Konveksni skupovi, interpolacija, afina invarijantnost Bézier ... - Pmf

Konveksni
skupovi
Konveksne
kombinacije i
homogene
koordinate
Karakterizacija konveksnih skupova
Teorem
Konveksna ljuska skupa A ⊂ Rd je skup svih točaka koje su
konveksne kombinacije točaka u A.
Dokaz. Neka je W (A) skup svih točaka koje su konveksne
kombinacije točaka u A. Pokažimo prvo da je W (A)
konveksan, iz čega slijedi da je conv(A) (konveksna ljuska
skupa A) sadržana u W (A), budući da je conv(A) najmanji
konveksan skup koji sadrži A, i da je očito A ⊂ W (A). Neka
su y i z točke u W (A), pokažimo da je segment izme ¯du njih
tako ¯der sadržan u W (A). Imamo
y =
k
βixi i z =
i=1
k
γixi,
i−1
pri čemu je βi,γi ≥ 0i βi = γi = 1.

Konveksni
skupovi
Konveksne
kombinacije i
homogene
koordinate
Karakterizacija konveksnih skupova
Uzmemo li konveksnu kombinaciju dva elementa u W (A):
k
i=1 ((1 − α)βi + αγi)xi
ona je očito u W (A) jer je suma koeficijenata 1 i oni su svi
nenegativni, pa smo pokazali da je conv(A) ⊂ W (A).
Obratno, pokažimo da je W (A) ⊂ conv(A). Dokazujemo da
je konveksna kombinacija k točaka u A u conv(A)
indukcijom. Za k = 1 to je trivijalno, jer je A ⊂ conv(A). Za
k > 1 neka je w := a1x1 + ...alxk i ak = 1. Drugačije
napisano,
w =(1−ak)[ a1
x1 +
1 − al
a2
x1 + ...+
1 − a2
ak−1
xk−1]+akxk
1 − ak
Vektor u [ ] je konveksna kombinacija k − 1 elemenata u A,
pa je po pretpostavci u conv(A), a w je koveksna
kombinacija tog vektora i xk ,pajetako¯der u conv(A).

Konveksni
skupovi
Konveksne
kombinacije i
homogene
koordinate
Konveksne kombinacije homogenih vektora
Točka u R 3 ima razne homogene reprezentacije, a afina (i
spec. konveksna) kombinacija može dati različite rezultate,
u ovisnosti koja se homogena reprezentacija koristi.
v0 = (0, 0, 0, 1)
v1 = (1, 0, 0, 1) ≡ (2, 0, 0, 2) =:v ′ 1 .
1
2 v0 + 1
2 v1 = ( 1
, 0, 0, 1)
2
1
2 v0 + 1
2 v ′ 1 =
3
(1, 0, 0,
2 ).
Prva je reprezentacija točke u Euklidskom prostoru na
polovici 0ii,audrugoj točke ( 2
3 , 0, 0), pajetežina i povećana.

Konveksni
skupovi
Konveksne
kombinacije i
homogene
koordinate
Konveksne kombinacije homogenih vektora
Pretpostavimo da točka x ∈ R 3 ima homogenu
reprezentaciju oblika (wx, w). Neka su x1,...xk točke u R 3 i
w1,...wk pozitivni skalari, tako da su (wixi, wi) homogene
reprezentacije xi. Promotrimo konveksnu kombinaciju
k
αi(wixi, wi).
i=1
Problem: Koja točka y ∈ R 3 ima ovu homogenu
reprezentaciju?

Konveksni
skupovi
Konveksne
kombinacije i
homogene
koordinate
Konveksne kombinacije homogenih vektora
Računamo
k
αi(wixi, wi) =
i=1
k
(αiwixi,αiwi) =
i=1
(
k
αiwixi,
i=1
k
i=1
k i=1 αiwi) ≡ (
αiwixi
k i=1 αiwi
, 1)
pa smo dokazali da je u Euklidskom prostoru
y =
k
i=1
αiwi
k j=1 αjwj
xi.

Konveksni
skupovi
Konveksne
kombinacije i
homogene
koordinate
Konveksne kombinacije homogenih vektora
Dokazali smo dakle da je konveksna kombinacija
k
i=1 αi(wixi, wi) homogena reprezentacija točke y ∈ R 3 ,
takva da je y konveksna kombinacija x1,...xk,
y =
k
βixi,
i=1
s tim da za koeficijente β1,...βk vrijedi
β1 : β2 : ...βk = α1w1 : α2w2 ...αkwk.
wi služe kao težine kojima se podešava "važnost" točaka xi
u konveksnoj kombinaciji.

Konveksni
skupovi
Konveksne
kombinacije i
homogene
koordinate
Konveksne kombinacije homogenih vektora
Teorem
Neka je A skup točaka u R3 iAH skup četvorki takav da je
svaki element AH homogena reprezentacija neke točkeuA.
Pretpostavimo da je četvrta komponenta svakog člana u AH pozitivna. Tada je svaka konveksna kombinacija elemenata
AH konveksna reprezentacija neke točke u konveksnoj ljusci
od A.
Dokaz: slijedi iz prethodnog. Napomena: Konveksne
kombinacije u homogenim koordinatama sačuvane su ne
samo kod afinih transformacija, nego i kod transformacija
perspektive. Zapravo, sve linearne kombinacije - jer je za
4 × 4 matricu M
M(
αiui) =
αiM(ui).
i
i

Konveksni
skupovi
Konveksne
kombinacije i
homogene
koordinate
Afine i perspektivne transformacije
Neka je A afina transformacija na Euklidskom prostoru i
x ∈ R 3 , tada je
A(x) =Bx + A(0)
gdje je B linearni operator na pridruženom vektorskom
prostoru. Vrijedi
A(
aixi) =B
i
aixi + A(0)
i
=
aiBxi +
i
aiA(0)
i
=
(aiBxi + aiA(0))
i
=
aiA(xi). i

Konveksni
skupovi
Konveksne
kombinacije i
homogene
koordinate
Kontraprimjer
Zadatak
Konveksne kombinacije Euklidski točaka u R3 nisu
sačuvane perspektivnom transformacijom. Promotrite
preslikavanje
(x, y, z) ↦→ (x/z, y/z, 0).
Napišite 4 × 4 matricu homogenu matricu koja predstavlja
ovu transformaciju i pogledajte slike točaka (0, 0, 3), (2, 0, 1)
i (1, 0, 2) nakon transformacije. Zašto to pokazuje da se
konveksne kombinacije ne čuvaju?

Konveksni
skupovi
Konveksne
kombinacije i
homogene
koordinate
Afina invarijantnost Bézier-ovih krivulja
Teorem
Neka je M afina transformacija i q(u) Bézier-ova krivulja s
kontrolnim poligonom {Pi}. Tada je Mq(u) Bézier-ova
krivulja s kontrolnim poligonom {MPi}, tj. afina slika
Bézier-ove krivulje je Bézier-ova krivulja odre ¯dena afinom
transformacijom svojeg kontrolnog poligona.
Dokaz. Ovo je jasno iz algoritma deCasteljau, budući da se
vrijednost q(u) dobiva konveksnim kombinacijama vrhova
kontrolnog poligona, a konveksne kombinacije se kod afinh
transformacija čuvaju prema prethodnom.
Napomena. Iz gornjeg je jasno da perspektivne
transformacije ne čuvaju Bézier-ovu krivulju.