1. PROJICIRANJE - Pmf

3. Perspektivna kolineacija i afinost 10
Tada je i pravac pridruˇzen toj spojnici paralelan s osi o. Točka X je presjek
zrake SX i paralele sa osi o točkom A. ✷
U skladu s prethodnim teoremom, kolineaciju ćemo obično zadavati njezinim
srediˇstem, osi i parom pridruˇzenih točaka i zapisivat ćemo ovako: (o, S : A, A).
Sljedeći nam teorem opisuje jednu invarijantu kolineacije.
Teorem 2.2. Dvoomjer (XX; SK) ˇsto ga tvori bilo koji par pridruˇzenih točaka
X i X sa srediˇstem S kolineacije i sjeciˇstem K zrake kolineacije SX sa osi o je
konstantan.
Podsjetimo se da se dvoomjer četiriju kolinearnih točaka definira kao:
(AB; CD)= |CA| |DA|
: , gdje je |AB| oznaka za ”orjentiranu” duljinu duˇzine AB.
|CB| |DB|
(vidi Palman: Trokut i kruˇznica).
Ta se konstanta označava s k i naziva karakteristična konstanta perspektivne
kolineacije.
Dokaz. Neka je točka O bilo koja točka osi o različita od K. Dokazat ćemo
da je dvoomjer (XX; SK) jednak dvoomjeru četvorke pravaca koji prolaze točkom
O, tj. da je (XX; SK) = (OX, OX; OS, OK). Uvedimo oznake: SOX = α,
KOX = β, KOX = γ.
Izrazimo povrˇsinu trokuta SOX na dva načina:
P (SOX)= 1
1
|OX|·|SO| sin α =
2 2 |SX|·v,
gdje je v duljina visine iz točke O na stranicu SX.
Analogno je
P (SOX) = 1
|OX|·|SO| sin(α + β + γ) =1
2 2 |SX|·v,