1. PROJICIRANJE - Pmf
1. PROJICIRANJE - Pmf 1. PROJICIRANJE - Pmf
3. Perspektivna kolineacija i afinost 15 U skladu s prethodnim teoremom, afinost zadajemo njezinom osi i parom pridruˇzenih točaka i zapisujemo ovako: (o : A, A). Sljedeći nam teorem opisuje jednu invarijantu afinosti. Teorem 2.4. Paru paralelnih pravaca a i b u perspektivnoj afinosti pridruˇzen je par paralelnih pravaca. Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. da se pravci a i b sijeku u točki T . Zbog bijektivnosti ta točka ima svoju prasliku T koja zbog svojstva čuvanja incidencije pripada pravcima a i b. Time smo doˇsli u kontradikciju s pretpostavkom da su pravci a i b paralelni. ✷ Teorem 2.5. Djeliˇsni omjer (XX; K) ˇsto ga tvori bilo koji par pridruˇzenih točaka X i X sa sjeciˇstem K zrake afinosti XX s osi o je konstantan. Djeliˇsni omjer (XX; K) je omjer |XK| , gdje su XK i XK orjentirane duˇzine. |XK| Ta se konstanta označava s k i naziva karakteristična konstanta perspektivne afinosti. Dokaz. Neka je Y,Y par pridruˇzenih točaka različit od para X, X takav da pravac XY nije paralelan sa osi. Tada se pravci XY i X Y sijeku u točki F na osi. Zbog paralelnosti zraka afinosti trokuti XKF i YLF su slični, gdje je L presjek pravca Y Y i osi. Iz te sličnosti slijedi |XK| |YL| = |KF| |LF | .
3. Perspektivna kolineacija i afinost 16 I trokuti XKF i YLF su slični, pa vrijedi No sad je |XK| |YL| |XK| |YL| = |KF| |LF | . = |XK| |YL| , tj. |XK| |YL| = |XK| |YL| . Dakle, djeliˇsni omjer ne ovisi o izboru točke Y , tj. stalan je. ✷ Prethodni je teorem analogon odgovarajućeg teorema za kolineaciju. No, za afinost vrijedi i neˇsto bolji teorem. Naime, u afinosti je djeliˇsni omjer bilo koje tri kolinearne točke invarijanta afinosti. Teorem 2.6. Djeliˇsni omjer triju kolinearnih točaka je invarijanta afinosti. Dokaz. Neka su A, B, C tri različite kolinearne točke. Trebamo pokazati da je |AC| |BC| = |A C| |B C| . Označimo s p pravac AB, asp njegovu sliku. Točkom B povucimo pravac q paralelan s pravcem p, a sjeciˇsta pravca q sa zrakama afinosti AA i CC označimo redom s K i L. Zrake afinosti su medusobno paralelne pa iz sličnosti trokuta slijedi |A C| |KM| = |B C| |MB| = |AC| |BC| , ˇsto je i trebalo dokazati. ✷ Neposredna posljedica ovog teorema je sljedeći korolar.
- Page 1 and 2: 1. PROJICIRANJE 1.1. Uvod Nacrtna g
- Page 3 and 4: 1 Projiciranje 4 Aksiomi uredaja A7
- Page 5 and 6: 1 Projiciranje 6 tog prostora koji
- Page 7 and 8: 2. PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA I AFINO
- Page 9 and 10: 3. Perspektivna kolineacija i afino
- Page 11 and 12: 3. Perspektivna kolineacija i afino
- Page 13: 3. Perspektivna kolineacija i afino
- Page 17: 3. Perspektivna kolineacija i afino
3. Perspektivna kolineacija i afinost 16<br />
I trokuti XKF i YLF su slični, pa vrijedi<br />
No sad je<br />
|XK|<br />
|YL|<br />
|XK|<br />
|YL|<br />
= |KF|<br />
|LF | .<br />
= |XK|<br />
|YL| ,<br />
tj.<br />
|XK| |YL|<br />
=<br />
|XK| |YL| .<br />
Dakle, djeliˇsni omjer ne ovisi o izboru točke Y , tj. stalan je. ✷<br />
Prethodni je teorem analogon odgovarajućeg teorema za kolineaciju. No, za<br />
afinost vrijedi i neˇsto bolji teorem. Naime, u afinosti je djeliˇsni omjer bilo koje tri<br />
kolinearne točke invarijanta afinosti.<br />
Teorem 2.6. Djeliˇsni omjer triju kolinearnih točaka je invarijanta afinosti.<br />
Dokaz. Neka su A, B, C tri različite kolinearne točke. Trebamo pokazati da je<br />
|AC|<br />
|BC|<br />
= |A C|<br />
|B C| .<br />
Označimo s p pravac AB, asp njegovu sliku. Točkom B povucimo pravac q<br />
paralelan s pravcem p, a sjeciˇsta pravca q sa zrakama afinosti AA i CC označimo<br />
redom s K i L. Zrake afinosti su medusobno paralelne pa iz sličnosti trokuta slijedi<br />
|A C| |KM|<br />
=<br />
|B C| |MB|<br />
= |AC|<br />
|BC| ,<br />
ˇsto je i trebalo dokazati. ✷<br />
Neposredna posljedica ovog teorema je sljedeći korolar.
Change language