1. PROJICIRANJE - Pmf

1. PROJICIRANJE 

1.1. Uvod 

Nacrtna geometrija je znanost o egzaktnim metodama koje omogućuju 

prikazivanje prostornih, trodimenzionalnih objekata na nekoj dvodimenzionalnoj 

ravnini i rjeˇsavanje prostornih problema u ravnini konstruktivno-geometrijskim 

putem. 

Dakle, metodama nacrtne geometrije prikazujemo trodimenzionalni objekt 

crteˇzom u ravnini (list papira) tako da taj crteˇz kod promatrača budi ˇsto točniju predodˇzbu 

o tom prostornom objektu. Radi se o dvosmjernom procesu: s jedne strane 

izgled prostornog predmeta prenosimo u dvodimenzionalni crteˇz, a s druge strane, 

iz promatranja dvodimenzionalnog crteˇza stvaramo si trodimenzionalnu predodˇzbu 

predmeta. 

Nastala je iz potpuno praktičnih potreba, prije svega tehnike (brodogradnja, 

gradevinarstvo, strojarstvo), astronomije (projiciranje prirodnih nebeskih tijela), 

geografije (kartografija), arhitekture i slikarstva (perspektiva). 

Kroz povijest, ljudi su pokuˇsavali predmete iz okoline prikazivati u obliku 

crteˇza. Dio tih crteˇza nastao je kao izraz estetsko-umjetničke potrebe iz kojih se 

kasnije razvila likovna umjetnost, no s razvojem graditeljstva pojavljuju se crteˇzi 

koji sluˇze kao praktična pomoć. Prve ideje nacrtne geometrije mogu se naći već u 

Starom Egiptu. Prva pisana rasprava o idejama nacrtne geometrije je Vitruvijeva 

”De architectura” (oko 25 g. pr. Krista) (Marcus Vitruvius Pollio, graditelj Julija 

Cezara). Tlocrt samostana u St. Gallenu iz 9. st. je najstariji sačuvani tlocrt. 

Tehničke crteˇze moˇzemo pratiti kroz stoljeća, ali nedostaju upute kako su izradivani. 

Ideje perspektive prvi je u svojoj knjiˇzici opisao njemački slikar Albrecht Dürer 

(1471.-1528.). 

Znanstveni temelj nacrtne geometrije dao je francuski matematičar i fizičar 

Gaspard Monge (1746.-1818.) [čitamo: monˇz] u djelu ”Géométrie descriptive” 

(1795.ili 1798. - u izvorima različite godine). U tom je djelu Monge objedinio i

1 Projiciranje 3 

prikazao postupke tehničkog crtanja sistematično, generalizirano i s jednoznačnim 

objaˇsnjenima. Naime, i prije su se u gradevinarstvu i arhitekturi koristila znanja 

nacrtne geometrije, ali su bila specijalizirana, prilagodena svakoj struci i svakom 

problemu posebno i nije se uočavala ideja koja bi objedinila sve te metode. To je 

prvi put napravio G. Monge, a zbog izuzetnog značaja, njegove metode proglaˇsene 

su vojnom tajnom, a predavanja koja je drˇzao na pariˇskoj École Normale smjela su 

biti objavljena tek godinama kasnije. 

Nacrtna je geometrija pruˇzila prirodne osnove i pomoć za razvoj nekih grana 

matematike kao ˇsto su afina i projektivna geometrija, fotogrametrija, kartografija, 

nomografija. Osim toga, ideja preslikavanja najprije je uzeta iz nacrtne geometrije 

i proˇsirila se u sve grane matematike i drugih znanosti. 

1.2. Projiciranje 

Opiˇsimo prostor u kojemu ćemo rjeˇsavati probleme nacrtne geometrije. Radi 

se o trodimenzionalnom, intuitivno poimanom prostoru, tzv. euklidskom prostoru. 

Aksiomatsko zasnivanje tog prostora opisano je u knjigama Elementarna matematika 

I i II, ([6], [7]). U njemu postoje tri vrste osnovnih objekata koji se ne definiraju: 

točke, pravci i ravnine. Kao ˇsto je uobičajeno, točke ćemo označavati velikim 

latinskim slovima, pravce malim latinskim slovima, a ravnine malim grčkim slovima. 

Dogovorno ćemo pravce i ravnine smatrati skupovima točaka koje su incidentne s 

njima, iako bi točnije bilo govoriti o nizu točaka pravca ili o polju točaka ravnine. 

Svojstva osnovnih objekata prostora E dana su aksiomima. 

Aksiomi incidencije (pripadanja) 

A1. Za svake dvije različite točke prostora postoji jedinstveni pravac kojemu 

one pripadaju. 

A2. Svakom pravcu pripadaju barem tri različite točke. 

A3. U svakoj ravnini postoje tri točke koje ne pripadaju jednom pravcu. 

A4. Za svaku ravninu prostora postoje točke koje joj pripadaju i koje joj ne 

pripadaju. 

A5. Ako dvije različite ravnine imaju zajedničku točku, onda one imaju zajednički 

i čitav pravac koji nazivamo presječnica ravnina. 

A6. Ako dva različita pravca imaju zajedničku točku, onda postoji jedna i 

samo jedna ravnina koja sadrˇzi te pravce.


Aksiomi uredaja 

A7. Na svakom pravcu ravnine postoje točno dva medusobno suprotna linearna 

uredaja. 

A8. Paschov aksiom. Neka su pravac i trokut u jednoj ravnini. Ako pravac 

siječe jednu stranicu trokuta i ne prolazi niti jednim vrhom na toj stranici, onda on 

siječe bar joˇs jednu stranicu. 

Aksiomi metrike 

A9. Postoji funkcija d : E × E → R takva da je 

a) d(A, B) ≥ 0, ∀A, B ∈ E, d(A, B) = 0 akko A = B, 

b) d(A, B) =d(B,A), ∀A, B ∈ E, 

c) d(A, B) ≤ d(A, C)+d(C, B), ∀A, B, C ∈ E. 

Aksiomi simetrije 

A10. Za svaki pravac p jedne ravnine π postoji jedinstvena izometrija sp : π → 

π različita od identitete, za koju je sp(T )=T za svaku točku T pravca p. 

A11. Za svaki par (Ox, Oy) polupravaca jedne ravnine π s vrhom u O postoji 

bar jedan pravac p ⊂ π takav da je sp(Ox) =Oy. 

Aksiom o paralelama 

A12. Neka točka T i pravac p leˇze u jednoj ravnini, T /∈ p. U toj ravnini 

postoji najviˇse jedan pravac q paralelan s p. 

Da bismo pojednostavnili neke formulacije uvodimo joˇs i tzv. neprave elemente. 

Točkama jednog pravca dodajemo joˇs jednu točku tzv. nepravu ili 

beskonačno daleku točku tog pravca, a koju definiramo kao točku u kojoj se sijeku 

svi pravci paralelni s njime. Sve neprave točke pravaca jedne ravnine i samo one, 

čine jedan pravac koji nazivamo nepravi ili beskonačno daleki pravac te ravnine. 

Nacrtna geometrija svodi konstruktivne probleme prostora na konstruktivne 

probleme ravnine. Da bi se to postiglo, potrebno je prostornu figuru preslikati u 

ravninsku figuru. Ovakva preslikavanja nazivamo projiciranja prostora na ravninu. 

Definicija 1.1. Neka je π ravnina prostora E, te neka je S neka čvrsta točka tog 

prostora koja ne pripada ravnini π. Centralno projiciranje na ravninu π sa 

srediˇstem S je preslikavanje koje svakoj točki A, A = S, prostora pridruˇzuje probodiˇste 

pravca AS i ravnine π.


. 

Ravninu π nazivamo ravninom projekcije, točku S nazivamo srediˇstem 

projiciranja, pravce kroz srediˇste S nazivamo zrakama projiciranja, a slika neke 

figure naziva se projekcija. Neka je πv ravnina točkom S paralelna s ravninom 

projekcije. Slika prave točke A koja ne leˇzi u πv, po definiciji je jednaka točki u 

kojoj pravac AS probada ravninu π. Ako točka A leˇzi u ravnini πv, tada je pravac 

AS paralelan s ravninom π i njihov presjek je neprava točka pravca AS. 

Osnovna svojstva projiciranja su sljedeća: 

1. Projekcija pravca p koji ne prolazi točkom S je pravac p ′ u ravnini π. Restrikcija 

projiciranja s pravca p na pravac p ′ je bijekcija. Projekcija svake zrake 

projiciranja je probodiˇste te zrake i ravnine π. 

2. Projekcija ravnine τ koja ne sadrˇzi srediˇste S je ravnina π i ta je restrikcija 

bijektivna. Projekcija ravnine koja sadrˇzi srediˇste je presječnica te ravnine i 

ravnine π. 

Definicija 1.2. Neka je dana ravnina π prostora E, te neka je s neki čvrsti pravac


tog prostora koji nije paralelan s ravninom π. Paralelno projiciranje na ravninu 

π u smjeru s je preslikavanje koje svakoj točki A, prostora E pridruˇzuje probodiˇste 

pravca kroz A paralelnog sa s i ravnine π. 

Svi pravci prostora paralelni s pravcem s nazivaju se zrake projiciranja ili 

smjer projiciranja. Kod paralelnog projiciranja razlikujemo koso ili ortogonalno 

projiciranje. Kod ortogonalnog projiciranja kut zraka projekcije jednak je pravom 

kutu, a kod kosog projiciranja kut je manji. 

Proučimo malo podrobnije paralelno projiciranje, budući da će se glavne 

metode prikazivanja prostornih objekata opisane u ovom kolegiju upravo sastojati 

od dvaju ili viˇse ortogonalnih projiciranja. 

Bitna svojstva su ova: 

1. Pravci koji nisu paralelni sa smjerom projiciranja preslikavaju se u pravce, ali 

pravci koji su paralelni sa smjerom projiciranja preslikavaju se u jednu točku, 

tj. u svoje probodiˇste s ravninom π. 

2. Paralelnost pravaca je invarijanta paralelnog projiciranja. 

3. Duˇzine i kutovi, pa time i bilo koji ravninski likovi koji leˇze u ravnini paralelnoj 

s ravninom projekcije π, projiciraju se pri paralelnom projiciranju u sukladne 

likove.


4. Djeliˇsni omjer triju kolinearnih točaka je invarijanta paralelnog projiciranja. 

Poloviˇste duˇzine preslikava se u poloviˇste duˇzine.

2. PERSPEKTIVNA 

KOLINEACIJA I AFINOST 

2.1. Perspektivna kolineacija 

Definicija 2.1. Perspektivna kolineacija u ravnini je bijekcija skupa točaka i 

skupa pravaca na sebe koja zadovoljava ova svojstva: 

1. Čuva incidenciju, tj. ako točka A pripada pravcu p tada slika A točke A 

pripada slici p pravca p; 

2. Spojnice pridruˇzenih točaka prolaze jednom točkom S ravnine. Točka S 

je fiksna točka i nazivamo je srediˇstem kolineacije, a spojnice pridruˇzenih točaka 

zrakama kolineacije. 

3. Postoji točno jedan pravac o u ravnini kojega je svaka točka pridruˇzena 

sama sebi, tj. pravac o je fiksan po točkama. Pravac o nazivamo os kolineacije. 

Moguće je definirati i perspektivnu kolineaciju u prostoru. Tada imamo zadane 

dvije ravnine koje se sijeku i točku S koja ne pripada objema ravninama, a sama 

perspektivna kolineacija opisana je gornjim svojstvima. 

Navedimo neka očita svojstva perspektivne kolineacije. 

1) Svaki se par pridruˇzenih pravaca siječe u nekoj točki na osi kolineacije ili 

su oba pravca paralelni s njom. 

Obrazloˇzimo ovo svojstvo. Ako pravac p siječe os o, prema trećem definicijskom 

svojstvu kolineacije ta je točka fiksna, toj pridruˇzena sama sebi, a zbog čuvanja 

incidencije njome prolazi i pravac pridruˇzen pravcu p. 

Ako pravac p ne siječe os o, tada niti njegova slika ne siječe os o. Kad bi 

bilo suprotno točka u kojoj bi slika p sjekla os o bi bila fiksna i originalni pravac 

bi takoder prolazio njome, a to je u suprotnosti s pretpostavkom da je pravac p 

paralelan s osi.

3. Perspektivna kolineacija i afinost 9 

2) Svaka zraka kolineacije pridruˇzena je sama sebi. Ona je fiksni pravac kolineacije, 

ali ne po točkama. Jedine fiksne točke na zraci kolineacije su srediˇste S i 

presjek zrake i osi. 

Teorem 2.1. Perspektivna kolineacija je jednoznačno odredena, ako je zadana njezina 

os o, njezino srediˇste S i jedan par pridruˇzenih točaka A, A, s tim da ni jedna 

točka tog para ne leˇzi na osi o, niti je njihova spojnica paralelna sa osi o. 

Dokaz. Za proizvoljnu točku X ravnine konstruirajmo njezinu sliku X. 

a) Razmotrit ćemo prvo slučaj kad je točka X van pravca AS i kad spojnica 

AX nije paralelna s osi o. Povucimo spojnicu SX. To je zraka kolineacije i točka 

X nalazi se na njoj. Nadalje povucimo spojnicu p = AX. Toj je spojnici pridruˇzen 

pravac p koji prema prvom svojstvu kolineacije sadrˇzi i točku A i točku X. Ujedno 

pravci p i p sijeku se na osi o u fiksnoj točki Q. Dakle, p = QA. Točka X je presjek 

pravca p i zrake SX. 

b) Ako je točka X na zraci AS, tada odaberimo točku Y koja ne pripada zraci 

AS i čija spojnica sa A nije paralelna s osi. Postupkom opisanom u prethodnom 

slučaju konstruiramo točku Y . Sad u toj kolineaciji imamo joˇs jedan par pridruˇzenih 

točaka Y,Y i točku X konstruiramo koristeći taj par, a ne par točaka A, A. 

c) I razmotrimo joˇs i slučaj kad je spojnica AX paralelna s osi o.


Tada je i pravac pridruˇzen toj spojnici paralelan s osi o. Točka X je presjek 

zrake SX i paralele sa osi o točkom A. ✷ 

U skladu s prethodnim teoremom, kolineaciju ćemo obično zadavati njezinim 

srediˇstem, osi i parom pridruˇzenih točaka i zapisivat ćemo ovako: (o, S : A, A). 

Sljedeći nam teorem opisuje jednu invarijantu kolineacije. 

Teorem 2.2. Dvoomjer (XX; SK) ˇsto ga tvori bilo koji par pridruˇzenih točaka 

X i X sa srediˇstem S kolineacije i sjeciˇstem K zrake kolineacije SX sa osi o je 

konstantan. 

Podsjetimo se da se dvoomjer četiriju kolinearnih točaka definira kao: 

(AB; CD)= |CA| |DA| 

: , gdje je |AB| oznaka za ”orjentiranu” duljinu duˇzine AB. 

|CB| |DB| 

(vidi Palman: Trokut i kruˇznica). 

Ta se konstanta označava s k i naziva karakteristična konstanta perspektivne 

kolineacije. 

Dokaz. Neka je točka O bilo koja točka osi o različita od K. Dokazat ćemo 

da je dvoomjer (XX; SK) jednak dvoomjeru četvorke pravaca koji prolaze točkom 

O, tj. da je (XX; SK) = (OX, OX; OS, OK). Uvedimo oznake: SOX = α, 

KOX = β, KOX = γ. 

Izrazimo povrˇsinu trokuta SOX na dva načina: 

P (SOX)= 1 

1 

|OX|·|SO| sin α = 

2 2 |SX|·v, 

gdje je v duljina visine iz točke O na stranicu SX. 

Analogno je 

P (SOX) = 1 

|OX|·|SO| sin(α + β + γ) =1 

2 2 |SX|·v,


P (KOX)= 1 

1 

|OX|·|KO| sin β = 

2 2 |KX|·v, 

P (KOX) = 1 

1 

|OX|·|KO| sin γ = 

2 2 |KX|·v. 

Iz prve dvije jednakosti dobivamo 

a iz druge dvije jednakosti 

tj. 

ˇsto je upravo 

|SX| 

|SX| = 

|SX| |KX| 

: 

|SX| |KX| = 

|OX| sin α 

|OX| sin(α + β + γ) , 

|KX| |OX| sin β 

= 

|KX| |OX| sin(γ) , 

sin α sin β 

: 

sin(α + β + γ) sin(γ) 

(XX; SK)=(OX, OX; OS, OK). 

✷ 

Kod perspektivne je kolineacije zanimljivo promatrati sliku i prasliku beskonačno 

dalekog pravca n. Inače, beskonačno daleki pravac tvore sve beskonačno daleke 

točke i samo one. Sliku beskonačno dalekog pravca označavamo s n i nazivamo nedogledni 

ili ubjeˇzni pravac. On je paralelan s osi jer na njemu leˇzi i beskonačno 

daleka točka osi. 

Praslika pravca n, tj. pravac m koji se preslikava u beskonačno daleki pravac 

n naziva se izbjeˇzni pravac. 

Dakle, imamo ovakvo pridruˇzivanje 

m ↦→ n ↦→ n. 

Primjer 2.1. U danoj perspektivnoj kolineaciji (o, S; A, A) konstruirajmo izbjeˇzni i 

ubjeˇzni pravac.


a) Konstrukcija izbjeˇznog pravca m. 

i) Neka je A ↦→ A i X ↦→ X. 

ii) Točkom X povucimo pravac d paralelan s pravcem SA = a = a. Budući da 

su a i d paralelni, sijeku se u nepravoj točki, a sve neprave točke pripadaju nepravom 

pravcu n. d ∩ o = F i znamo da je a = a. 

iii) Praslika d pravca d je XF. Naime, d = XF, pa je praslika d = XF. 

iv) Presjek pravca d i a je točka V koja leˇzi na izbjeˇznom pravcu m. Naime, 

d ∩ a ∈ n = m, stoga ta incidencija vrijedi i za njihove praslike, tj. d ∩ a ∈ m, auz 

oznaku d ∩ a = V imamo da V ∈ m. 

v) Paralela kroz V s osi o je izbjeˇzni pravac m. 

b) Konstrukcija ubjeˇznog pravca n. 

i) Neka je A ↦→ A i X ↦→ X. 

ii) Točkom A povucimo pravac c paralelan s pravcem SX = b. Budući da su 

c i b paralelni, sijeku se u nepravoj točki, a sve neprave točke pripadaju nepravom 

pravcu n. c ∩ o = F i znamo da je b = b. 

iii) Slika c pravca c je AF . 

iv) Presjek pravca c i b je točka R koja leˇzi na ubjeˇznom pravcu n. Naime,


c ∩ b ∈ n, stoga ta incidencija vrijedi i za njihove slike, tj. c ∩ b ∈ n, a uz oznaku 

c ∩ b = R imamo da R ∈ n. 

v) Paralela kroz R s osi o je ubjeˇzni pravac n. 

Primjer 2.2. Dana je perspektivna kolineacija (o, S; A, A). Nacrtajmo izbjeˇzni 

pravac m i kvadrat ABCD tako da 

a) pravac m ne siječe kvadrat ABCD; 

b) pravac m siječe kvadrat ABCD. 

Konstruirajmo perspektivno kolinearnu sliku kvadrata ABCD u oba podzadatka. 

2.2. Perspektivna afinost 

Definicija 2.2. Perspektivna afinost u ravnini je bijekcija skupa točaka i skupa 

pravaca na sebe koja zadovoljava ova svojstva: 

1. Čuva incidenciju, tj. ako točka A pripada pravcu p tada slika A točke A 

pripada slici p pravca p; 

2. Spojnice pridruˇzenih točaka su medusobno paralelne. Te spojnice pridruˇzenih 

točaka nazivamo zrakama afinosti. 

3. Postoji točno jedan pravac o u ravnini kojega je svaka točka pridruˇzena 

sama sebi, tj. pravac o je fiksan po točkama. Pravac o nazivamo os perspektivne 

afinosti. 

Navedimo neka očita svojstva perspektivne afinosti. 

1) Svaki se par pridruˇzenih pravaca siječe u nekoj točki na osi afinosti ili su 

oba pravca paralelni s njom. 

Obrazloˇzimo ovo svojstvo. Ako pravac p siječe os o, prema trećem definicijskom 

svojstvu afinosti ta je točka fiksna, toj pridruˇzena sama sebi, a zbog čuvanja 

incidencije njome prolazi i pravac pridruˇzen pravcu p. 

Ako pravac p ne siječe os o, tada niti njegova slika ne siječe os o. Kad bi 

bilo suprotno točka u kojoj bi slika p sjekla os o bi bila fiksna i originalni pravac 

bi takoder prolazio njome, a to je u suprotnosti s pretpostavkom da je pravac p 

paralelan s osi.


2) Svaka zraka afinosti pridruˇzena je sama sebi. Ona je fiksni pravac afinosti, 

ali ne po točkama. Jedina fiksna točka na zraci afinosti je presjek zrake i osi. 

Teorem 2.3. Perspektivna afinosti je jednoznačno odredena, ako je zadana njezina 

os o i jedan par pridruˇzenih točaka A, A, s tim da ni jedna točka tog para ne leˇzi 

na osi o, niti je njihova spojnica paralelna sa osi o. 

Dokaz. Za proizvoljnu točku X ravnine konstruirajmo njezinu sliku X. 

a) Razmotrit ćemo prvo slučaj kad je točka X van pravca AA i kad spojnica 

AX nije paralelna s osi o. Povucimo paralelu kroz X s danom zrakom afinosti. To 

je zraka afinosti i točka X nalazi se na njoj. Nadalje povucimo spojnicu p = AX. 

Toj je spojnici pridruˇzen pravac p koji prema prvom svojstvu afinosti sadrˇzi i točku 

A i točku X. Ujedno pravci p i p sijeku se na osi o u fiksnoj točki Q. Dakle, p = QA. 

Točka X je presjek pravca p i zrake kroz X. 

b) Ako je točka X na zraci AA, tada odaberimo točku Y koja ne pripada zraci 

AA i čija spojnica sa A nije paralelna s osi. Postupkom opisanom u prethodnom 

slučaju konstruiramo točku Y . Sad u toj afinosti imamo joˇs jedan par pridruˇzenih 

točaka Y,Y i točku X konstruiramo koristeći taj par, a ne par točaka A, A. 

c) I razmotrimo joˇs i slučaj kad je spojnica AX 

paralelna s osi o. Tada je i pravac pridruˇzen toj 

spojnici paralelan s osi o. Točka X je presjek zrake 

kroz X i paralele sa osi o točkom A. ✷


U skladu s prethodnim teoremom, afinost zadajemo njezinom osi i parom 

pridruˇzenih točaka i zapisujemo ovako: (o : A, A). 

Sljedeći nam teorem opisuje jednu invarijantu afinosti. 

Teorem 2.4. Paru paralelnih pravaca a i b u perspektivnoj afinosti pridruˇzen je par 

paralelnih pravaca. 

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. da se pravci a i b sijeku u točki T . Zbog 

bijektivnosti ta točka ima svoju prasliku T koja zbog svojstva čuvanja incidencije 

pripada pravcima a i b. Time smo doˇsli u kontradikciju s pretpostavkom da su 

pravci a i b paralelni. ✷ 

Teorem 2.5. Djeliˇsni omjer (XX; K) ˇsto ga tvori bilo koji par pridruˇzenih točaka 

X i X sa sjeciˇstem K zrake afinosti XX s osi o je konstantan. 

Djeliˇsni omjer (XX; K) je omjer |XK| 

, gdje su XK i XK orjentirane duˇzine. 

|XK| 

Ta se konstanta označava s k i naziva karakteristična konstanta perspektivne 

afinosti. 

Dokaz. Neka je Y,Y par pridruˇzenih točaka različit od para X, X takav da 

pravac XY nije paralelan sa osi. Tada se pravci XY i X Y sijeku u točki F na osi. 

Zbog paralelnosti zraka afinosti trokuti XKF i YLF su slični, gdje je L presjek 

pravca Y Y i osi. Iz te sličnosti slijedi 

|XK| 

|YL| 

= |KF| 

|LF | .


I trokuti XKF i YLF su slični, pa vrijedi 

No sad je 

|XK| 

|YL| 

|XK| 

|YL| 

= |KF| 

|LF | . 

= |XK| 

|YL| , 

tj. 

|XK| |YL| 

= 

|XK| |YL| . 

Dakle, djeliˇsni omjer ne ovisi o izboru točke Y , tj. stalan je. ✷ 

Prethodni je teorem analogon odgovarajućeg teorema za kolineaciju. No, za 

afinost vrijedi i neˇsto bolji teorem. Naime, u afinosti je djeliˇsni omjer bilo koje tri 

kolinearne točke invarijanta afinosti. 

Teorem 2.6. Djeliˇsni omjer triju kolinearnih točaka je invarijanta afinosti. 

Dokaz. Neka su A, B, C tri različite kolinearne točke. Trebamo pokazati da je 

|AC| 

|BC| 

= |A C| 

|B C| . 

Označimo s p pravac AB, asp njegovu sliku. Točkom B povucimo pravac q 

paralelan s pravcem p, a sjeciˇsta pravca q sa zrakama afinosti AA i CC označimo 

redom s K i L. Zrake afinosti su medusobno paralelne pa iz sličnosti trokuta slijedi 

|A C| |KM| 

= 

|B C| |MB| 

= |AC| 

|BC| , 

ˇsto je i trebalo dokazati. ✷ 

Neposredna posljedica ovog teorema je sljedeći korolar.


Korolar 2.1. Poloviˇste duˇzine preslikava se u poloviˇste slike te duˇzine. 

Dakle, perspektivna afinost čuva paralelnost i djeliˇsni omjer, no ne čuva udaljenost 

točaka niti mjeru kutova. 

Teorem 2.7. U danom skupu pravih kutova s vrhom u točki P , P /∈ o, postoji 

uvijek jedan pravi kut koji se danom perspektivnom afinoˇsću preslikava u pravi kut. 

Dokaz. Neka je P slika točke P . Proanalizirajmo zadatak, tj. pretpostavimo 

da je zadatak rijeˇsen i da su a, b zrake pravog kuta koji se preslikava u pravi kut 

aP b. 

Tada se pravci a i a, te pravci b i b sijeku u točkama A i B na osi o. Prema 

obratu Talesovog teorema o obodnom kutu nad promjerom slijedi da su točke P , P , 

A i B točke jedne kruˇznice promjera AB. Srediˇste S te kruˇznice je sjeciˇste simetrale 

duˇzine P P i osi o. Time je analiza gotova. Konstrukcija teče ovako: konstruiramo 

afinu sliku točke P i simetralu duˇzine P P . Sjeciˇste te simetrale i osi o je točka S. 

Opiˇsemo kruˇznicu srediˇsta S i polumjera |SP|. Presjek te kruˇznice i osi o su točke 

A i B. Traˇzeni pravi kut kojemu je slika takoder pravi kut je kut AP B. 

Ova je konstrukcija izvediva uvijek osim kad su zrake afinosti okomite na os. 

No tada je jedan krak takvih pravih kutova paralelan s osi, dok je drugi okomit na 

os. ✷ 

Primjer 2.3. U danoj perspektivnoj afinosti (o : A, A) konstruirajmo sliku kvadrata 

ABCD. Točke A i A neka su s različitih strana osi. 

Slika kvadrata je četverokut A B C D dobiven preslikavanjem vrhova A,B,C,D. 

Taj je četverokut paralelogram, jer zbog čuvanja djeliˇsnog omjera, dijagonale slike 

se raspolavljaju, jer se i dijagonale kvadrata raspolavljaju.


Primjer 2.4. U danoj perspektivnoj afinosti (o : A, A) konstruirajmo sliku pravilnog 

ˇsesterokuta ABCDEF . Točke A i A neka su s iste strane osi. 

Primjer 2.5. Afinost (o : A, A) dana je tako da su zrake okomite na os i os je 

simetrala duˇzine AA. Konstruirajmo afinu sliku danom trokutu ABC. 

Primjetimo da je ovako zadana afinost osna simetrija s obzirom na pravac o.

1. PROJICIRANJE - Pmf

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?