Uvod. Projiciranje. Kolineacija i afinost.Elipsa - Pmf

1. PROJICIRANJE 

1.1. Uvod 

Nacrtna geometrija je znanost o egzaktnim metodama koje omogućuju 

prikazivanje prostornih, trodimenzionalnih objekata na nekoj dvodimenzionalnoj 

ravnini i rjeˇsavanje prostornih problema u ravnini konstruktivno-geometrijskim 

putem. 

Dakle, metodama nacrtne geometrije prikazujemo trodimenzionalni objekt 

crteˇzom u ravnini (list papira) tako da taj crteˇz kod promatrača budi ˇsto točniju predodˇzbu 

o tom prostornom objektu. Radi se o dvosmjernom procesu: s jedne strane 

izgled prostornog predmeta prenosimo u dvodimenzionalni crteˇz, a s druge strane, 

iz promatranja dvodimenzionalnog crteˇza stvaramo si trodimenzionalnu predodˇzbu 

predmeta. 

Nastala je iz potpuno praktičnih potreba, prije svega tehnike (brodogradnja, 

gradevinarstvo, strojarstvo), astronomije (projiciranje prirodnih nebeskih tijela), 

geografije (kartografija), arhitekture i slikarstva (perspektiva). 

Kroz povijest, ljudi su pokuˇsavali predmete iz okoline prikazivati u obliku 

crteˇza. Dio tih crteˇza nastao je kao izraz estetsko-umjetničke potrebe iz kojih se 

kasnije razvila likovna umjetnost, no s razvojem graditeljstva pojavljuju se crteˇzi 

koji sluˇze kao praktična pomoć. Prve ideje nacrtne geometrije mogu se naći već u 

Starom Egiptu. Prva pisana rasprava o idejama nacrtne geometrije je Vitruvijeva 

”De architectura” (oko 25 g. pr. Krista) (Marcus Vitruvius Pollio, graditelj Julija 

Cezara). Tlocrt samostana u St. Gallenu iz 9. st. je najstariji sačuvani tlocrt. 

Tehničke crteˇze moˇzemo pratiti kroz stoljeća, ali nedostaju upute kako su izradivani. 

Ideje perspektive prvi je u svojoj knjiˇzici opisao njemački slikar Albrecht Dürer 

(1471.-1528.). 

Znanstveni temelj nacrtne geometrije dao je francuski matematičar i fizičar 

Gaspard Monge (1746.-1818.) [čitamo: monˇz] u djelu ”Géométrie descriptive” 

(1795.ili 1798. - u izvorima različite godine). U tom je djelu Monge objedinio i

1 Projiciranje 4 

prikazao postupke tehničkog crtanja sistematično, generalizirano i s jednoznačnim 

objaˇsnjenima. Naime, i prije su se u gradevinarstvu i arhitekturi koristila znanja 

nacrtne geometrije, ali su bila specijalizirana, prilagodena svakoj struci i svakom 

problemu posebno i nije se uočavala ideja koja bi objedinila sve te metode. To je 

prvi put napravio G. Monge, a zbog izuzetnog značaja, njegove metode proglaˇsene 

su vojnom tajnom, a predavanja koja je drˇzao na pariˇskoj École Normale smjela su 

biti objavljena tek godinama kasnije. 

Nacrtna je geometrija pruˇzila prirodne osnove i pomoć za razvoj nekih grana 

matematike kao ˇsto su afina i projektivna geometrija, fotogrametrija, kartografija, 

nomografija. Osim toga, ideja preslikavanja najprije je uzeta iz nacrtne geometrije 

i proˇsirila se u sve grane matematike i drugih znanosti. 

1.2. Projiciranje 

Opiˇsimo prostor u kojemu ćemo rjeˇsavati probleme nacrtne geometrije. Radi 

se o trodimenzionalnom, intuitivno poimanom prostoru, tzv. euklidskom prostoru. 

Aksiomatsko zasnivanje tog prostora opisano je u knjigama Elementarna matematika 

I i II, ([6], [7]). U njemu postoje tri vrste osnovnih objekata koji se ne definiraju: 

točke, pravci i ravnine. Kao ˇsto je uobičajeno, točke ćemo označavati velikim 

latinskim slovima, pravce malim latinskim slovima, a ravnine malim grčkim slovima. 

Dogovorno ćemo pravce i ravnine smatrati skupovima točaka koje su incidentne s 

njima, iako bi točnije bilo govoriti o nizu točaka pravca ili o polju točaka ravnine. 

Svojstva osnovnih objekata prostora E dana su aksiomima. 

Aksiomi incidencije (pripadanja) 

A1. Za svake dvije različite točke prostora postoji jedinstveni pravac kojemu 

one pripadaju. 

A2. Svakom pravcu pripadaju barem tri različite točke. 

A3. U svakoj ravnini postoje tri točke koje ne pripadaju jednom pravcu. 

A4. Za svaku ravninu prostora postoje točke koje joj pripadaju i koje joj ne 

pripadaju. 

A5. Ako dvije različite ravnine imaju zajedničku točku, onda one imaju zajednički 

i čitav pravac koji nazivamo presječnica ravnina. 

A6. Ako dva različita pravca imaju zajedničku točku, onda postoji jedna i 

samo jedna ravnina koja sadrˇzi te pravce.


Aksiomi uredaja 

A7. Na svakom pravcu ravnine postoje točno dva medusobno suprotna linearna 

uredaja. 

A8. Paschov aksiom. Neka su pravac i trokut u jednoj ravnini. Ako pravac 

siječe jednu stranicu trokuta i ne prolazi niti jednim vrhom na toj stranici, onda on 

siječe bar joˇs jednu stranicu. 

Aksiomi metrike 

A9. Postoji funkcija d : E × E → R takva da je 

a) d(A, B) ≥ 0, ∀A, B ∈ E, d(A, B) = 0 akko A = B, 

b) d(A, B) =d(B,A), ∀A, B ∈ E, 

c) d(A, B) ≤ d(A, C)+d(C, B), ∀A, B, C ∈ E. 

Aksiomi simetrije 

A10. Za svaki pravac p jedne ravnine π postoji jedinstvena izometrija sp : π → 

π različita od identitete, za koju je sp(T )=T za svaku točku T pravca p. 

A11. Za svaki par (Ox, Oy) polupravaca jedne ravnine π s vrhom u O postoji 

bar jedan pravac p ⊂ π takav da je sp(Ox) =Oy. 

Aksiom o paralelama 

A12. Neka točka T i pravac p leˇze u jednoj ravnini, T /∈ p. U toj ravnini 

postoji najviˇse jedan pravac q paralelan s p. 

Da bismo pojednostavnili neke formulacije uvodimo joˇs i tzv. neprave elemente. 

Točkama jednog pravca dodajemo joˇs jednu točku tzv. nepravu ili 

beskonačno daleku točku tog pravca, a koju definiramo kao točku u kojoj se sijeku 

svi pravci paralelni s njime. Sve neprave točke pravaca jedne ravnine i samo one, 

čine jedan pravac koji nazivamo nepravi ili beskonačno daleki pravac te ravnine. 

Nacrtna geometrija svodi konstruktivne probleme prostora na konstruktivne 

probleme ravnine. Da bi se to postiglo, potrebno je prostornu figuru preslikati u 

ravninsku figuru. Ovakva preslikavanja nazivamo projiciranja prostora na ravninu. 

Definicija 1.1. Neka je π ravnina prostora E, te neka je S neka čvrsta točka tog 

prostora koja ne pripada ravnini π. Centralno projiciranje na ravninu π sa 

srediˇstem S je preslikavanje koje svakoj točki A, A = S, prostora pridruˇzuje probodiˇste 

pravca AS i ravnine π.


. 

Ravninu π nazivamo ravninom projekcije, točku S nazivamo srediˇstem 

projiciranja, pravce kroz srediˇste S nazivamo zrakama projiciranja, a slika neke 

figure naziva se projekcija. Neka je πv ravnina točkom S paralelna s ravninom 

projekcije. Slika prave točke A koja ne leˇzi u πv, po definiciji je jednaka točki u 

kojoj pravac AS probada ravninu π. Ako točka A leˇzi u ravnini πv, tada je pravac 

AS paralelan s ravninom π i njihov presjek je neprava točka pravca AS. 

Osnovna svojstva projiciranja su sljedeća: 

1. Projekcija pravca p koji ne prolazi točkom S je pravac p ′ u ravnini π. Restrikcija 

projiciranja s pravca p na pravac p ′ je bijekcija. Projekcija svake zrake 

projiciranja je probodiˇste te zrake i ravnine π. 

2. Projekcija ravnine τ koja ne sadrˇzi srediˇste S je ravnina π i ta je restrikcija 

bijektivna. Projekcija ravnine koja sadrˇzi srediˇste je presječnica te ravnine i 

ravnine π. 

Definicija 1.2. Neka je dana ravnina π prostora E, te neka je s neki čvrsti pravac


tog prostora koji nije paralelan s ravninom π. Paralelno projiciranje na ravninu 

π u smjeru s je preslikavanje koje svakoj točki A, prostora E pridruˇzuje probodiˇste 

pravca kroz A paralelnog sa s i ravnine π. 

Svi pravci prostora paralelni s pravcem s nazivaju se zrake projiciranja ili 

smjer projiciranja. Kod paralelnog projiciranja razlikujemo koso ili ortogonalno 

projiciranje. Kod ortogonalnog projiciranja kut zraka projekcije jednak je pravom 

kutu, a kod kosog projiciranja kut je manji. 

Proučimo malo podrobnije paralelno projiciranje, budući da će se glavne 

metode prikazivanja prostornih objekata opisane u ovom kolegiju upravo sastojati 

od dvaju ili viˇse ortogonalnih projiciranja. 

Bitna svojstva su ova: 

1. Pravci koji nisu paralelni sa smjerom projiciranja preslikavaju se u pravce, ali 

pravci koji su paralelni sa smjerom projiciranja preslikavaju se u jednu točku, 

tj. u svoje probodiˇste s ravninom π. 

2. Paralelnost pravaca je invarijanta paralelnog projiciranja. 

3. Duˇzine i kutovi, pa time i bilo koji ravninski likovi koji leˇze u ravnini paralelnoj 

s ravninom projekcije π, projiciraju se pri paralelnom projiciranju u sukladne 

likove.


4. Djeliˇsni omjer triju kolinearnih točaka je invarijanta paralelnog projiciranja. 

Poloviˇste duˇzine preslikava se u poloviˇste duˇzine.

2. PERSPEKTIVNA 

KOLINEACIJA I AFINOST 

2.1. Perspektivna kolineacija 

Definicija 2.1. Perspektivna kolineacija u ravnini je bijekcija skupa točaka i 

skupa pravaca na sebe koja zadovoljava ova svojstva: 

1. Čuva incidenciju, tj. ako točka A pripada pravcu p tada slika A točke A 

pripada slici p pravca p; 

2. Spojnice pridruˇzenih točaka prolaze jednom točkom S ravnine. Točka S 

je fiksna točka i nazivamo je srediˇstem kolineacije, a spojnice pridruˇzenih točaka 

zrakama kolineacije. 

3. Postoji točno jedan pravac o u ravnini kojega je svaka točka pridruˇzena 

sama sebi, tj. pravac o je fiksan po točkama. Pravac o nazivamo os kolineacije. 

Moguće je definirati i perspektivnu kolineaciju u prostoru. Tada imamo zadane 

dvije ravnine koje se sijeku i točku S koja ne pripada objema ravninama, a sama 

perspektivna kolineacija opisana je gornjim svojstvima. 

Navedimo neka očita svojstva perspektivne kolineacije. 

1) Svaki se par pridruˇzenih pravaca siječe u nekoj točki na osi kolineacije ili 

su oba pravca paralelni s njom. 

Obrazloˇzimo ovo svojstvo. Ako pravac p siječe os o, prema trećem definicijskom 

svojstvu kolineacije ta je točka fiksna, toj pridruˇzena sama sebi, a zbog čuvanja 

incidencije njome prolazi i pravac pridruˇzen pravcu p. 

Ako pravac p ne siječe os o, tada niti njegova slika ne siječe os o. Kad bi 

bilo suprotno točka u kojoj bi slika p sjekla os o bi bila fiksna i originalni pravac 

bi takoder prolazio njome, a to je u suprotnosti s pretpostavkom da je pravac p 

paralelan s osi.

3. Perspektivna kolineacija i afinost 10 

2) Svaka zraka kolineacije pridruˇzena je sama sebi. Ona je fiksni pravac kolineacije, 

ali ne po točkama. Jedine fiksne točke na zraci kolineacije su srediˇste S i 

presjek zrake i osi. 

Teorem 2.1. Perspektivna kolineacija je jednoznačno odredena, ako je zadana njezina 

os o, njezino srediˇste S i jedan par pridruˇzenih točaka A, A, s tim da ni jedna 

točka tog para ne leˇzi na osi o, niti je njihova spojnica paralelna sa osi o. 

Dokaz. Za proizvoljnu točku X ravnine konstruirajmo njezinu sliku X. 

a) Razmotrit ćemo prvo slučaj kad je točka X van pravca AS i kad spojnica 

AX nije paralelna s osi o. Povucimo spojnicu SX. To je zraka kolineacije i točka 

X nalazi se na njoj. Nadalje povucimo spojnicu p = AX. Toj je spojnici pridruˇzen 

pravac p koji prema prvom svojstvu kolineacije sadrˇzi i točku A i točku X. Ujedno 

pravci p i p sijeku se na osi o u fiksnoj točki Q. Dakle, p = QA. Točka X je presjek 

pravca p i zrake SX. 

b) Ako je točka X na zraci AS, tada odaberimo točku Y koja ne pripada zraci 

AS i čija spojnica sa A nije paralelna s osi. Postupkom opisanom u prethodnom 

slučaju konstruiramo točku Y . Sad u toj kolineaciji imamo joˇs jedan par pridruˇzenih 

točaka Y,Y i točku X konstruiramo koristeći taj par, a ne par točaka A, A. 

c) I razmotrimo joˇs i slučaj kad je spojnica AX paralelna s osi o.


Tada je i pravac pridruˇzen toj spojnici paralelan s osi o. Točka X je presjek 

zrake SX i paralele sa osi o točkom A. ✷ 

U skladu s prethodnim teoremom, kolineaciju ćemo obično zadavati njezinim 

srediˇstem, osi i parom pridruˇzenih točaka i zapisivat ćemo ovako: (o, S : A, A). 

Primjer 2.1. Konstrirajmo jednakostranični trokut ABC, a =4cm. Neka je točka 

P poloviˇste stranice AB, a točka Q dijeli stranicu AC u omjeru 1:2računajući od 

C. Točka B poloviˇste je duˇzine AP . Točka S nalazi se na pravcu AB tako da je 

|PB| = |SB| i S = P . 

U perspektivnoj kolineaciji (o = PQ,S : B,B) konstruirajmo slike točaka 

A,B,C,P i Q. 

Sljedeći nam teorem opisuje jednu invarijantu kolineacije. 

Teorem 2.2. Dvoomjer (XX; SK) ˇsto ga tvori bilo koji par pridruˇzenih točaka 

X i X sa srediˇstem S kolineacije i sjeciˇstem K zrake kolineacije SX sa osi o je 

konstantan. 

Podsjetimo se da se dvoomjer četiriju kolinearnih točaka definira kao: 

(AB; CD)= |CA| |DA| 

: , gdje je |AB| oznaka za ”orjentiranu” duljinu duˇzine AB. 

|CB| |DB| 

(vidi Palman: Trokut i kruˇznica). 

Ta se konstanta označava s k i naziva karakteristična konstanta perspektivne 

kolineacije. 

Dokaz. Neka je točka O bilo koja točka osi o različita od K. Dokazat ćemo 

da je dvoomjer (XX; SK) jednak dvoomjeru četvorke pravaca koji prolaze točkom 

O, tj. da je (XX; SK) = (OX, OX; OS, OK). Uvedimo oznake: SOX = α, 

KOX = β, KOX = γ. 

Izrazimo povrˇsinu trokuta SOX na dva načina:


P (SOX)= 1 

1 

|OX|·|SO| sin α = 

2 2 |SX|·v, 

gdje je v duljina visine iz točke O na stranicu SX. 

Analogno je 

P (SOX) = 1 

|OX|·|SO| sin(α + β + γ) =1 

2 2 |SX|·v, 

P (KOX)= 1 

1 

|OX|·|KO| sin β = 

2 2 |KX|·v, 

P (KOX) = 1 

1 

|OX|·|KO| sin γ = 

2 2 |KX|·v. 

Iz prve dvije jednakosti dobivamo 

a iz druge dvije jednakosti 

tj. 

ˇsto je upravo 

|SX| 

|SX| = 

|SX| |KX| 

: 

|SX| |KX| = 

|OX| sin α 

|OX| sin(α + β + γ) , 

|KX| |OX| sin β 

= 

|KX| |OX| sin(γ) , 

sin α sin β 

: 

sin(α + β + γ) sin(γ) 

(XX; SK)=(OX, OX; OS, OK). 

✷ 

Kod perspektivne je kolineacije zanimljivo promatrati sliku i prasliku beskonačno 

dalekog pravca n. Inače, beskonačno daleki pravac tvore sve beskonačno daleke 

točke i samo one. Sliku beskonačno dalekog pravca označavamo s n i nazivamo nedogledni 

ili ubjeˇzni pravac. On je paralelan s osi jer na njemu leˇzi i beskonačno 

daleka točka osi. 

Praslika pravca n, tj. pravac m koji se preslikava u beskonačno daleki pravac 

n naziva se izbjeˇzni pravac.


Dakle, imamo ovakvo pridruˇzivanje 

m ↦→ n ↦→ n. 

Primjer 2.2. U danoj perspektivnoj kolineaciji (o, S : A, A) konstruirajmo izbjeˇzni 

i ubjeˇzni pravac. 

a) Konstrukcija izbjeˇznog pravca m. 

i) Neka je A ↦→ A i X ↦→ X. 

ii) Točkom X povucimo pravac d paralelan s pravcem SA = a = a. Budući da 

su a i d paralelni, sijeku se u nepravoj točki, a sve neprave točke pripadaju nepravom 

pravcu n. d ∩ o = F i znamo da je a = a. 

iii) Praslika d pravca d je XF. Naime, d = XF, pa je praslika d = XF. 

iv) Presjek pravca d i a je točka V koja leˇzi na izbjeˇznom pravcu m. Naime, 

d ∩ a ∈ n = m, stoga ta incidencija vrijedi i za njihove praslike, tj. d ∩ a ∈ m, auz 

oznaku d ∩ a = V imamo da V ∈ m. 

v) Paralela kroz V s osi o je izbjeˇzni pravac m. 

b) Konstrukcija ubjeˇznog pravca n.


i) Neka je A ↦→ A i X ↦→ X. 

ii) Točkom A povucimo pravac c paralelan s pravcem SX = b. Budući da su 

c i b paralelni, sijeku se u nepravoj točki, a sve neprave točke pripadaju nepravom 

pravcu n. c ∩ o = F i znamo da je b = b. 

iii) Slika c pravca c je AF . 

iv) Presjek pravca c i b je točka R koja leˇzi na ubjeˇznom pravcu n. Naime, 

c ∩ b ∈ n, stoga ta incidencija vrijedi i za njihove slike, tj. c ∩ b ∈ n, a uz oznaku 

c ∩ b = R imamo da R ∈ n. 

v) Paralela kroz R s osi o je ubjeˇzni pravac n. 

Primjer 2.3. Dana je perspektivna kolineacija (o, S; A, A) i kvadrat ABCD. Konstruirajmo 

izbjeˇzni pravac m i perspektivno kolinearnu sliku kvadrata ABCD. 

Koristiti dva ponudena predloˇska 2.3.-A i 2.3.-B. 

2.2. Perspektivna afinost 

Definicija 2.2. Perspektivna afinost u ravnini je bijekcija skupa točaka i skupa 

pravaca na sebe koja zadovoljava ova svojstva: 

1. Čuva incidenciju, tj. ako točka A pripada pravcu p tada slika A točke A 

pripada slici p pravca p; 

2. Spojnice pridruˇzenih točaka su medusobno paralelne. Te spojnice pridruˇzenih 

točaka nazivamo zrakama afinosti. 

3. Postoji točno jedan pravac o u ravnini kojega je svaka točka pridruˇzena 

sama sebi, tj. pravac o je fiksan po točkama. Pravac o nazivamo os perspektivne 

afinosti. 

Navedimo neka očita svojstva perspektivne afinosti. 

1) Svaki se par pridruˇzenih pravaca siječe u nekoj točki na osi afinosti ili su 

oba pravca paralelni s njom. 

Obrazloˇzimo ovo svojstvo. Ako pravac p siječe os o, prema trećem definicijskom 

svojstvu afinosti ta je točka fiksna, toj pridruˇzena sama sebi, a zbog čuvanja 

incidencije njome prolazi i pravac pridruˇzen pravcu p. 

Ako pravac p ne siječe os o, tada niti njegova slika ne siječe os o. Kad bi 

bilo suprotno točka u kojoj bi slika p sjekla os o bi bila fiksna i originalni pravac


bi takoder prolazio njome, a to je u suprotnosti s pretpostavkom da je pravac p 

paralelan s osi. 

2) Svaka zraka afinosti pridruˇzena je sama sebi. Ona je fiksni pravac afinosti, 

ali ne po točkama. Jedina fiksna točka na zraci afinosti je presjek zrake i osi. 

Teorem 2.3. Perspektivna afinosti je jednoznačno odredena, ako je zadana njezina 

os o i jedan par pridruˇzenih točaka A, A, s tim da ni jedna točka tog para ne leˇzi 

na osi o, niti je njihova spojnica paralelna sa osi o. 

Dokaz. Za proizvoljnu točku X ravnine konstruirajmo njezinu sliku X. 

a) Razmotrit ćemo prvo slučaj kad je točka X van pravca AA i kad spojnica 

AX nije paralelna s osi o. Povucimo paralelu kroz X s danom zrakom afinosti. To 

je zraka afinosti i točka X nalazi se na njoj. Nadalje povucimo spojnicu p = AX. 

Toj je spojnici pridruˇzen pravac p koji prema prvom svojstvu afinosti sadrˇzi i točku 

A i točku X. Ujedno pravci p i p sijeku se na osi o u fiksnoj točki Q. Dakle, p = QA. 

Točka X je presjek pravca p i zrake kroz X. 

b) Ako je točka X na zraci AA, tada odaberimo točku Y koja ne pripada zraci 

AA i čija spojnica sa A nije paralelna s osi. Postupkom opisanom u prethodnom 

slučaju konstruiramo točku Y . Sad u toj afinosti imamo joˇs jedan par pridruˇzenih 

točaka Y,Y i točku X konstruiramo koristeći taj par, a ne par točaka A, A.


c) I razmotrimo joˇs i slučaj kad je spojnica AX 

paralelna s osi o. Tada je i pravac pridruˇzen toj 

spojnici paralelan s osi o. Točka X je presjek zrake 

kroz X i paralele sa osi o točkom A. ✷ 

U skladu s prethodnim teoremom, afinost zadajemo njezinom osi i parom 

pridruˇzenih točaka i zapisujemo ovako: (o : A, A). 

Sljedeći nam teorem opisuje jednu invarijantu afinosti. 

Teorem 2.4. Paru paralelnih pravaca a i b u perspektivnoj afinosti pridruˇzen je par 

paralelnih pravaca. 

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. da se pravci a i b sijeku u točki T . Zbog 

bijektivnosti ta točka ima svoju prasliku T koja zbog svojstva čuvanja incidencije 

pripada pravcima a i b. Time smo doˇsli u kontradikciju s pretpostavkom da su 

pravci a i b paralelni. ✷ 

Teorem 2.5. Djeliˇsni omjer (XX; K) ˇsto ga tvori bilo koji par pridruˇzenih točaka 

X i X sa sjeciˇstem K zrake afinosti XX s osi o je konstantan. 

Djeliˇsni omjer (XX; K) je omjer |XK| 

, gdje su XK i XK orjentirane duˇzine. 

|XK| 

Ta se konstanta označava s k i naziva karakteristična konstanta perspektivne 

afinosti. 

Dokaz. Neka je Y,Y par pridruˇzenih točaka različit od para X, X takav da 

pravac XY nije paralelan sa osi. Tada se pravci XY i X Y sijeku u točki F na osi.


Zbog paralelnosti zraka afinosti trokuti XKF i YLF su slični, gdje je L presjek 

pravca Y Y i osi. Iz te sličnosti slijedi 

|XK| 

|YL| 

I trokuti XKF i YLF su slični, pa vrijedi 

No sad je 

|XK| 

|YL| 

|XK| 

|YL| 

= |KF| 

|LF | . 

= |KF| 

|LF | . 

= |XK| 

|YL| , 

tj. 

|XK| |YL| 

= 

|XK| |YL| . 

Dakle, djeliˇsni omjer ne ovisi o izboru točke Y , tj. stalan je. ✷ 

Prethodni je teorem analogon odgovarajućeg teorema za kolineaciju. No, za 

afinost vrijedi i neˇsto bolji teorem. Naime, u afinosti je djeliˇsni omjer bilo koje tri 

kolinearne točke invarijanta afinosti. 

Teorem 2.6. Djeliˇsni omjer triju kolinearnih točaka je invarijanta afinosti. 

Dokaz. Neka su A, B, C tri različite kolinearne točke. Trebamo pokazati da je 

|AC| 

|BC| 

= |A C| 

|B C| .


Označimo s p pravac AB, asp njegovu sliku. Točkom B povucimo pravac q 

paralelan s pravcem p, a sjeciˇsta pravca q sa zrakama afinosti AA i CC označimo 

redom s K i L. Zrake afinosti su medusobno paralelne pa iz sličnosti trokuta slijedi 

|A C| |KM| 

= 

|B C| |MB| 

= |AC| 

|BC| , 

ˇsto je i trebalo dokazati. ✷ 

Neposredna posljedica ovog teorema je sljedeći korolar. 

Korolar 2.1. Poloviˇste duˇzine preslikava se u poloviˇste slike te duˇzine. 

Dakle, perspektivna afinost čuva paralelnost i djeliˇsni omjer, no ne čuva udaljenost 

točaka niti mjeru kutova. 

Teorem 2.7. U danom skupu pravih kutova s vrhom u točki P , P /∈ o, postoji 

uvijek jedan pravi kut koji se danom perspektivnom afinoˇsću preslikava u pravi kut. 

Dokaz. Neka je P slika točke P . Proanalizirajmo zadatak, tj. pretpostavimo 

da je zadatak rijeˇsen i da su a, b zrake pravog kuta koji se preslikava u pravi kut 

aP b. 

Tada se pravci a i a, te pravci b i b sijeku u točkama A i B na osi o. Prema 

obratu Talesovog teorema o obodnom kutu nad promjerom slijedi da su točke P , P , 

A i B točke jedne kruˇznice promjera AB. Srediˇste S te kruˇznice je sjeciˇste simetrale 

duˇzine P P i osi o. Time je analiza gotova. Konstrukcija teče ovako: konstruiramo 

afinu sliku točke P i simetralu duˇzine P P . Sjeciˇste te simetrale i osi o je točka S. 

Opiˇsemo kruˇznicu srediˇsta S i polumjera |SP|. Presjek te kruˇznice i osi o su točke 

A i B. Traˇzeni pravi kut kojemu je slika takoder pravi kut je kut AP B.


Ova je konstrukcija izvediva uvijek osim kad su zrake afinosti okomite na os. 

No tada je jedan krak takvih pravih kutova paralelan s osi, dok je drugi okomit na 

os. ✷ 

Primjer 2.4. U danoj perspektivnoj afinosti (o : A, A) konstruirajmo sliku kvadrata 

ABCD, a =4cm. Točke A i A neka su s različitih strana osi. 

Slika kvadrata je četverokut A B C D dobiven preslikavanjem vrhova A,B,C,D. 

Taj je četverokut paralelogram, jer zbog čuvanja djeliˇsnog omjera, dijagonale slike 

se raspolavljaju, jer se i dijagonale kvadrata raspolavljaju. 

Primjer 2.5. U danoj perspektivnoj afinosti (o : A, A) konstruirajmo sliku pravilnog 

peterokuta ABCDE. Točke A i A neka su s iste strane osi. Polumjer opisane 

kruˇznice peterokuta je r =4.2 cm. 

Primjer 2.6. Afinost (o : A, A) dana je tako da su zrake okomite na os i os je 

simetrala duˇzine AA. Konstruirajmo afinu sliku danom trokutu ABC. 

Primjetimo da je ovako zadana afinost osna simetrija s obzirom na pravac o.

3. KRIVULJE DRUGOG REDA 

U realnoj projektivnoj ravnini konike ili krivulje drugog reda definiraju se 

ovako: 

Definicija 3.1. Skup svih točaka projektivne ravnine čije koordinate zadovoljavaju 

algebarsku jednadˇzbu drugog reda 

a00x 2 0 + a11x 2 1 + a22x 2 2 +2a01x0x1 +2a02x0x2 +2a12x1x2 =0 

nazivamo konikom ili krivuljom drugog reda. 

Gornji izraz moˇzemo zapisati i u matričnom obliku: 

X T AX =0, 

gdje je A simetrična matrica trećeg reda. Ukoliko je matrica A regularna tada 

govorimo o nesingularnim (nedegeneriranim, neraspadnutim) konikama. S obzirom 

na presjek konike i nepravog pravca, nesingularne konike dijelimo u tri skupine: 

elipse (ne sadrˇze neprave točke), parabole (sadrˇze jednu nepravu točku) i hiperbole 

(sijeku nepravi pravac u dvije točke). 

Opˇsirnije o konikama moˇze se naći u knjigama Projektivna geometrija, [3], i 

Elementarna matematika 2, [7]. 

Budući da se radi o objektima koje su poznavali već i stari narodi, u upotrebi 

su različite definicije konika. Tako ih starogrčki matematičari definiraju kao presjeke 

stoˇsca ravninom. Odatle potječe i hrvatski naziv čunjosječnice. Poznata nam je 

i Pappus-Boˇskovićeva definicija konika pomoću omjera udaljenosti od fokusa i od 

direktrise, [7]. A u naˇsim srednjim ˇskolama uvrijeˇzile su se definicije kojima su 

konike opisane kao geometrijska mjesta točaka koje zadovoljavaju izvjesna svojstva. 

Ponovimo te definicije i neka svojstva konika.

4. Krivulje drugog reda 21 

3.1. Elipsa 

Definicija 3.2. Neka su F1 i F2 dvije čvrste točke ravnine π i neka je a pozitivan 

realni broj, a> 1 

2 |F1F2|. Skup svih točaka ravnine π za koje je zbroj udaljenosti do 

točaka F1 i F2 jednak 2a nazivamo elipsa sa ˇzariˇstima F1 i F2 i duljinom velike 

poluosi a. 

Opiˇsimo neke simbole i termine koje ćemo koristiti uz elipsu. Kao ˇsto je već 

rečeno u definiciji, dane čvrste točke F1 i F2 nazivaju se ˇzariˇsta ili fokusi elipse. 

Poloviˇste O duˇzine F1F2 zovemo srediˇste elipse. Točke A1 i A2 elipse koje pripadaju 

pravcu F1F2 zovemo tjemenima ili vrhovima elipse. 

Duˇzina A1A2 naziva se velika os elipse, broj 2a zovemo duljina velike osi, a 

broj a duljina velike poluosi. Iz definicije elipse jasno je da je |OA1| = |OA2| = a. 

Simetrala duˇzine F1F2 naziva se smjer male osi, a točke B1 i B2 elipse na 

tom pravcu zovu se tjemena ili vrhovi elipse. Duˇzina B1B2 naziva se mala os, a 

broj b = |OB1| = |OB2| duljina male poluosi. 

Duˇzina koja spaja bilo koju točku T elipse s jednim njezinim ˇzariˇstem zove se 

radij-vektor točke T . Spomenimo joˇs dvije numeričke karakteristike elipse: linearni 

i numerički ekscentricitet. Linearni ekscentricitet, u oznaci e, jednak je 1 

2 |F1F2|, 

dok je numerički ekscentricitet, s oznakom ε, jednak a 

e . 

Odaberemo li pravokutni koordinatni sustav u ravnini tako da se x i y osi 

podudaraju sa smjerovima velike i male osi elipse, tada jednadˇzba elipse ima oblik 

x 2 

a 

2 + y2 

=1. 

b2


Primjer 3.1. Konstruirajmo elipsu kojoj su zadana ˇzariˇsta F1 i F2 (e = 1.6) i 

duljina velike poluosi a =2. 

Ovo je tzv. konstrukcija elipse po definiciji ili vrtlarska konstrukcija. 

Prvo odredimo srediˇste elipse kao poloviˇste duˇzine F1F2, te vrhove A1,A2 

na velikoj osi. Potom odredimo vrhove B1,B2 na maloj osi konstruirajući jednakokračne 

trokute F1B1F2 i F1B2F2 s krakovima duljine a. Za konstrukciju daljnjih 

točaka elipse odaberimo polumjer r1 > 2e, te opiˇsimo kruˇznice k1 i k2 oko F1 

i F2 s tim polumjerom. Zatim oko F1 i F2 opiˇsimo kruˇznice k3 i k4 s polumjerom 

2a − r1. Točke presjeka kruˇznica k1 i k3, odnosno kruˇznica k2 i k4 su točke elipse. 

Na ovaj način dobivene su četiri točke elipse. Postupak ponavljamo. 

Istaknimo nekoliko svojstava elipse. 

Propozicija 3.1. Za duljine poluosi a i b, te za linearni ekscentricitet e elipse vrijedi 

a 2 − b 2 = e 2 . 

Dokaz. Vrh B1 nalazi se na simetrali duˇzine F1F2, 

pa je |F1B1| = |F2B1|. Uz to, nalazi se i na 

elipsi pa je |F1B1|+|F2B1| =2a, tj. |F2B1| = 

a. Trokut OF2B1 je pravokutni trokut, te je 

prema Pitagorinom teoremu 

tj. 

|F2B1| 2 = |OF2| 2 + |OB1| 2 , 

a 2 = e 2 + b 2 

odakle slijedi tvrdnja. ✷


Propozicija 3.2. Tangenta t u točki T elipse raspolavlja vanjski, a normala unutarnji 

kut ˇsto ga tvore dva radij-vektora točke T . 

Dokaz. Radij-vektor r1 = F1T produljimo preko točke T za |F2T |. Tako 

dobivenu točku označimo sa S. Očito je trokut F2TS jednakokračan s osnovicom 

F2S. Uz to, vrijedi 

|F1S| = |F1T | + |TS| = |F1T | + |F2T | =2a. 

Neka je pravac t simetrala duˇzine F2S, a 

time i simetrala kuta F2TS. Dokaˇzimo 

da je t ujedno i tangenta elipse. 

Neka je točka P proizvoljna točka na 

pravcu t koja je različita od T . U trokutu 

F1PS vrijedi nejednakost trokuta 

|F1P | + |PS| > |F1S|. 

Budući da točka P leˇzi na simetrali duˇzine F2S, vrijedi |PS| = |F2P |. Sad 

gornja nejednakost prelazi u oblik 

|F1P | + |F2P | > |F1S| =2a, 

ˇsto znači da točka P ne leˇzi na elipsi. Dakle, jedina točka koja je i na elipsi i na 

pravcu t je točka T , tj. pravac t je tangenta elipse, čime je tvrdnja dokazana. ✷ 

Propozicija 3.3. Točka koja je simetrična jednom ˇzariˇstu elipse s obzirom na tangentu 

elipse naziva se suprotiˇste tog ˇzariˇsta s obzirom na tu tangentu. Sva 

suprotiˇsta jednog ˇzariˇsta leˇze na kruˇznici k1 polumjera 2a sa srediˇstem u drugom 

ˇzariˇstu. Kruˇznica k1 naziva se kruˇznica suprotiˇsta prvog ˇzariˇsta.


Dokaz. Dokaz se zasniva 

na svojstvu tangente 

dokazanom u prethodnoj 

propoziciji. Tangenta t je 

os simetrije jednakokračnog 

trokuta F2TS. Stoga je 

točka S simetrična ˇzariˇstu 

F2 s obzirom na tangentu t, 

tj. S je suprotiˇste ˇzariˇsta 

F2 s obzirom na tangentu 

t. Za svako suprotiˇste S 

ˇzariˇsta F2 vrijedi |F1S| = 

2a, pa suprotiˇsta ˇzariˇsta F2 

leˇze na kruˇznici srediˇsta F1 

i polumjera 2a. ✷ 

Propozicija 3.4. Noˇziˇsta okomica spuˇstenih iz oba ˇzariˇsta elipse na tangentu elipse 

leˇze na kruˇznici k polumjera a sa srediˇste u srediˇstu elipse. Tu kruˇznicu nazivamo 

glavna kruˇznica elipse. 

Dokaz. Promotrimo opet sliku iz dokaza Propozicije 3.2. i dopunimo je 

noˇziˇstima L i K okomica iz ˇzariˇsta F1 i F2 na tangentu t, te suprotiˇstima S1 i 

S2 ˇzariˇsta F1 i F2 s obzirom na tangentu t.


Trokuti F1S1F2 i OKF2 su slični jer imaju 

zajednički kut F1F2S1 i dva para proporcionalnih 

stranica: |F1F2| = 2|OF2| i 

|F2S1| =2|F2K|. Prema tome, slijedi da je i 

|F1S1| =2|OK|, a budući da je |F1S1| =2a, 

dobivamo da je |OK| = a. Dakle, noˇziˇste 

K pripada glavnoj kruˇznici. Dokaz za točku 

L dobivamo analogno promatrajući slične 

trokute F2S2F1 i OLF1. ✷ 

Primjer 3.2. Iz točke T izvan elipse konstruirajmo tangente na elipsu i odredimo 

diraliˇsta koristeći se svojstvom suprotiˇsta. Elipsa je odredena poluosima a = 4, 

b =2.4. 

Analiza. Elipsa je dana svojim osima pa je 

lako odrediti poloˇzaj njezinih ˇzariˇsta F1 i F2. 

Neka su t1 i t2 tangente na elipsu povučene 

iz točke T . Prema Propoziciji 3.3., suprotiˇsta 

S1,S2 ˇzariˇsta F2 s obzirom na tangente t1 i 

t2 leˇze na kruˇznici suprotiˇsta k1(F1, 2a). Uz 

to, tangenta t1 je simetrala duˇzine F2S1, pa 

je |TF2| = |TS1|, tj. S1 leˇzi na kruˇznici 

k(T,|TF2|). Analogno, tangenta t2 je simetrala 

duˇzine F2S2, pa je |TF2| = |TS2|, tj. 

S ∈ k(T,|TF2|). 

Dakle, suprotiˇsta S1 i S2 su točke presjeka kruˇznice k(T,|TF2|) i kruˇznice 

suprotiˇsta k1(F1, 2a). Tangente t1 i t2 su simetrale duˇzina F2S1 i F2S2, a diraliˇsta 

D1 i D2 su presjeci tih tangenata i duˇzina F1S1 i F1S2 redom. 

Primjer 3.3. Zadane su točke F1 i F2, te pravac t koji ne siječe duˇzinu F1F2. 

Konstruirajmo osi elipse kojoj su točke F1 i F2 ˇzariˇsta, a pravac t tangenta. 

Analiza. Prema Propoziciji 3.4., noˇziˇste K okomice na tangentu t elipse leˇzi 

na glavnoj kruˇznici k(O, a) te elipse. Poznavajući srediˇste glavne kruˇznice (to je 

poloviˇste duˇzine F1F2) i točku K znamo i odrediti duljinu velike poluosi. Duljinu 

male poluosi potom odredimo koristeći Propoziciju 3.1.


Rezultat koji ćemo u velikoj mjeri koristiti u nacrtnoj geometriji pri projiciranju 

kruˇznica jest sljedeći teorem. 

Teorem 3.1. Perspektivno afina slika kruˇznice je elipsa. 

Dokaz. Dat ćemo jedan analitički dokaz ove tvrdnje. Neka je dana perspektivna 

afinost (o : O, O). Prema već dokazanom teoremu, postoji jedan par okomitih 

pravaca OA, OB sa sjeciˇstem u O koji se afino preslikava u par okomitih pravaca 

OA, OB sa sjeciˇstem u O. Uvedimo koordinatni sustav s osima OA, OB i ishodiˇstem 

O, a jedinične točke na osima označimo s E i F . Pri afinom preslikavanju točke E 

i F preslikavaju se u točke E i F na pravcima OA, OB i neka vrijedi 

O E = a, O F = b. 

Izračunajmo koordinate slike točke T1 s osi OA. Njezine koordinate su 

T1(x, 0), a budući da perspektivna afinost čuva omjer koordinate njezine slike su 

T1(x, 0) = (ax, 0). Analogno, koordinate slike točke T2(0,y) s druge koordinatne 

osi su T2(0,yb). Bilo koja točka T (x, y) ravnine se afino preslika u točku T (ax, by). 

Kruˇznica čije točke zadovoljavaju jednadˇzbu (x−p) 2 +(y−q) 2 = r 2 pri perspektivnoj 

afinosti preslikava se u krivulju čije točke (x, y) zadovoljavaju 

x 

a 

 

p 2 

y 

− + 

a b 

 

q 2 

− = r 

b 

2 , 

pri čemu je (p, q) =(ap, bq) slika srediˇsta kruˇznice. Sredivanjem dobivamo 

(x − p) 2 

(ar) 2 

(y − q)2 

+ 

(br) 2 

=1, 

tj. dobivena je krivulja elipsa. ✷


Budući da su paralelnost i djeliˇsni omjer invarijante perspektivne afinosti, ona 

svojstva kruˇznice koja su vezana uz paralelnost i omjere ostaju sačuvana, tj. vrijede 

i za elipsu. Označimo sa S srediˇste kruˇznice. Prvo zbog očuvanja incidencije imamo 

da se svaki promjer kruˇznice (tetiva koja sadrˇzi S) preslikava afinoˇsću u promjer 

elipse, tangenta kruˇznice preslikava se u tangentu elipse, diraliˇste tangente kruˇznice u 

diraliˇste tangente elipse, a zbog svojstva da je S poloviˇste svakog promjera kruˇznice, 

imamo da je i njegova afina slika S poloviˇste svakog promjera elipse. Za svaki 

promjer AB kruˇznice postoji njemu okomiti promjer CD koji raspolavlja tetive 

paralelne sa AB i prolazi diraliˇstima obiju tangenata kruˇznice paralelnih sa AB. 

Pri afinom preslikavanju, promjer AB preslika se u promjer A B, a promjer CD u 

promjer elipse C D koji ima svojstvo da raspolavlja svaku tetivu elipse paralelnu 

s A B i prolazi diraliˇstima tangenata elipse paralelnih s A B. Promjere A B i C D 

nazivamo konjugiranim promjerima elipse. Točke C i D su diraliˇsta tangenata 

elipse koje su paralelne s promjerom A B i obratno. 

Općenito, kut izmedu dva konjugirana promjera je bilo koji ˇsiljasti kut, osim 

u slučaju kad su promatrani konjugirani promjeri velika i mala os elipse. U tom 

slučaju, kut izmedu njih je 90◦ . Kod kruˇznice, svaki par konjugiranih promjera je 

medusobno okomit. 

Konstrukcija elipse pomoću jedne tjemene kruˇznice. Dana je perspektivna 

afinost (o : C1,C) pri čemu je C1C okomito na os o i C1C ∩ o = O. Odredimo 

perspektivno afinu sliku kruˇznice k sa srediˇstem u O koja prolazi točkom C1. 

Uvedimo koordinatni sustav tako da su pravci o i C1C osi koordinatnog sustava. 

U njemu točke C1 i C imaju koordinate C1(0,a), C(0,b), a>b. Neka je 

T (x, y) afina slika točke T (x, y) s kruˇznice k. Konstruktivno točku T dobivamo 

na dobro poznati način kao presjek zrake afinosti kroz T i pravca koji spaja fiksnu 

točku pravca C1T stočkom C.


Budući da afinost čuva omjere, slijedi da je y : y = a : b, tj. y = b y. Uz to je i 

a 

x = x. Točka T (x, y) pripada kruˇznici, pa za njezine koordinate vrijedi x2 +y 2 = a2 , 

ˇsto nakon uvrˇstavanja prelazi u 

x 2 + 

 

a 2 

b 

y 2 = a 2 , tj. x2 

a 

2 + y2 

=1, 

b2 tj. točka T pripada elipsi čija je velika os upravo onaj promjer kruˇznice koji se nalazi 

na osi o, a mala poluos je duˇzina CO. Dakle, elipsa je dobivena kao afina slika velike 

tjemene kruˇznice, pri čemu se radilo o afinosti čije su zrake afinosti ortogonalne na 

os. Elipsa se moˇze dobiti i kao afina slika male tjemene kruˇznice k(O, b = |OC|). 

U ovoj ortogonalnoj afinosti os je pravac CD, a par pridruˇzenih točaka je A1 ↦→ A, 

a = |OA|. 

Konstrukcija elipse pomoću dvije tjemene kruˇznice. Prethodno nam 

je razmatranje dalo mogućnost da elipsu dobijemo kao afinu sliku velike, odnosno 

male tjemene kruˇznice elipse. U sljedećem ćemo tekstu pokazati kako kombinacijom 

ova dva postupka dobivamo izuzetno jednostavnu konstrukciju elipse. 

Neka je k(O, |OC1| = a) velika tjemena 

kruˇznica koja se afinoˇsć u (o = AO : C1,C) 

preslikava u elipsu, a k(O, |OA2| = b) neka 

je mala tjemena kruˇznica koja se afinoˇsć u 

(o = CO : A2,A) preslikava takoder u tu 

istu elipsu. Srediˇstem O kruˇznice povucimo 

polupravac koji veliku kruˇznicu siječe u točki 

P , a malu u točki Q. Prva afinost točku 

P (xP ,yP ) preslikava u P čije koordinate su 

P (xP , b 

a yP ). Druga afinost točku Q(xQ,yQ) 

preslikava u Q čije koordinate su Q( a 

b xQ,yQ).


Pokaˇzimo da su točke P i Q jednake. Naime, iz sličnosti trokuta OQQ1 i OPP1 

slijedi da je |OQ| 

|OP| 

= |OQ1| 

|OP1| , tj. b 

a 

= xQ 

xP , pa je xP = a 

b xQ. Dakle, promatrane točke 

imaju jednake prve koordinate. Iz iste sličnosti imamo |OQ| 

|OXP| 

= |QQ1| 

|PP1| 

, tj. 

b 

a 

= yQ 

yP , 

pa je yQ = b 

a yP . Dakle, promatrane točke imaju jednake i druge koordinate, tj. 

P = Q = T . Zbog prve afinosti točka T pripada zraci afinosti kroz P , tj. pripada 

okomici na OA kroz P , a zbog druge afinosti točka T pripada zraci afinosti kroz Q, 

tj. pripada okomici na OC kroz Q. Time se točka T dobiva kao presjek okomica 

kroz točke P i Q. Ovime je analiza zadatka gotova. 

Konstrukcija točke elipse provodi se 

tako da povučemo bilo koju zraku kroz 

O. Ona siječe malu tjemenu kruˇznicu 

u točki Q, a veliku u P . Točkom P 

spustimo okomicu na os AB, a točkom 

Q okomicu na os CD. Te se okomice 

sijeku u točki T koja pripada elipsi. 

Primjer 3.4. Perspektivna afinost zadana je svojom osi o i parom pridruˇzenih 

točaka T ↦→ T . Dana je kruˇznica k(S, r). Konstruirajmo glavne osi elipse dobivene 

kao afina slika kruˇznice k. 

Rjeˇsenje ovog primjera temeljimo na primjeni teorema da u skupu pravih kutova 

s vrhom u točki T postoji jedan pravi kut koji se danom perspektivnom afinoˇsć u 

preslikava u pravi kut. 

Neka je k(S, r) dana kruˇznica. Prvo 

preslikamo njezino srediˇste u točku S i 

nademo presjek M simetrale duˇzine SS 

i osi o. Opiˇsemo kruˇznicu sa srediˇstem 

u M kroz točke S i S. Ona siječe os 

o u točkama K i L. Povučemo pravce 

SL, SK, SL i SK. Prema Talesovom 

teoremu o obodnom kutu nad promjerom 

pravci SL i SK su okomiti, a 

isto tako i drugi par pravaca. Neka su 

k ∩ SK = {1, 2} i k ∩ SL = {3, 4}. 

Njihove afine slike su tjemena traˇzene 

elipse.


Rytzova konstrukcija elipse. Ovo je konstrukcija koju koristimo pri 

odredivanju glavnih osi elipse u slučaju kad je dan jedan par konjugiranih promjera 

elipse. 

Analiza. Neka su dane kruˇznice k(O, a) ik(O, b) koje su tjemene kruˇznice 

elipse E s glavnim osima CA i BD. Neka su OP1 i OQ1 dva medusobno okomita 

polumjera kruˇznice k(O, a). Polumjer OP1 siječe kruˇznicu k(O, b) u točki P2, a 

polumjer OQ1 siječe ju u točki Q2. Kao ˇsto je opisano u konstrukciji elipse pomoću 

dvije tjemene kruˇznice, točke P1 i P2 odreduju točku elipse P , a točke Q1 i Q2 

odreduju točku elipse Q. Duˇzine OP i OQ su par konjugiranih polumjera elipse E. 

Rotirajmo pravokutni trokut Q1QQ2 za 90 ◦ tako da se Q1 preslika u P1. Slika 

tog trokuta je P1QP2. Vrijede sukladnosti 

△P1QP2 ∼ = △Q1QQ2 ∼ = △P1PP2, 

pri čemu posljednja sukladnost vrijedi jer se radi o pravokutnim trokutima čiji ˇsiljasti 

kutovi su kutovi s okomitim kracima i |P1P2| = |Q1Q2|. 

Dakle, PP1QP2 je pravokutnik čije stranice su paralelne s osima elipse. Presjek 

dijagonala tog pravokutnika označimo sa R. Neka pravac P Q siječe veliku os u točki 

M, a malu u točki N. 

Dokaˇzimo da vrijedi |MQ| = a i |NQ| = b. Prvo zamijetimo da je trokut ORM 

jednakokračan s osnovicom OM, jer je sličan jednakokračnom trokutu P2RP . Osim 

toga je |RQ| = |RP1| jer je R srediˇste pravokutnika. Dakle, vrijedi 

a = |OP1| = |OR| + |RP1| = |MR| + |RQ| = |MQ|. 

Analogno, promatrajući jednakokračan trokut NOR dobivamo da je 

b = |OP2| = |OR|−|RP2| = |NR|−|QR| = |NQ|.


Osim toga iz jednakokračnosti trokuta ORM i NOR dobivamo da je |OR| = 

|RM| = |RN|, pa točke M,N i O leˇze na kruˇznici sa srediˇstem u R i promjerom 

MN. Ovime je gotova analiza problema. Konstrukcija glavnih osi elipse ako su 

zadana dva medusobno konjugirana polumjera OP i OQ sada slijedi ovako: rotiramo 

polumjer OQ za 90 ◦ u poloˇzaj OQ. Nademo poloviˇste R duˇzine P Q i opiˇsemo 

kruˇznicu k(R, |OR|). Ta kruˇznica siječe pravac P Q u točkama M i N. Na pravcima 

OM i ON leˇze glavne osi elipse, a njihove duljine su |MQ| i |NQ|. 

Primjer 3.5. Iz točke T izvan elipse konstruirajmo tangente na elipsu i odredimo 

diraliˇsta primjenom perspektivne afinosti. Elipsa je odredena poluosima a i b, (a =4, 

b =2.4). 

Promotrimo afinost koja temeljnu kruˇznicu k(O, a = |OC1|) preslikava u elipsu 

tako da točku C1 preslikava u C, (|OC| = b) i os afinosti je okomica na zraku afinosti 

kroz točku O. Pri toj afinosti točka T je slika neke točke T1 koja se lako konstruira. 

Iz točke T1 povucimo tangente t1 i t2 na kruˇznicu k(O, a). Njihova diraliˇsta su D1 

i D2. Budući da se tangente kruˇznice preslikavaju u tangente elipse, treba pomoću 

afinosti tangente t1 i t2 preslikati u pravce t1 i t2 koji su tangente elipse, a slike 

diraliˇsta D1 i D2 će biti diraliˇsta tangenata i elipse. 

Primjer 3.6. Zadana je elipsa svojim poluosima i pravac p. Konstruirajmo tangente 

elipse koje su paralelne s pravcem p.

Uvod. Projiciranje. Kolineacija i afinost.Elipsa - Pmf

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?