1. PROJICIRANJE - Pmf

3. Perspektivna kolineacija i afinost 17
Korolar 2.1. Poloviˇste duˇzine preslikava se u poloviˇste slike te duˇzine.
Dakle, perspektivna afinost čuva paralelnost i djeliˇsni omjer, no ne čuva udaljenost
točaka niti mjeru kutova.
Teorem 2.7. U danom skupu pravih kutova s vrhom u točki P , P /∈ o, postoji
uvijek jedan pravi kut koji se danom perspektivnom afinoˇsću preslikava u pravi kut.
Dokaz. Neka je P slika točke P . Proanalizirajmo zadatak, tj. pretpostavimo
da je zadatak rijeˇsen i da su a, b zrake pravog kuta koji se preslikava u pravi kut
aP b.
Tada se pravci a i a, te pravci b i b sijeku u točkama A i B na osi o. Prema
obratu Talesovog teorema o obodnom kutu nad promjerom slijedi da su točke P , P ,
A i B točke jedne kruˇznice promjera AB. Srediˇste S te kruˇznice je sjeciˇste simetrale
duˇzine P P i osi o. Time je analiza gotova. Konstrukcija teče ovako: konstruiramo
afinu sliku točke P i simetralu duˇzine P P . Sjeciˇste te simetrale i osi o je točka S.
Opiˇsemo kruˇznicu srediˇsta S i polumjera |SP|. Presjek te kruˇznice i osi o su točke
A i B. Traˇzeni pravi kut kojemu je slika takoder pravi kut je kut AP B.
Ova je konstrukcija izvediva uvijek osim kad su zrake afinosti okomite na os.
No tada je jedan krak takvih pravih kutova paralelan s osi, dok je drugi okomit na
os. ✷
Primjer 2.3. U danoj perspektivnoj afinosti (o : A, A) konstruirajmo sliku kvadrata
ABCD. Točke A i A neka su s različitih strana osi.
Slika kvadrata je četverokut A B C D dobiven preslikavanjem vrhova A,B,C,D.
Taj je četverokut paralelogram, jer zbog čuvanja djeliˇsnog omjera, dijagonale slike
se raspolavljaju, jer se i dijagonale kvadrata raspolavljaju.