1. PROJICIRANJE - Pmf

3. Perspektivna kolineacija i afinost 15
U skladu s prethodnim teoremom, afinost zadajemo njezinom osi i parom
pridruˇzenih točaka i zapisujemo ovako: (o : A, A).
Sljedeći nam teorem opisuje jednu invarijantu afinosti.
Teorem 2.4. Paru paralelnih pravaca a i b u perspektivnoj afinosti pridruˇzen je par
paralelnih pravaca.
Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. da se pravci a i b sijeku u točki T . Zbog
bijektivnosti ta točka ima svoju prasliku T koja zbog svojstva čuvanja incidencije
pripada pravcima a i b. Time smo doˇsli u kontradikciju s pretpostavkom da su
pravci a i b paralelni. ✷
Teorem 2.5. Djeliˇsni omjer (XX; K) ˇsto ga tvori bilo koji par pridruˇzenih točaka
X i X sa sjeciˇstem K zrake afinosti XX s osi o je konstantan.
Djeliˇsni omjer (XX; K) je omjer |XK|
, gdje su XK i XK orjentirane duˇzine.
|XK|
Ta se konstanta označava s k i naziva karakteristična konstanta perspektivne
afinosti.
Dokaz. Neka je Y,Y par pridruˇzenih točaka različit od para X, X takav da
pravac XY nije paralelan sa osi. Tada se pravci XY i X Y sijeku u točki F na osi.
Zbog paralelnosti zraka afinosti trokuti XKF i YLF su slični, gdje je L presjek
pravca Y Y i osi. Iz te sličnosti slijedi
|XK|
|YL|
= |KF|
|LF | .