1. PROJICIRANJE - Pmf

1 Projiciranje 3
prikazao postupke tehničkog crtanja sistematično, generalizirano i s jednoznačnim
objaˇsnjenima. Naime, i prije su se u gradevinarstvu i arhitekturi koristila znanja
nacrtne geometrije, ali su bila specijalizirana, prilagodena svakoj struci i svakom
problemu posebno i nije se uočavala ideja koja bi objedinila sve te metode. To je
prvi put napravio G. Monge, a zbog izuzetnog značaja, njegove metode proglaˇsene
su vojnom tajnom, a predavanja koja je drˇzao na pariˇskoj École Normale smjela su
biti objavljena tek godinama kasnije.
Nacrtna je geometrija pruˇzila prirodne osnove i pomoć za razvoj nekih grana
matematike kao ˇsto su afina i projektivna geometrija, fotogrametrija, kartografija,
nomografija. Osim toga, ideja preslikavanja najprije je uzeta iz nacrtne geometrije
i proˇsirila se u sve grane matematike i drugih znanosti.
1.2. Projiciranje
Opiˇsimo prostor u kojemu ćemo rjeˇsavati probleme nacrtne geometrije. Radi
se o trodimenzionalnom, intuitivno poimanom prostoru, tzv. euklidskom prostoru.
Aksiomatsko zasnivanje tog prostora opisano je u knjigama Elementarna matematika
I i II, ([6], [7]). U njemu postoje tri vrste osnovnih objekata koji se ne definiraju:
točke, pravci i ravnine. Kao ˇsto je uobičajeno, točke ćemo označavati velikim
latinskim slovima, pravce malim latinskim slovima, a ravnine malim grčkim slovima.
Dogovorno ćemo pravce i ravnine smatrati skupovima točaka koje su incidentne s
njima, iako bi točnije bilo govoriti o nizu točaka pravca ili o polju točaka ravnine.
Svojstva osnovnih objekata prostora E dana su aksiomima.
Aksiomi incidencije (pripadanja)
A1. Za svake dvije različite točke prostora postoji jedinstveni pravac kojemu
one pripadaju.
A2. Svakom pravcu pripadaju barem tri različite točke.
A3. U svakoj ravnini postoje tri točke koje ne pripadaju jednom pravcu.
A4. Za svaku ravninu prostora postoje točke koje joj pripadaju i koje joj ne
pripadaju.
A5. Ako dvije različite ravnine imaju zajedničku točku, onda one imaju zajednički
i čitav pravac koji nazivamo presječnica ravnina.
A6. Ako dva različita pravca imaju zajedničku točku, onda postoji jedna i
samo jedna ravnina koja sadrˇzi te pravce.