1. PROJICIRANJE - Pmf

1 Projiciranje 4
Aksiomi uredaja
A7. Na svakom pravcu ravnine postoje točno dva medusobno suprotna linearna
uredaja.
A8. Paschov aksiom. Neka su pravac i trokut u jednoj ravnini. Ako pravac
siječe jednu stranicu trokuta i ne prolazi niti jednim vrhom na toj stranici, onda on
siječe bar joˇs jednu stranicu.
Aksiomi metrike
A9. Postoji funkcija d : E × E → R takva da je
a) d(A, B) ≥ 0, ∀A, B ∈ E, d(A, B) = 0 akko A = B,
b) d(A, B) =d(B,A), ∀A, B ∈ E,
c) d(A, B) ≤ d(A, C)+d(C, B), ∀A, B, C ∈ E.
Aksiomi simetrije
A10. Za svaki pravac p jedne ravnine π postoji jedinstvena izometrija sp : π →
π različita od identitete, za koju je sp(T )=T za svaku točku T pravca p.
A11. Za svaki par (Ox, Oy) polupravaca jedne ravnine π s vrhom u O postoji
bar jedan pravac p ⊂ π takav da je sp(Ox) =Oy.
Aksiom o paralelama
A12. Neka točka T i pravac p leˇze u jednoj ravnini, T /∈ p. U toj ravnini
postoji najviˇse jedan pravac q paralelan s p.
Da bismo pojednostavnili neke formulacije uvodimo joˇs i tzv. neprave elemente.
Točkama jednog pravca dodajemo joˇs jednu točku tzv. nepravu ili
beskonačno daleku točku tog pravca, a koju definiramo kao točku u kojoj se sijeku
svi pravci paralelni s njime. Sve neprave točke pravaca jedne ravnine i samo one,
čine jedan pravac koji nazivamo nepravi ili beskonačno daleki pravac te ravnine.
Nacrtna geometrija svodi konstruktivne probleme prostora na konstruktivne
probleme ravnine. Da bi se to postiglo, potrebno je prostornu figuru preslikati u
ravninsku figuru. Ovakva preslikavanja nazivamo projiciranja prostora na ravninu.
Definicija 1.1. Neka je π ravnina prostora E, te neka je S neka čvrsta točka tog
prostora koja ne pripada ravnini π. Centralno projiciranje na ravninu π sa
srediˇstem S je preslikavanje koje svakoj točki A, A = S, prostora pridruˇzuje probodiˇste
pravca AS i ravnine π.