničnom vrijednošću.
k
300
250
200
150
100
50
Računska širina pukotine, prema EC-2, može se prognozirati pomoću izraza:
k
g
200
150
125
75
-
-
w w ≤ (4.7)
w = β ⋅ s ⋅ ε
(4.8)
gdje je:
− β – odnos računske i srednje širine pukotina (β=1.7 za vanjsko opterećenje; β=1.3 za neizravno opterećenje)
− σrm – srednji razmak pukotina
− εsm – srednja deformacija armature
Srednja deformacija armature određuje se po izrazu:
gdje je:
ε
sm
σ
=
E
s
s
⋅ ζ
rm
sm
2
σ
⎡ ⎛ ⎞ ⎤
s
σ
⎢
sr
= ⋅ 1−
β ⋅ β ⋅ ⎥
⎢
⎜
⎟
1 2
Es
⎥
⎣ ⎝ σs
⎠ ⎦
(4.9)

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 77
− ζ – koeficijent raspodjele
− σs – naprezanje u vlačnoj armaturi na mjestu pukotine
M
M
sd
sd
σ s = ≈
(4.10)
z ⋅ A s ⎛ x ⎞
⎜d
− ⎟ ⋅ A s
⎝ 3 ⎠
− σsr – naprezanje u vlačnoj armaturi na mjestu pojave prve pukotine
Mcr
σ sr =
z ⋅ A
;
2
b ⋅ h
Mcr
= fctm
⋅
6
(4.11)
− β1 – koeficijent kojim se uzima u obzir vrsta armature
(β1=1.0 - rebrasta armatura, β1=0.5 - glatka armatura)
s
− β2 – koeficijent kojim se uzima u obzir trajanje opterećenja
(β2=1.0 – kratkotrajno opterećenje, β2=0.5 – dugotrajno opterećenje ili promjenjivo s čestim udjelom)
Srednji razmak pukotina određuje se po izrazu:
gdje je:
− φ – promjer šipke u mm
s
− ρr – djelotvorni koeficijent armiranja glavnom vlačnom armaturom
− k1 – koeficijent kojim se uzima u obzir prionjivost čelika i betona
(k1=0.8 - rebrasta armatura, k1=1.6 - glatka armatura
rm
− k2 – koeficijent kojim se uzima u obzir utjecaj raspodjele deformacija
(k2=0.5 – savijanje, k2=1.0 – vlak)
− Ac,eff – sudjelujuća vlačna zona presjeka
h
d
d 1
Grede
A c,eff
b
2.5 d 1
Težište
armature
φ
= 50 + 0.
25 ⋅ k1
⋅ k 2 ⋅ [ mm]
(4.12)
ρ
h d
d 1
c
Ploce
Manja vrijednost od
2.5 (c+φ/2) ili
(h-x)/3
Crtež 31 – Primjeri za određivanje sudjelujuće vlačne zone presjeka
A c,eff
r

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 78
x
Numerički primjer
Potrebno je odrediti granično stanje pukotina za gredu prikazanu na crtežu. Beton C40/50.
materijal:
C 40/50 ; fck = 40.0 MPa
A s2=3Ø12 fcd = fck
γc
= 40.
0 1.
5 = 26.
7 MPa
B 500B ; fyk = 500.0 MPa
fyd = fyk
opterećenje:
γ s = 500.
0 1.
15 = 434.
8 MPa
M sd=43.90
kNm
Msd = 43.
90 kNm
A s1=3Ø16
geometrija:
b = 30.
0 cm
b=30 cm
h = 44.
0 cm ; d1
= 4 cm
d = h − d = 40.
0 cm
h=44 cm
d=40 cm
d =4
1
d =4
2
Prognozna širina pukotine:
w = β ⋅ s ⋅ ε
k
rm
sm
β=1.7 - odnos računske i srednje širine pukotina
Proračun srednje deformacije armature:
ε
sm
ε
sm
σ
=
E
s
s
⋅ ζ
2
σ ⎡
⎤
s
⎛ σ
⎢
sr ⎞
= ⋅ 1−
β ⋅ β ⋅ ⎥
⎢
⎜
⎟
1 2
Es
⎥
⎣ ⎝ σs
⎠ ⎦
n ⋅ A ⎛
S1
x = ⋅ ⎜−
1+
b ⎜
⎝
2 ⋅ b ⋅ d ⎞ 5.
71⋅
6.
03 ⎛
1+
⎟ = ⋅ ⎜−
1+
n ⋅ A ⎟
S1
30 ⎜
⎠
⎝
2 ⋅ 30 ⋅ 40 ⎞
1+
⎟ = 8.
50 cm
5.
71⋅
6.
03 ⎟
⎠
Msd
σ s =
z ⋅ A s
Msd
≈
⎛ x ⎞
⎜d
− ⎟ ⋅ A s
⎝ 3 ⎠
4390
kN
=
= 19.
59 = 195.
9 MPa
2
⎛ 8.
5 ⎞
cm
⎜40
− ⎟ ⋅ 6.
03
⎝ 3 ⎠
σ
σ
sr
sr
E s
2
Mcr
=
z ⋅ As
;
b ⋅h
Mcr
= fct,
m ⋅
6
;
2 3
fct,
m ≈ 0.
3 ⋅ ( fck
) ; fck
=
2 3
fct,
m = 0.
3 ⋅ ( fck
) 2 3
= 0.
3 ⋅ ( 40.
0)
= 3.
5 MPa
2
30 ⋅ 44
Mcr
= 0.
35 ⋅ = 3388.
0 kNcm = 33.
88 kNm
6
Mcr
=
z ⋅ As
Mcr
≈
⎛ x ⎞
⎜d
− ⎟ ⋅ As
⎝ 3 ⎠
3388
3388
=
=
=
⎛ 8.
5 ⎞ 0.
9 ⋅ 40 ⋅ 6.
03
⎜40
− ⎟ ⋅ 6.
03
⎝ 3 ⎠
= 200.
0 GPa = 200000000.
0 kPa - modul elastičnosti armature
1 1.
0 = β - Rebrasta armatura
β 2 = 0.
5 - Dugotrajno opterećenje
σ
⎡
s = ⋅ ⎢1−
β1
⋅ β
Es
⎢
⎣
2
⎛ σ
⋅
⎜
⎝ σ
sr
s
1
40.
0 MPa
15.
12
2
2
⎞ ⎤
195.
9 ⎡
⎛ 151.
2 ⎞ ⎤
⎟ ⎥ = ⋅ ⎢1−
1.
0 ⋅ 0.
5 ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = 0.
688 ⋅10
⎠ ⎥ 200000.
0 ⎢⎣
⎝195.
9
⎦
⎠ ⎥⎦
kN
cm
−3
2
=
151.
2 MPa

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 79
Proračun srednjeg razmaka pukotina:
s
rm
= 50 +
0.
25 ⋅ k ⋅ k
1
2
⋅
φ
ρ
r
[ mm]
φ = 16 mm - Promjer najdeblje šipke
k1 = 0.
8 - Rebrasta armatura
k2 = 0.
5 - Savijanje
A s 6.
03
ρr = = = 0.
0201-
Djelotvorni koeficijent armiranja glavnom vlačnom armaturom
A 30 ⋅10
s
rm
c,
eff
= 50 +
Prognozna širina pukotine:
0.
25 ⋅ k ⋅ k
1
2
⋅
φ
ρ
r
d 1
4
= 50 +
0.
25
⋅
0.
8
⋅
b=30
0.
5
⋅
16
0.
0201
wk = β ⋅ srm
⋅ εsm
= 1.
7 ⋅ 0.
688 ⋅10
⋅129.
6 = 0.
151mm
< w g =
−3
=2.5*d 1
=10 cm
=
0.
3 mm
129.
6 mm

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 80
5.4 Granično stanje progiba
5.4.1 Općenito
Deformiranje elemenata i konstrukcija dozvoljava se u određenim granicama i pod uvjetom da ne izazove oštećenja u
samom sustavu i drugim nosivim elementima. Pod pojmom deformiranje (izobličenje) podrazumijeva se deformacija, progib,
zakrivljenost, pomak, uvrtanje i promjena nagiba. Najčešća analiza je analiza progiba.
Preporučene vrijednosti maksimalnih vertikalnih progiba prikazane su u tablici:
Konstrukcija δmax δ2
krovovi L/200 L/300
pristupačni krovovi za drugu namjenu osim održavanja L/250 L/300
stropovi L/250 L/300
stropovi/krovovi sa žbukom ili drugim krhkim završnim slojevima ili
nesavitljivim pregradama
stropovi koje podupiru stupovi (osim ako je progib uzet u obzir u sklopu
proračuna za granično stanje nosivosti)
L/250 L/250
L/400 L/500
kada δmax može narušiti izgled zgrade L/250 −
δ0= nadvišenje
δ1= progib od kratkotrajnog opterećenja
δ2= progib od vremenskih efekata
δmax= maksimalni (ukupni) progib
Kontrolu progiba nije potrebno provoditi uvijek. EC2 propisuje da kontrolu graničnog stanja uporabe nije potrebno
provoditi kada vitkost elementa na savijanje (leff/d) ne prelazi vrijednosti naznačene u tablici.
Vrijednosti naznačene u tablici valja umanjiti:
− Za grede T presjeka kojima je beff/bw>3 s faktorom: 0.8;
− Za sve elemente, osim ravnih ploča, raspona preko 7 m, koji nose pregradno ziđe, s faktorom: 7/leff.
− Za ravne ploče, raspona preko 8.5 m, s faktorom: 8.5/leff.
Također, kada je stvarno naprezanje u čeliku manje od 250.0 MN/m 2 , vrijednosti u tablici treba korigirati s nepovoljnijim
od dva faktora:
gdje je As,prov postojeća, a As,req potrebna površina armature.
f
3
250
400
= ; f3
=
(4.13)
σ
A
s
s,
req
fyk
⋅
A
Upotreba ove tablice je na strani sigurnosti. Kod većih vitkosti i kada se ne može zadovoljiti uvjet za primjenu tablice
potrebno je provesti dokaz graničnog stanja deformiranja.
s,
prov

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 81
5.4.2 Dokaz graničnog stanja progibanja
Potrebno je dokazati da je progib izazvan opterećenjem manji od graničnog:
Za elemente pretežno naprezane na savijanje vrijedi sljedeći izraz:
gdje je:
− ν – ukupni progib
ν ≤ ν
(4.14)
k
g
( − ζ)
⋅ I
− ζ – koeficijent raspodjele (već primjenjivan kod proračuna pukotina);
za neraspucali element z=0.0
2
⎡ ⎛ σ ⎞ ⎤
⎢
sr
ζ = 1 − β ⋅ β ⋅ ⎥
⎢
⎜
⎟
1 2
⎥
⎣ ⎝ σs
⎠ ⎦
ν = ζ ⋅ νII
+ 1 ν
(4.15)
− νI, νII – odgovarajuće vrijednosti progiba za neraspucali (homogeni) i potpuno raspucali element

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 82
Za elemente konstantne visine koristi se pojednostavljena metoda prema kojoj se izračuna zakrivljenost na mjestu
maksimalnog momenta, a progib se tada izračuna prema izrazu:
2 1
ν tot = k ⋅L
⋅
rtot
(4.16)
gdje je:
− k – koeficijent ovisan o statičkom sustavu i opterećenju (vidi tablicu)
− L – raspon elementa
− rtot – ukupna zakrivljenost elementa, prema izrazu
1
r
− rm – zakrivljenost zbog opterećenja i puzanja
− rcsm – zakrivljenost zbog skupljanja
Tablica koeficijenata k za pojednostavljeni proračun progiba:
tot
1 1
= +
(4.17)
r r
m
csm

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 83
(
Srednja zakrivljenost zbog opterećenja i puzanja sastoji se od zakrivljenosti u stanju naprezanja I i stanju naprezanja II:
1 1 1
= ζ ⋅ + ( 1−
ζ)
⋅
(4.18)
rm
rI
rII
Zakrivljenost za stanje naprezanja I proračunava se prema izrazu:
gdje je:
− II – moment tromosti presjeka u stanju I (neraspucalo stanje)
1
r
M
Sd = (4.19)
I Ec,
eff ⋅II
Približne vrijednosti vlačne čvrstoće betona i modula elastičnosti mogu se odrediti izrazima:
E
f
cm
ct,
m
= 9500
≈ 0.
3 ⋅
⋅ 3 fck
+ 8 [ MPa]
; fck
[ MPa]
( f
2 3 ) [ MPa]
; f [ MPa]
ck
Puzanje betona može se uzeti u obzir preko korigiranog modula elastičnosti, nakon očitanja trajnog koeficijenta puzanja
) iz pravilnika:
ϕt 0 , t
∞
Zakrivljenost za stanje naprezanja II:
gdje je:
1
r
cm
ϕt
0 , t ∞
ck
(4.20)
E
E c,
eff =
(4.21)
1.
0 +
ε
=
M
s1
Sd
= (4.22)
II d − yIIg
Ec,
eff ⋅III
− yIIg – udaljenost neutralne osi od gornjeg ruba poprečnog presjeka za stanje II
− εs1 – relativna deformacija armature, koja se izračunava po izrazu:
Moment nastanka prve pukotine određuje se prema izrazu:
σ
M
s
sd
ε s1
= ; σs
=
(4.23)
Es z ⋅ A s1
2
( ) 3 2
b ⋅ h
Mcr = fct,
m ⋅ ; fct,
m ≈ 0.
3 ⋅ fck
(4.24)
6
Te, ako je Mcr>Msd, tada se koeficijent raspodjele z uzima jednak 0, bez obzira na proračunatu vrijednost, jer je nosač u
elastičnom stanju.
Zakrivljenost zbog skupljanja za stanje naprezanja I i II iznose:
gdje je:
1 εcs∞
⋅ αe
⋅ SI
1 εcs∞
⋅ αe
⋅ S
=
; =
r I r I
csl,
I
I
csl,
II
− SI, SII – statički moment površine armature za stanje naprezanja I, tj. II,
− II, III – momenti tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja I, tj. II,
− εcs∞ – relativna deformacija zbog skupljanja u beskonačnosti (iz tablica)
− αe – omjer modula elastičnosti čelika i betona, prema:
II
II
(4.25)

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 84
Numerički primjer
M = 0 kNm
A
M = 43.9 kNm
F
L=460 cm
Es
Es
αe = ( za t = 0)
; αe
= ( za t = ∞)
(4.26)
E
E
cm
Potrebno je izračunati granično stanje progiba za nosač prikazan na crtežu.
Granični progib:
L 460
ν lim = = = 1.
84 cm
250 250
M B=
57.5 kNm
Beton: C 40/50; fck=40.0 MPa
Presjek u polju:
d 2
4
40
d 1
4
A =3Ø12
s2
A =3Ø16
s1
b=30
As1 = 3∅16 =6.03 cm 2
As2 = 2∅12 =2.26 cm 2
3
bh
II
= + α
12
M
E
1 M
=
r E
I
Sd
c,
eff
eI
E
cm
c,
eff
= 9500 ⋅
+ 8 = 9500 ⋅
2 3
2 3
( f ) = 0.
3 ⋅ ( 40.
0)
= 3.
5 MPa
fct,
m = 0.
3 ⋅ ck
Čelik: B500B; Es=200.0 GPa
Es
α eI =
E
200.
0
= = 5.
71
35.
0
⎡
⋅ ⎢A
⎢⎣
s1
k =
cm
ν
tot
5
48
f
3 ck
2
= k ⋅L
⋅
⋅
1
r
tot
β = MA + MB
MF
= 0.
0
⎛ h ⎞
⋅ ⎜ − d2
⎟
⎝ 2 ⎠
2
+
3
40 + 8 ≈ 35000 MPa
57.
5
43.
9
= 1.
31
( 1−
0.
1⋅
β)
= 0.
104 ⋅ ( 1−
0.
1⋅1.
31)
= 0.
091
+ A
s2
2
⎛ h ⎞ ⎤
⋅ ⎜ − d1
⎟ ⎥
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
3
2
2
30 ⋅ 44 ⎡ ⎛ 44 ⎞ ⎛ 44 ⎞ ⎤
= + 5.
71⋅
⎢6.
03 ⋅ ⎜ − 4⎟
+ 2.
26 ⋅ ⎜ − 4⎟
⎥ =
12 ⎢⎣
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
4
= 212960.
0 + 15336.
8 = 228296.
8 cm
= M
= E
c
F
Sd
, eff
=
cm
=
⋅I
I
1.
0 ⋅M
=
35.
0
g
3500.
0
+ 1.
0 ⋅M
=
2
GN m
4390.
0
⋅
q
=
3500.
0 kN
228296.
83
43.
90 kNm
αeI
⋅ A ⎛
2bd
⎞
s1
5.
71⋅
6.
03 ⎛ 2 30 40 ⎞
x
1 1
⎜
⋅ ⋅
=
⎜−
+ + ⎟ =
− 1+
1+
⎟ =
b ⎜
eI A ⎟
s1
30 ⎜ 5.
71 6.
03 ⎟
⎝ α ⋅ ⎠
⎝
⋅ ⎠
=
cm
=
2
0.
00000549
8.
50 cm
4390.
0 kNcm
1
cm

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 85
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
[ ]
4
2
2
2
3
2
2
2
s
2
1
s
eI
2
3
II
cm
03
.
40567
78
.
34425
25
.
6141
4
5
.
8
26
.
2
5
.
8
40
03
.
6
71
.
5
2
50
.
8
50
.
8
30
12
50
.
8
30
d
x
A
x
d
A
2
x
bx
12
bx
I
=
+
=
−
⋅
+
−
⋅
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
+
⋅
=
−
⋅
+
−
⋅
⋅
α
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
=
MPa
9
.
195
cm
kN
59
.
19
03
.
6
3
5
.
8
40
4390
A
3
x
d
M
A
z
M
2
1
s
sd
1
s
sd
1
s
=
=
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
≈
⋅
=
σ
4
d 1
b=30
h = 44 cm
d = 40 cm
A =3Ø16
s1
A =3Ø12
s2 x
4
d 2
c
F
s1
F
d - x/3
0009795
.
0
200000
9
.
195
E s
1
s
1
s
=
=
σ
=
ε
cm
1
00003110
.
0
5
.
8
40
0009795
.
0
y
d
r
1
IIg
1
s
II
=
−
=
−
ε
=
Alternativno:
cm
1
00003092
.
0
03
.
40567
0
.
3500
0
.
4390
I
E
M
r
1
II
eff
,
c
Sd
II
=
⋅
=
⋅
=
( )
( ) ( )
MPa
2
.
151
cm
kN
12
.
15
03
.
6
3
5
.
8
40
3388
A
3
x
d
M
A
z
M
kNm
88
.
33
kNcm
0
.
3388
6
44
30
35
.
0
M
MPa
5
.
3
0
.
40
3
.
0
f
3
.
0
f
MPa
0
.
40
f
;
f
3
.
0
f
;
6
h
b
f
M
;
A
z
M
2
s
cr
s
cr
sr
2
cr
3
2
3
2
ck
ctm
ck
3
2
ck
ctm
2
ctm
cr
s
cr
sr
=
=
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
≈
⋅
=
σ
=
=
⋅
⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
=
⋅
≈
⋅
⋅
=
⋅
=
σ
( ) ( )
cm
1
0000131
.
0
00003110
.
0
702
.
0
1
00000549
.
0
702
.
0
r
1
1
r
1
r
1
702
.
0
9
.
195
2
.
151
5
.
0
0
.
1
1
1
cm
1
00003110
.
0
r
1
cm
1
00000549
.
0
r
1
II
I
m
2
2
s
sr
2
1
II
I
=
⋅
−
+
⋅
=
⋅
ζ
−
+
⋅
ζ
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
σ
⋅
β
⋅
β
−
=
ζ
=
=
cm
84
.
1
cm
16
.
0
0000131
.
0
0
.
360
091
.
0
r
1
L
k
cm
0
.
360
L
091
.
0
k
lim
2
tot
2
0
t
,
tot
=
ν
<
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
ν
=
=
=

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 86
Ako uključimo puzanje:
Presjek u polju:
4
d 1
b=30
40
A =3Ø16
s1
A =3Ø12
s2
4
d 2
As1 = 3∅16 =6.03 cm 2
As2 = 2∅12 =2.26 cm 2
42
.
19
3
.
10
0
.
200
E
E
GPa
3
.
10
4
.
2
1
0
.
35
1
E
E
eff
,
c
s
eII
t
,
t
cm
eff
,
c
=
=
=
α
≈
+
=
ϕ
+
=
∞
=
4
2
2
3
2
1
2
s
2
2
1
s
eI
3
I
cm
34
.
265121
34
.
52161
0
.
212960
4
2
44
26
.
2
4
2
44
03
.
6
42
.
19
12
44
30
d
2
h
A
d
2
h
A
12
bh
I
=
+
=
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
⋅
+
⋅
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
⋅
α
+
=
cm
1
0000161
.
0
34
.
265121
0
.
1030
0
.
4390
I
E
M
r
1
kNcm
0
.
4390
kNm
90
.
43
M
0
.
1
M
0
.
1
M
M
I
eff
,
c
Sd
I
q
g
F
Sd
=
⋅
=
⋅
=
=
=
⋅
+
⋅
=
=
cm
20
.
14
03
.
6
42
.
19
40
30
2
1
1
30
03
.
6
42
.
19
A
bd
2
1
1
b
A
x
1
s
eII
1
s
eII
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
+
+
−
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
α
+
+
−
⋅
α
=
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
[ ]
4
2
2
2
3
2
2
2
s
2
1
s
eII
2
3
II
cm
29
.
111147
41
.
82514
88
.
28632
4
20
.
14
26
.
2
20
.
14
40
03
.
6
42
.
19
2
20
.
14
20
.
14
30
12
20
.
14
30
d
x
A
x
d
A
2
x
bx
12
bx
I
=
+
=
−
⋅
+
−
⋅
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
+
⋅
=
−
⋅
+
−
⋅
⋅
α
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
=
)
MPa
9
.
195
(
MPa
4
.
206
cm
kN
64
.
20
03
.
6
3
2
.
14
40
4390
A
3
x
d
M
A
z
M
2
1
s
sd
1
s
sd
1
s
=
=
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
≈
⋅
=
σ
001032
.
0
200000
4
.
206
E s
1
s
1
s
=
=
σ
=
ε
cm
1
0000400
.
0
2
.
14
40
001032
.
0
y
d
r
1
IIg
1
s
II
=
−
=
−
ε
=
cm
1
0000383
.
0
29
.
111147
0
.
1030
0
.
4390
I
E
M
r
1
II
eff
,
c
Sd
II
=
⋅
=
⋅
=
( )
( ) ( )
MPa
0
.
159
cm
kN
90
.
15
03
.
6
3
2
.
14
40
3388
A
3
x
d
M
A
z
M
kNm
88
.
33
kNcm
0
.
3388
6
44
30
35
.
0
M
MPa
5
.
3
0
.
40
3
.
0
f
3
.
0
f
MPa
0
.
40
f
;
f
3
.
0
f
;
6
h
b
f
M
;
A
z
M
2
s
cr
s
cr
sr
2
cr
3
2
3
2
ck
ctm
ck
3
2
ck
ctm
2
ctm
cr
s
cr
sr
=
=
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
≈
⋅
=
σ
=
=
⋅
⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
=
⋅
≈
⋅
⋅
=
⋅
=
σ

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 87
( ) ( )
cm
1
0000232
.
0
0000400
.
0
703
.
0
1
0000161
.
0
703
.
0
r
1
1
r
1
r
1
703
.
0
4
.
206
0
.
159
5
.
0
0
.
1
1
1
cm
1
0000400
.
0
r
1
cm
1
0000161
.
0
r
1
II
I
m
2
2
s
sr
2
1
II
I
=
⋅
−
+
⋅
=
⋅
ζ
−
+
⋅
ζ
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
σ
⋅
β
⋅
β
−
=
ζ
=
=
cm
84
.
1
cm
27
.
0
0000232
.
0
0
.
360
091
.
0
r
1
L
k
cm
0
.
360
L
091
.
0
k
lim
2
tot
2
t
,
tot
=
ν
<
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
ν
=
=
∞
=

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 88
6 DETALJI UGRADNJE ARMATURE
6.1 Općenito
Ako graničnim stanjima nosivosti osiguravamo da konstrukcija i njeni elementi u graničnom stanju imaju dovoljnu
nosivost, graničnim stanjima uporabe osiguravamo da ta konstrukcija bude i upotrebljiva, pri čemu uzimamo u obzir uvjete
okoliša i vrstu i karakter opterećenja. Primjerice, ako konstrukcija ima preveliki progib i/ili značajne pukotine, bez obzira na
što sigurnost konstrukcije nije ugrožena, korištenje takve konstrukcije neće biti ugodno, te je bitno smanjena njena
vrijednost.
6.2 Razmak šipki
6.3 Dozvoljeni promjeri savijanja šipki
6.4 Sidrenje uzdužne armature
6.5 Sidrenje poprečne armature
6.6 Posebna pravila za šipke velikog promjera

Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 89
7 PRILOZI
Prilog 1: Tablice za dimenzioniranje pravokutnih presjeka prema graničnim stanjima sloma
Prilog 2: Tablice za dimenzioniranje T i Γ presjeka
Prilog 3: Tablice za proračun pravokutnih križno armiranih ploča opterećenih jednolikim kontinuiranim opterećenjem
Prilog 4: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka, β=0.05
Prilog 5: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka, β=0.075
Prilog 6: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka, β=0.10
Prilog 7: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka, ϕ=0.85
Prilog 8: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka, ϕ=0.90
Prilog 9: Dijagram za dimenzioniranje pravokutnih presjeka na koso savijanje – armatura simetrično raspoređena u
kutovima
Prilog 10: Dijagram za dimenzioniranje pravokutnih presjeka na koso savijanje – armatura simetrično raspoređena po
stranicama
Prilog 11: Armaturne tablice

Prilog 1: Tablice za dimenzioniranje pravokutnih presjeka prema graničnim stanjima sloma
Lom preko armature εs1=20.0 ‰
εc2 [‰] εs1 [‰] ξ=x/d ζ=z/d ω1 µsds
0.1 20.0 0.005 0.998 0.000 0.000
0.2 20.0 0.010 0.997 0.001 0.001
0.3 20.0 0.015 0.995 0.002 0.002
0.4 20.0 0.020 0.993 0.003 0.003
0.5 20.0 0.024 0.992 0.005 0.005
0.6 20.0 0.029 0.990 0.007 0.007
0.7 20.0 0.034 0.988 0.009 0.009
0.8 20.0 0.038 0.987 0.011 0.011
0.9 20.0 0.043 0.985 0.014 0.014
1.0 20.0 0.048 0.983 0.017 0.017
1.1 20.0 0.052 0.982 0.020 0.020
1.2 20.0 0.057 0.980 0.023 0.023
1.3 20.0 0.061 0.978 0.026 0.026
1.4 20.0 0.065 0.977 0.030 0.029
1.5 20.0 0.070 0.975 0.033 0.033
1.6 20.0 0.074 0.973 0.037 0.036
1.7 20.0 0.078 0.971 0.041 0.039
1.8 20.0 0.083 0.970 0.044 0.043
1.9 20.0 0.087 0.968 0.048 0.046
2.0 20.0 0.091 0.966 0.052 0.050
2.1 20.0 0.095 0.964 0.055 0.053
2.2 20.0 0.099 0.962 0.059 0.056
2.3 20.0 0.103 0.960 0.062 0.060
2.4 20.0 0.107 0.958 0.066 0.063
2.5 20.0 0.111 0.957 0.069 0.066
2.6 20.0 0.115 0.955 0.073 0.069
2.7 20.0 0.119 0.953 0.076 0.073
2.8 20.0 0.123 0.951 0.080 0.076
2.9 20.0 0.127 0.949 0.083 0.079
3.0 20.0 0.130 0.947 0.086 0.082
3.1 20.0 0.134 0.945 0.090 0.085
3.2 20.0 0.138 0.944 0.093 0.088
3.3 20.0 0.142 0.942 0.096 0.090
3.4 20.0 0.145 0.940 0.099 0.093
3.5 20.0 0.149 0.938 0.102 0.096
h
d
d 1
2
1
Msd
b
As2
As1
2
d
d-x
Lom preko armature εs1=10.0 ‰
εc2 [‰] εs1 [‰] ξ=x/d ζ=z/d ω1 µsds
x=ξ*d
0.1 10.0 0.010 0.997 0.000 0.000
0.2 10.0 0.020 0.993 0.002 0.002
0.3 10.0 0.029 0.990 0.004 0.003
0.4 10.0 0.038 0.987 0.006 0.006
0.5 10.0 0.048 0.984 0.009 0.009
0.6 10.0 0.057 0.981 0.013 0.013
0.7 10.0 0.065 0.977 0.017 0.017
0.8 10.0 0.074 0.974 0.022 0.021
0.9 10.0 0.083 0.971 0.027 0.026
1.0 10.0 0.091 0.968 0.032 0.031
1.1 10.0 0.099 0.965 0.038 0.037
1.2 10.0 0.107 0.962 0.044 0.042
1.3 10.0 0.115 0.959 0.050 0.048
1.4 10.0 0.123 0.956 0.056 0.054
1.5 10.0 0.130 0.953 0.062 0.059
1.6 10.0 0.138 0.950 0.069 0.065
1.7 10.0 0.145 0.947 0.075 0.071
1.8 10.0 0.153 0.944 0.082 0.077
1.9 10.0 0.160 0.941 0.088 0.083
2.0 10.0 0.167 0.938 0.094 0.089
2.1 10.0 0.174 0.934 0.101 0.094
2.2 10.0 0.180 0.931 0.107 0.099
2.3 10.0 0.187 0.928 0.113 0.105
2.4 10.0 0.194 0.925 0.119 0.110
2.5 10.0 0.200 0.922 0.125 0.115
2.6 10.0 0.206 0.919 0.130 0.120
2.7 10.0 0.213 0.916 0.136 0.125
2.8 10.0 0.219 0.913 0.142 0.129
2.9 10.0 0.225 0.910 0.147 0.134
3.0 10.0 0.231 0.907 0.153 0.138
3.1 10.0 0.237 0.904 0.158 0.143
3.2 10.0 0.242 0.901 0.163 0.147
3.3 10.0 0.248 0.898 0.168 0.151
3.4 10.0 0.254 0.895 0.173 0.155
3.5 10.0 0.259 0.892 0.178 0.159
εs2
Neutralna os
ε c2
2
d-d
z=ζ*d
0.85 f cd
Lom preko armature εs1=5.0 ‰
εc2 [‰] εs1 [‰] ξ=x/d ζ=z/d ω1 µsds
0.1 5.0 0.020 0.993 0.001 0.001
0.2 5.0 0.038 0.987 0.003 0.003
0.3 5.0 0.057 0.981 0.007 0.007
0.4 5.0 0.074 0.975 0.012 0.011
0.5 5.0 0.091 0.969 0.018 0.017
0.6 5.0 0.107 0.963 0.025 0.024
0.7 5.0 0.123 0.958 0.032 0.031
0.8 5.0 0.138 0.952 0.041 0.039
0.9 5.0 0.153 0.947 0.050 0.047
1.0 5.0 0.167 0.942 0.059 0.056
1.1 5.0 0.180 0.937 0.069 0.064
1.2 5.0 0.194 0.931 0.079 0.074
1.3 5.0 0.206 0.926 0.089 0.083
1.4 5.0 0.219 0.922 0.100 0.092
1.5 5.0 0.231 0.917 0.110 0.101
1.6 5.0 0.242 0.912 0.121 0.110
1.7 5.0 0.254 0.907 0.131 0.119
1.8 5.0 0.265 0.902 0.142 0.128
1.9 5.0 0.275 0.898 0.152 0.136
2.0 5.0 0.286 0.893 0.162 0.145
2.1 5.0 0.296 0.888 0.172 0.152
2.2 5.0 0.306 0.883 0.181 0.160
2.3 5.0 0.315 0.879 0.190 0.167
2.4 5.0 0.324 0.874 0.199 0.174
2.5 5.0 0.333 0.870 0.208 0.181
2.6 5.0 0.342 0.865 0.216 0.187
2.7 5.0 0.351 0.861 0.224 0.193
2.8 5.0 0.359 0.857 0.232 0.199
2.9 5.0 0.367 0.852 0.240 0.205
3.0 5.0 0.375 0.848 0.248 0.210
3.1 5.0 0.383 0.844 0.255 0.216
3.2 5.0 0.390 0.840 0.263 0.221
3.3 5.0 0.398 0.836 0.270 0.226
3.4 5.0 0.405 0.832 0.277 0.230
3.5 5.0 0.412 0.829 0.283 0.235
Fs2
εs1 Fs1 F
c
Msd
µ sd = = µ Rd = 0.
85 ⋅ α
2
v
b ⋅ d ⋅ f
cd
Lom preko armature εs1=3.0 ‰
εc2 [‰] εs1 [‰] ξ=x/d ζ=z/d ω1 µsds
0.1 3.0 0.032 0.989 0.001 0.001
0.2 3.0 0.063 0.979 0.005 0.005
0.3 3.0 0.091 0.969 0.011 0.011
0.4 3.0 0.118 0.960 0.019 0.018
0.5 3.0 0.143 0.951 0.028 0.026
0.6 3.0 0.167 0.943 0.038 0.036
0.7 3.0 0.189 0.935 0.050 0.046
0.8 3.0 0.211 0.927 0.062 0.058
0.9 3.0 0.231 0.920 0.075 0.069
1.0 3.0 0.250 0.913 0.089 0.081
1.1 3.0 0.268 0.906 0.102 0.093
1.2 3.0 0.286 0.899 0.117 0.105
1.3 3.0 0.302 0.892 0.131 0.117
1.4 3.0 0.318 0.886 0.145 0.129
1.5 3.0 0.333 0.880 0.159 0.140
1.6 3.0 0.348 0.874 0.173 0.152
1.7 3.0 0.362 0.868 0.187 0.162
1.8 3.0 0.375 0.862 0.201 0.173
1.9 3.0 0.388 0.856 0.214 0.183
2.0 3.0 0.400 0.850 0.227 0.193
2.1 3.0 0.412 0.844 0.239 0.202
2.2 3.0 0.423 0.839 0.251 0.210
2.3 3.0 0.434 0.833 0.262 0.218
2.4 3.0 0.444 0.828 0.273 0.226
2.5 3.0 0.455 0.822 0.283 0.233
2.6 3.0 0.464 0.817 0.293 0.240
2.7 3.0 0.474 0.812 0.303 0.246
2.8 3.0 0.483 0.807 0.313 0.252
2.9 3.0 0.492 0.802 0.322 0.258
3.0 3.0 0.500 0.798 0.331 0.264
3.1 3.0 0.508 0.793 0.339 0.269
3.2 3.0 0.516 0.789 0.347 0.274
3.3 3.0 0.524 0.784 0.355 0.279
3.4 3.0 0.531 0.780 0.363 0.283
3.5 3.0 0.538 0.776 0.371 0.288
⋅ ξ ⋅ ζ
A
A
s1
s1
Msd
=
ζ ⋅ d ⋅ f
= ω
1
f
f
cd
yd
yd
⋅ d ⋅ b
Lom preko betona εc2=3.5 ‰
εc2 [‰] εs1 [‰] ξ=x/d ζ=z/d ω1 µsds
3.5 20.0 0.149 0.938 0.102 0.096
3.5 19.5 0.152 0.937 0.105 0.098
3.5 19.0 0.156 0.935 0.107 0.100
3.5 18.5 0.159 0.934 0.109 0.102
3.5 18.0 0.163 0.932 0.112 0.104
3.5 17.5 0.167 0.931 0.115 0.107
3.5 17.0 0.171 0.929 0.117 0.109
3.5 16.5 0.175 0.927 0.120 0.112
3.5 16.0 0.179 0.925 0.124 0.114
3.5 15.5 0.184 0.923 0.127 0.117
3.5 15.0 0.189 0.921 0.130 0.120
3.5 14.5 0.194 0.919 0.134 0.123
3.5 14.0 0.200 0.917 0.138 0.126
3.5 13.5 0.206 0.914 0.142 0.130
3.5 13.0 0.212 0.912 0.146 0.133
3.5 12.5 0.219 0.909 0.151 0.137
3.5 12.0 0.226 0.906 0.155 0.141
3.5 11.5 0.233 0.903 0.161 0.145
3.5 11.0 0.241 0.900 0.166 0.149
3.5 10.5 0.250 0.896 0.172 0.154
3.5 10.0 0.259 0.892 0.178 0.159
3.5 9.5 0.269 0.888 0.185 0.165
3.5 9.0 0.280 0.884 0.193 0.170
3.5 8.5 0.292 0.879 0.201 0.176
3.5 8.0 0.304 0.873 0.209 0.183
3.5 7.5 0.318 0.868 0.219 0.190
3.5 7.0 0.333 0.861 0.229 0.198
3.5 6.5 0.350 0.854 0.241 0.206
3.5 6.0 0.368 0.847 0.254 0.215
3.5 5.5 0.389 0.838 0.268 0.224
3.5 5.0 0.412 0.829 0.283 0.235
3.5 4.5 0.438 0.818 0.301 0.246
3.5 4.0 0.467 0.806 0.321 0.259
3.5 3.5 0.500 0.792 0.344 0.272
3.5 3.0 0.538 0.776 0.371 0.288
3.5 2.5 0.583 0.757 0.401 0.304
3.5 2.0 0.636 0.735 0.438 0.322
3.5 1.5 0.700 0.709 0.482 0.341
3.5 1.0 0.778 0.676 0.535 0.362
3.5 0.5 0.875 0.636 0.602 0.383

Prilog 2: Tablice za dimenzioniranje T i Γ presjeka
h
d
d 1
f
h
2
M sd
N sd
1
b eff
b i
b
A s1
d
A s2 x 2
w
d-x
Neutralna os
εs2
ε c2
ε
*
c
2
d-d
z
0.85 f cd
F
F
εs1 Fs1 s2
c
α
= 1 −
α
v λb ∗
v
⎛ h ⎛ f ⎞ b
⎜1−
⎟
⎜
⎜1−
⎝ ξ d ⎠⎝
b
hf d
beff b
0.550 0.525 0.500 0.475 0.450 0.425 0.400 0.375 0.350 0.325 0.300 0.275 0.250 0.225 0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
ξ = x d
λ b
0.550 0.525 0.500 0.475 0.450 0.425 0.400 0.375 0.350 0.325 0.300 0.275 0.250 0.225 0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
0.550 0.513 0.489 0.464 0.437 0.413 0.386 0.362 0.335 0.309 0.284 0.259 0.232 0.207 0.181 0.155 0.130 0.103 0.078 0.052 0.026 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
0.550 0.513 0.487 0.461 0.436 0.409 0.383 0.357 0.330 0.303 0.276 0.249 0.221 0.194 0.166 0.139 0.111 0.083 0.056 0.028 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99
0.550 0.513 0.487 0.460 0.434 0.407 0.379 0.351 0.323 0.295 0.266 0.237 0.208 0.178 0.149 0.119 0.090 0.060 0.030 0.99 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98
0.550 0.512 0.485 0.459 0.431 0.403 0.374 0.345 0.315 0.285 0.254 0.223 0.192 0.160 0.129 0.097 0.065 0.032 0.98 0.97 0.97 0.97 0.96 0.96 0.96 0.96
0.550 0.512 0.485 0.457 0.428 0.399 0.368 0.337 0.306 0.273 0.240 0.207 0.173 0.139 0.105 0.070 0.035 0.97 0.96 0.95 0.94 0.94 0.94 0.94 0.93
0.550 0.511 0.483 0.454 0.425 0.394 0.362 0.329 0.295 0.260 0.224 0.188 0.151 0.114 0.076 0.038 0.96 0.94 0.93 0.92 0.91 0.91 0.91 0.90
0.550 0.510 0.481 0.451 0.420 0.388 0.354 0.318 0.281 0.243 0.204 0.164 0.124 0.083 0.042 0.95 0.92 0.90 0.89 0.88 0.88 0.87 0.87
0.550 0.509 0.479 0.448 0.415 0.381 0.344 0.305 0.265 0.223 0.180 0.136 0.091 0.046 0.93 0.90 0.87 0.86 0.85 0.84 0.84 0.83
0.550 0.508 0.477 0.444 0.409 0.372 0.331 0.289 0.244 0.198 0.150 0.101 0.051 0.91 0.87 0.84 0.83 0.81 0.80 0.80 0.79
0.550 0.507 0.473 0.439 0.401 0.360 0.316 0.268 0.218 0.166 0.112 0.056 0.90 0.84 0.81 0.79 0.78 0.76 0.76 0.75
0.550 0.505 0.469 0.432 0.391 0.345 0.295 0.241 0.184 0.125 0.063 0.88 0.82 0.78 0.75 0.74 0.72 0.71 0.70
0.550 0.502 0.464 0.423 0.378 0.326 0.268 0.206 0.140 0.071 0.86 0.79 0.74 0.72 0.70 0.68 0.67 0.66
0.550 0.499 0.457 0.412 0.360 0.299 0.232 0.158 0.081 0.84 0.76 0.71 0.68 0.65 0.64 0.62 0.61
0.550 0.494 0.448 0.397 0.335 0.262 0.181 0.093 0.82 0.73 0.68 0.64 0.61 0.59 0.58 0.57
0.550 0.488 0.435 0.374 0.298 0.208 0.108 0.80 0.70 0.64 0.60 0.57 0.55 0.53 0.52
0.550 0.479 0.418 0.342 0.243 0.127 0.78 0.67 0.60 0.56 0.53 0.51 0.49 0.48
0.550 0.467 0.392 0.288 0.154 0.76 0.64 0.58 0.53 0.49 0.47 0.45 0.43
0.550 0.449 0.347 0.192 0.74 0.62 0.54 0.49 0.45 0.42 0.40 0.38
0.550 0.420 0.252 0.72 0.59 0.50 0.45 0.41 0.38 0.36 0.34
0.550 0.351 0.71 0.56 0.47 0.41 0.37 0.34 0.31 0.29
0.550 0.69 0.53 0.43 0.37 0.33 0.29 0.27 0.25
eff
w
⎞
⎟
⎠

Prilog 3: Tablice za proračun pravokutnih križno armiranih ploča opterećenih jednolikim kontinuiranim opterećenjem
l y
x
x
2
x
M = k ⋅ q ⋅ l ;
y
y
2
y
M = k ⋅ q ⋅ l ;
Shema 1
l x
My
Mx
q
q
a
x
a
x
M = k ⋅ q ⋅ l
b
y
b
y
M = k ⋅ q ⋅ l
ly
M x
a
2
x
2
y
Shema 2
l y lx
x k k y
x k k y
l x
M y
M x
q
q
a
k x
0.50 0.0079 0.0991 0.0084 0.0908 -0.0305
0.55 0.0103 0.0923 0.0109 0.0826 -0.0362
0.60 0.0131 0.0857 0.0135 0.0747 -0.0421
0.65 0.0162 0.0792 0.0162 0.0670 -0.0479
0.70 0.0194 0.0730 0.0192 0.0599 -0.0537
0.75 0.0230 0.0669 0.0221 0.0533 -0.0594
0.80 0.0269 0.0611 0.0249 0.0472 -0.0650
0.85 0.0307 0.0577 0.0277 0.0417 -0.0703
0.90 0.0344 0.0507 0.0304 0.0369 -0.0750
0.95 0.0383 0.0462 0.0330 0.0327 -0.0797
1.00 0.0423 0.0423 0.0354 0.0291 -0.0840
1.10 0.0500 0.0353 0.0399 0.0288 -0.0917
1.20 0.0575 0.0293 0.0438 0.0180 -0.0980
1.30 0.0644 0.0244 0.0471 0.0143 -0.1032
1.40 0.0710 0.0204 0.0500 0.0115 -0.1075
1.50 0.0722 0.0173 0.0524 0.0094 -0.1109
1.60 0.0826 0.0146 0.0544 0.0076 -0.1136
1.70 0.0874 0.0124 0.0561 0.0062 -0.1160
1.80 0.0916 0.0107 0.0572 0.0052 -0.1184
1.90 0.0954 0.0091 0.0586 0.0044 -0.1203
2.00 0.0991 0.0079 0.0594 0.0037 -0.1213
Množitelj
2
q⋅ lx
2
2
q⋅ ly
q⋅ lx
2
2
q⋅ ly
q⋅ lx
q – jednoliko raspodijeljeno opterećenje
Poissonov koeficijent = 0.15
ly
Mx a
Shema 3
lx
My
Mx
q
Mx a
l y lx
k k x y
q
ly
Shema 4
lx
a
k k k
x x y
My
Mx
My b
q
Mx
a
a
k x
q
b
k y
0.50 0.0088 0.0835 -0.0297 0.0040 0.0570 -0.0205 -0.1189
0.55 0.0113 0.0738 -0.0350 0.0054 0.0543 -0.0249 -0.1148
0.60 0.0137 0.0647 -0.0400 0.0072 0.0514 -0.0294 -0.1104
0.65 0.0166 0.0563 -0.0450 0.0092 0.0483 -0.0341 -0.1057
0.70 0.0187 0.0489 -0.0497 0.0114 0.0451 -0.0390 -0.1008
0.75 0.0212 0.0423 -0.0540 0.0139 0.0418 -0.0442 -0.0957
0.80 0.0233 0.0363 -0.0578 0.0164 0.0385 -0.0496 -0.0905
0.85 0.0254 0.0313 -0.0612 0.0191 0.0354 -0.0548 -0.0852
0.90 0.0274 0.0270 -0.0644 0.0217 0.0324 -0.0598 -0.0798
0.95 0.0292 0.0232 -0.0677 0.0243 0.0295 -0.0648 -0.0745
1.00 0.0309 0.0201 -0.0699 0.0269 0.0269 -0.0699 -0.0699
1.10 0.0335 0.0151 -0.0741 0.0319 0.0221 -0.0787 -0.0608
1.20 0.0357 0.0113 -0.0770 0.0365 0.0182 -0.0869 -0.0530
1.30 0.0374 0.0088 -0.0793 0.0406 0.0148 -0.0937 -0.0462
1.40 0.0386 0.0068 -0.0811 0.0442 0.0122 -0.0993 -0.0405
1.50 0.0396 0.0053 -0.0815 0.0473 0.0100 -0.1041 -0.0358
1.60 0.0404 0.0042 -0.0825 0.0499 0.0081 -0.1082 -0.0317
1.70 0.0410 0.0034 -0.0830 0.0521 0.0066 -0.1116 -0.0282
1.80 0.0414 0.0028 -0.0832 0.0540 0.0055 -0.1143 -0.0252
1.90 0.0416 0.0023 -0.0833 0.0556 0.0046 -0.1167 -0.0226
2.00 0.0417 0.0019 -0.0833 0.0570 0.0040 -0.1189 -0.0205
Množ.
2
q⋅ lx
2 2 q⋅ ly
q⋅ lx
2
q⋅ lx
2 2 q⋅ ly
q⋅ lx
2
q⋅ ly
ly
Mx a
Shema 5
lx
My
Mx
My b
q
l y lx
k k x y
Mx a
upeti rub
slobodno oslonjeni rub
a
k x
q
ly
Mx a
Shema 6
lx
b
k y k k x y
My b
My
Mx
My b
q
Mx a
a
k x
q
b
k y
0.50 0.0045 0.0550 -0.0203 -0.1135 0.0024 0.0405 -0.0143 -0.0833
0.55 0.0062 0.0514 -0.0247 -0.1078 0.0033 0.0394 -0.0172 -0.0817
0.60 0.0081 0.0476 -0.0291 -0.1021 0.0046 0.0378 -0.0206 -0.0794
0.65 0.0101 0.0436 -0.0336 -0.0964 0.0061 0.0360 -0.0242 -0.0767
0.70 0.0122 0.0398 -0.0381 -0.0906 0.0079 0.0339 -0.0280 -0.0737
0.75 0.0145 0.0359 -0.0427 -0.0845 0.0098 0.0315 -0.0320 -0.0704
0.80 0.0169 0.0323 -0.0471 -0.0781 0.0103 0.0293 -0.0360 -0.0668
0.85 0.0191 0.0289 -0.0513 -0.0720 0.0139 0.0269 -0.0400 -0.0631
0.90 0.0211 0.0257 -0.0551 -0.0661 0.0160 0.0247 -0.0440 -0.0593
0.95 0.0232 0.0228 -0.0586 -0.0603 0.0181 0.0224 -0.0480 -0.0554
1.00 0.0252 0.0202 -0.0617 -0.0546 0.0202 0.0202 -0.0515 -0.0515
1.10 0.0287 0.0158 -0.0676 -0.0467 0.0242 0.0164 -0.0585 -0.0449
1.20 0.0316 0.0123 -0.0722 -0.0399 0.0287 0.0131 -0.0643 -0.0388
1.30 0.0340 0.0096 -0.0757 -0.0341 0.0306 0.0105 -0.0690 -0.0336
1.40 0.0359 0.0075 -0.0782 -0.0293 0.0332 0.0084 -0.0728 -0.0291
1.50 0.0374 0.0060 -0.0800 -0.0254 0.0353 0.0066 -0.0757 -0.0254
1.60 0.0386 0.0048 -0.0814 -0.0221 0.0369 0.0053 -0.0779 -0.0223
1.70 0.0395 0.0039 -0.0825 -0.0193 0.0383 0.0042 -0.0797 -0.0198
1.80 0.0402 0.0031 -0.0834 -0.0171 0.0392 0.0035 -0.0812 -0.0176
1.90 0.0408 0.0026 -0.0842 -0.0154 0.0399 0.0028 -0.0824 -0.0158
2.00 0.0412 0.0022 -0.0847 -0.0141 0.0405 0.0024 -0.0833 -0.0143
Množ.
2
q⋅ lx
2 2 q⋅ ly
q⋅ lx
2 2 q⋅ ly
q⋅ lx
2 2 q⋅ ly
q⋅ lx
2
q⋅
ly

Prilog 4: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka
ν
0.10
ω=0.05
B 500
α =
β =
0.15
A
d
0.35
0.30
0.25
0.20
1
s2
h
A
=
s1
d
2
0.45
0.40
=
1.
0
h
0.50
=
0.
05
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
ν
µ
A
sd
sd
s1
Nsd
=
bh
f
M
=
bh
= A
sd
2
fcd
s2
cd
f
= ωb
h
f
cd
yd
Msd
Nsd
b
As1
As1
d 2
d
h
d 1
µ

Prilog 5: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka
ν
0.10
ω=0.05
B 500
α =
β =
0.15
d
0.35
0.30
0.25
0.20
A
1
s2
h
A
=
s1
d
0.45
0.40
2
=
h
0.50
1.
0
=
0.
075
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
ν
µ
A
sd
sd
s1
Nsd
=
bh
f
M
=
bh
= A
sd
2
fcd
s2
cd
f
= ωb
h
f
cd
yd
Msd
Nsd
b
As1
As1
d 2
d
h
d 1
µ

Prilog 6: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka
ν
0.10
ω=0.05
0.15
B 500
α =
β =
0.35
0.30
0.25
0.20
A
d
1
s2
h
A
=
0.45
0.40
s1
d
2
=
0.50
1.
0
h
=
0.
10
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
ν
µ
A
sd
sd
s1
Nsd
=
bh
f
M
=
bh
= A
sd
2
fcd
s2
cd
f
= ωb
h
f
cd
yd
Msd
Nsd
b
As1
As1
d 2
d
h
d 1
µ

Prilog 7: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka
ν
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
ω=0.05
B 500
ϕ = r r = 0.85
s
Nsd
ν
µ
A
sd
sd
c
Msd
Nsd
=
A f
r
A s
cd
Msd
=
A r f
=
c
c
2
π
rs
r
cd
f
As1 = As2
= ω Ac
f
cd
yd
µ

Prilog 8: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka
ν
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
ω=0.05
B 500
ϕ = r r = 0.90
s
Nsd
ν
µ
A
sd
sd
c
Msd
Nsd
=
A f
r
A s
cd
Msd
=
A r f
=
c
c
2
π
rs
r
cd
f
As1 = As2
= ω Ac
f
cd
yd
µ

Prilog 9: Dijagram za dimenzioniranje pravokutnih presjeka na koso savijanje – armatura simetrično
raspoređena u kutovima

Prilog 10: Dijagram za dimenzioniranje pravokutnih presjeka na koso savijanje – armatura simetrično
raspoređena po stranicama

Prilog 11: Armaturne tablice
Promjer Masa TABLICA ŠIPKASTE ARMATURE
∅
površina presjeka As [cm2] Promjer
za komada:
∅
[mm] [kg/m] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [mm]
5 0.154 0.20 0.39 0.59 0.79 0.98 1.18 1.37 1.57 1.77 1.96 2.16 2.36 2.55 2.75 2.95 5
6 0.222 0.28 0.57 0.85 1.13 1.41 1.70 1.98 2.26 2.54 2.83 3.11 3.39 3.68 3.96 4.24 6
7 0.302 0.38 0.77 1.15 1.54 1.92 2.31 2.69 3.08 3.46 3.85 4.23 4.62 5.00 5.39 5.77 7
8 0.395 0.50 1.01 1.51 2.01 2.51 3.02 3.52 4.02 4.52 5.03 5.53 6.03 6.53 7.04 7.54 8
10 0.617 0.79 1.57 2.36 3.14 3.93 4.71 5.50 6.28 7.07 7.85 8.64 9.42 10.21 11.00 11.78 10
12 0.888 1.13 2.26 3.39 4.52 5.65 6.79 7.92 9.05 10.18 11.31 12.44 13.57 14.70 15.83 16.96 12
14 1.208 1.54 3.08 4.62 6.16 7.70 9.24 10.78 12.32 13.85 15.39 16.93 18.47 20.01 21.55 23.09 14
16 1.578 2.01 4.02 6.03 8.04 10.05 12.06 14.07 16.08 18.10 20.11 22.12 24.13 26.14 28.15 30.16 16
18 1.998 2.54 5.09 7.63 10.18 12.72 15.27 17.81 20.36 22.90 25.45 27.99 30.54 33.08 35.63 38.17 18
20 2.466 3.14 6.28 9.42 12.57 15.71 18.85 21.99 25.13 28.27 31.42 34.56 37.70 40.84 43.98 47.12 20
22 2.984 3.80 7.60 11.40 15.21 19.01 22.81 26.61 30.41 34.21 38.01 41.81 45.62 49.42 53.22 57.02 22
25 3.853 4.91 9.82 14.73 19.63 24.54 29.45 34.36 39.27 44.18 49.09 54.00 58.90 63.81 68.72 73.63 25
28 4.834 6.16 12.32 18.47 24.63 30.79 36.95 43.10 49.26 55.42 61.58 67.73 73.89 80.05 86.21 92.36 28
30 5.549 7.07 14.14 21.21 28.27 35.34 42.41 49.48 56.55 63.62 70.69 77.75 84.82 91.89 98.96 106.03 30
32 6.313 8.04 16.08 24.13 32.17 40.21 48.25 56.30 64.34 72.38 80.42 88.47 96.51 104.55 112.59 120.64 32
36 7.990 10.18 20.36 30.54 40.72 50.89 61.07 71.25 81.43 91.61 101.79 111.97 122.15 132.32 142.50 152.68 36
40 9.865 12.57 25.13 37.70 50.27 62.83 75.40 87.96 100.53 113.10 125.66 138.23 150.80 163.36 175.93 188.50 40
UZDUŽNO NOSIVE MREŽE “R-mreže”
Profil šipki
[mm]
Razmak
[mm]
Površina
[cm2/m] Tip
mreže
Uzd. Pop. Uzd. Pop. Uzd. Pop.
Dimenzije
[cm]
Duž. Šir.
Masa
[kg/m2] R 131 5.0 4.2 150 250 1.31 0.56 600 215 1.50
R 139 4.2 4.2 100 250 1.39 0.56 600 215 1.55
R 166 4.6 4.2 100 250 1.66 0.56 600 215 1.76
R 188 6.0 4.2 150 250 1.88 0.56 600 215 1.96
R 196 5.0 4.2 100 250 1.96 0.56 600 215 2.00
R 257 7.0 5.0 150 250 2.57 0.78 600 215 2.72
R 283 6.0 4.6 100 250 2.83 0.66 600 215 2.77
R 335 8.0 5.0 150 250 3.35 0.78 600 215 3.33
R 385 7.0 5.0 100 250 3.85 0.78 600 215 3.68
R 424 9.0 6.0 150 250 4.24 1.13 600 215 4.34
R 503 8.0 6.0 100 250 5.03 1.13 600 215 4.89
R 524 10.0 6.0 150 250 5.24 1.13 600 215 5.15
R 636 9.0 6.0 100 250 6.36 1.13 600 215 5.95
R 785 10.0 6.0 100 250 7.85 1.13 600 215 7.35
OBOSTRANO NOSIVE MREŽE “Q-mreže”
Tip
mreže
Profil Razmak
[mm] [mm]
Uzd. i Pop. Uzd. i Pop.
Površina
[cm2/m] Dimenzije
[cm]
Dužina Širina
Masa
[kg/m2] Q 131 5.0 150 1.31 600 215 2.12
Q 139 4.2 100 1.39 600 215 2.20
Q 166 4.6 100 1.66 600 215 2.64
Q 188 6.0 150 1.88 600 215 3.06
Q 196 5.0 100 1.96 600 215 3.07
Q 226 6.0 125 2.26 600 215 3.63
Q 257 7.0 150 2.57 600 215 4.16
Q 283 6.0 100 2.83 600 215 4.48
Q 335 8.0 150 3.35 600 215 5.45
Q 385 7.0 100 3.85 600 215 6.10
Q 424 9.0 150 4.24 600 215 6.81
Q 503 8.0 100 5.03 600 215 8.03
Q 636 9.0 100 6.36 600 215 10.08
Q 785 10.0 100 7.85 600 215 12.46
POPREČNO NOSIVE MREŽE “T-mreže”
Profil šipki
[mm]
Razmak
[mm]
Površina
[cm2/m] Tip
mreže
Uzd. Pop. Uzd. Pop. Uzd. Pop.
Dimenzije
[cm]
Duž. Šir.
Masa
[kg/m2] T 257 5.0 7.0 250 150 1.31 0.56 240 600 2.72
T 378 5.0 8.5 250 150 3.85 0.78 240 600 3.62
T 524 6.0 10.0 250 150 7.85 1.13 240 600 5.15
215
215
240
OBOSTRANO NOSIVE "Q-mreže"
600
UZDUŽNO NOSIVE "R-mreže"
600
POPRECNO NOSIVE "T-mreže"
600