1. PROJICIRANJE - Pmf

3. Perspektivna kolineacija i afinost 9
2) Svaka zraka kolineacije pridruˇzena je sama sebi. Ona je fiksni pravac kolineacije,
ali ne po točkama. Jedine fiksne točke na zraci kolineacije su srediˇste S i
presjek zrake i osi.
Teorem 2.1. Perspektivna kolineacija je jednoznačno odredena, ako je zadana njezina
os o, njezino srediˇste S i jedan par pridruˇzenih točaka A, A, s tim da ni jedna
točka tog para ne leˇzi na osi o, niti je njihova spojnica paralelna sa osi o.
Dokaz. Za proizvoljnu točku X ravnine konstruirajmo njezinu sliku X.
a) Razmotrit ćemo prvo slučaj kad je točka X van pravca AS i kad spojnica
AX nije paralelna s osi o. Povucimo spojnicu SX. To je zraka kolineacije i točka
X nalazi se na njoj. Nadalje povucimo spojnicu p = AX. Toj je spojnici pridruˇzen
pravac p koji prema prvom svojstvu kolineacije sadrˇzi i točku A i točku X. Ujedno
pravci p i p sijeku se na osi o u fiksnoj točki Q. Dakle, p = QA. Točka X je presjek
pravca p i zrake SX.
b) Ako je točka X na zraci AS, tada odaberimo točku Y koja ne pripada zraci
AS i čija spojnica sa A nije paralelna s osi. Postupkom opisanom u prethodnom
slučaju konstruiramo točku Y . Sad u toj kolineaciji imamo joˇs jedan par pridruˇzenih
točaka Y,Y i točku X konstruiramo koristeći taj par, a ne par točaka A, A.
c) I razmotrimo joˇs i slučaj kad je spojnica AX paralelna s osi o.