Strukture podataka i algoritmi - Pmf

Sveu ili te u Zagrebu 

PMF Matemati ki odjel 

Strukture podataka i algoritmi 

Poglavlje 6 -- Algoritmi 

Zvonimir Bujanovi 

Igor Jelaska 

Krunoslav Pulji 

6.1. Divide and conquer 

Imamo po etni problem X. 

Metoda divide-and-conquer je primjenjiva ako: 

X se mo e podijeliti na niz manjih potproblema A, B, C, ... 

svaki od potproblema A, B, C... je problem istog tipa kao problem 

X 

potproblemi A, B, C... su disjunktni ili imaju vrlo maleni presjek 

rje enje cijelog problema X mogu e je dobiti spajanjem rje enja 

potproblema A, B, C... 

postupak rastavljanja na potprobleme i spajanja se mo e 

efikasno izvesti 

22.1.2008 Strukture podataka i algoritmi - vje be 3 

Oblikovanje algoritama 

obradit emo 4 pristupa rje avanju problema, tj. 4 tipa 

algoritama: 

pohlepni pristup (greedy) 

divide and conquer (podijeli pa vladaj) 

dinami ko programiranje 

backtracking 

generalno, svaki problem tra i neki svoj pristup, ne mo emo 

sve algoritme svrstati u ove 4 kategorije 


Primjer QuickSort 

dana je lista L=(a 1 , a 2 , ..., a n ) koju treba sortirati. 

promotrimo sljede u ideju za sortiranje: 

premjestimo sve elemente liste koji su manji od a 1 lijevo od a 1 , a 

sve elemente koji su ve i ili jednaki desno od a 1 

element a 1 je sada na svom ispravnom mjestu u sortiranoj listi 

neka je L 1 lista elemenata lijevo od a 1 , a L 2 lista elemenata 

desno od a 1 

ponovimo (rekurzivno!) ovaj isti postupak na listama L 1 i L 2 

dobili smo sortiranu polaznu listu 

22.1.2008 Strukture podataka i algoritmi - vje be 4


po etni problem X = sortiranje liste L 

potproblemi: 

A = sortiranje liste L 1 

B = sortiranje liste L 2 

spajanje rezultata od A i B trivijalno 

klju no u algoritmu: 

efikasno izvesti podjelu na potprobleme! 

(tj. efikasno dovesti pivotni element a 1 na kona no mjesto) 



L = (26, 5, 27, 1, 61, 11, 59, 15, 48, 19) po etna pozicija 

l 

Kursor l se pomi e do prvog broja ve eg od 26: 

L = (26, 5, 27, 1, 61, 11, 59, 15, 48, 19) 

l 

Kursor r se pomi e do prvog broja manjeg od 26 (ne mi e se!): 

L = (26, 5, 27, 1, 61, 11, 59, 15, 48, 19) 

l 


r 

r 

r 


Dovo enje pivotnog elementa na pravo mjesto. 

Primjer: L = (26, 5, 27, 1, 61, 11, 59, 15, 48, 19) 

Pivotni element a 1 = 26 

Postavimo dva kursora: 

kursor l kre e od druge pozicije u listi i ide prema desno sve 

dok ne nai e na element koji je ve i od a 1 

kursor r kre e od zadnje pozicije u listi i ide prema lijevo sve 

dok ne nai e na element koji je manji od a 1 



Elementi na kojima su kursori stali se zamijene: 

L = (26, 5, 19, 1, 61, 11, 59, 15, 48, 27) 

l 

Kursori se nastavljaju pomicati po istoj logici... 

L = (26, 5, 19, 1, 61, 11, 59, 15, 48, 27) 

l 

...sve dok se ne "prekri e": 

L = (26, 5, 19, 1, 15, 11, 59, 61, 48, 27) 

l 

r 


r 

r


Kada se prekri e, zamijenimo pivotni element sa onim iznad r: 

L = (26, 5, 19, 1, 15, 11, 59, 61, 48, 27) 

Sada je pivotni element na pravom mjestu! 

L = (11, 5, 19, 1, 15, 26, 59, 61, 48, 27) 

L 1 L2 


} 

QuickSort Algoritam 

... 

while( l = end ) return; 

while( l

Zadatak 6.1. 

(11, 5, 19, 1, 15) 26 [59, 61, 48, 27] (0..4) 

l r 

(11, 5, 1, 19, 15) 26 [59, 61, 48, 27] (0..4) 

l r 

(1, 5) 11 [19, 15] 26 [59, 61, 48, 27] (0..1) 

l r 

(1, 5) 11 [19, 15] 26 [59, 61, 48, 27] (0..1) 

l r 

1, 5, 11 (19, 15) 26 [59, 61, 48, 27] (3..4) 

l r 

1, 5, 11 (19, 15) 26 [59, 61, 48, 27] (3..4) 

l r 

1, 5, 11, 15, 19, 26 (59, 61, 48, 27) (6..9) 

l r 

1, 5, 11, 15, 19, 26 (59, 27, 48, 61) (6..9) 

l r 


Sortiranje silazno? 

to ako trebamo silazno sortirati listu? 

Umjesto , koristimo relaciju ure aja . 

BST: 

a 

>a 

a 

Hrpa: roditelj je od djece. 

9 

5 3 

4 1 

QuickSort: l ide udesno sve dok ne nai e na 

manjeg od pivotnog elementa, a 

sve dok ne nai e na ve eg. 


Zadatak 6.1. 

1, 5, 11, 15, 19, 26 (48, 27) 59, 61 (6..7) 

l r 

1, 5, 11, 15, 19, 26 (48, 27) 59, 61 (6..7) 

l r 

1, 5, 11, 15, 19, 26, 27, 48, 59, 61 


Zadatak 6.2. (DZ) 

Sortirajte silazno listu L=(5, 3, 8, 10, 4, 6, 7, 4, 2) pomo u: 

(a) hrpe; 

(b) binarnog stabla tra enja; 

(c) QuickSort algoritma. 

Listu ne smijete prvo sortirati uzlazno! 


Primjer mno enje matrica 

Dane su matrice A i B reda N. elimo to efikasnije izra unati 

C= A + B. 

Klasi ni algoritam: c ij = k = 1..N a ik b kj 

Za svaki c ij treba N zbrajanja i mno enja ukupno O( N 3 ) 

Divide-and-conquer ideja: pretp. N=2k ; podijelimo matrice A i B 

na (N/2) x (N/2) podmatrice: 

A11 A12 B11 B12 C11 C12 = 

A21 A22 B21 B22 C21 C22 22.1.2008 Strukture podataka i algoritmi - vje be 17 


Strassenovo mno enje: 7 mno enja i 10 zbrajanja 

P = ( A11 + A22 ) ( B11 + B22 ) T( N ) = T( 2 

Q = ( A21 + A22 ) B11 R = A11 ( B12 B22 ) 

S = A22 ( B21 B11 ) 

T = ( A11 + A12 ) B22 U = ( A21 A11 ) ( B11 + B12 ) 

V = ( A12 A22 ) ( B21 + B22 ) 

k ) 

= 7 * T( 2k-1 ) 

= 7k * T( 1 ) 

= 7k = 2k * a 

= N a 

a = log2 7 2.807 < 3 

C 11 = P + S T + V; C 12 = R + T; 

C 21 = Q + S; C 22 = P Q + R + U. 



Slijedi: 

C 11 = A 11 B 11 + A 12 B 21 

C 12 = A 11 B 12 + A 12 B 22 

C 21 = A 21 B 11 + A 22 B 21 

C 22 = A 21 B 12 + A 22 B 22 

Ukupno: 8 mno enja i 4 zbrajanja matrica reda N/2. 

T( p ) = broj mno enja dvaju brojeva kod mno enja matrica reda p 

T( N ) = 8 * T( N / 2 ); 

T( 1 ) = 1 

Slijedi: T( N ) = T( 2 k ) = 8 * T( 2 k-1 ) = ... = 8 k T( 1 ) = N 3 . 

Ovim nismo pobolj ali slo enost. 


Zadatak 6.3. (DZ * * * ) 

Dane su koordinate N to aka u ravnini. Potrebno je prona i kolika 

je udaljenost izme u dvije najbli e to ke. 

(a) Napi ite o iti algoritam koji izra unava udaljenost izme u 

svake dvije to ke. Uvjerite se da je njegova slo enost O( N 2 ). 

(b) Koriste i divide-and-conquer pristup, osmislite (ili na ite na 

Internetu) algoritam koji tra enu udaljenost izra unava u 

slo enosti boljoj od O( N 2 ). [mo e se napraviti algoritam koji radi 

u O( N log 2 N ). ] 


6.2. Dinami ko programiranje 

Imamo po etni problem X. 

Metoda dinami kog programiranja je primjenjiva ako: 

X se mo e podijeliti na niz manjih potproblema A, B, C, ... 

svaki od potproblema A, B, C... je problem istog tipa kao problem 

X 

rje enje cijelog problema X mogu e je dobiti spajanjem rje enja 

potproblema A, B, C... 

potproblemi A, B, C... nisu nu no disjunktni (mogu imati i veliki 

presjek), ali ukupan broj razli itih potproblema koji se javljaju 

prilikom rekurzivnog dijeljenja na potprobleme je malen (tj. 

rje enja svih potproblema odjednom stanu u memoriju) 


Zadatak 6.4. 

Rje enje. Prethodni algoritam je VRLO spor: za ra unanje npr. 33 

povrh 16 mu treba preko 30 sekundi (Core2Duo @ 1.83MHz) 

Problem velik broj puta pozove rekurziju sa jednim te istim 

parametrima (usporedi sa Fibonnacijevim brojevima iz Prog(C)!) 

Uo i: kod ra unanja "n povrh m" treba nam ukupno manje od nm 

razli itih vrijednosti oblika "i povrh j"! 

Stoga ih sve mo emo pamtiti u tablici i u rekurziju i i samo ako 

neki par jo nismo izra unali. 


Zadatak 6.4. 

Razradite algoritam za ra unanje "n povrh m" pomo u dinami kog 

programiranja. 

Rje enje. Uvijek je potrebno prvo napisati rekurzivnu formulu 

kojim se problem svodi na manje potprobleme. 

n n n n-1 n-1 

=1 =1 = + 

0 n m m-1 m 

int povrh( int n, int m ) 

{ 

if( m == 0 || n == m ) return 1; 

} 

return povrh( n-1, m-1 ) + povrh( n-1, m ); 


Rje enje. Top-down pristup: 

Zadatak 6.4. 

// ako je POVRH[n][m]==0, jos nije izracunat 

int POVRH[MAXN][MAXM] = { 0 }; 

int povrh( int n, int m ) 

{ 

if( POVRH[n][m] != 0 ) return POVRH[n][m]; 

if( m == 0 || n == m ) return POVRH[n][m] = 1; 

} 

POVRH[n][m] = povrh( n-1, m-1 ) + povrh( n-1, m ); 

return POVRH[n][m]; 


Zadatak 6.4. 

Rje enje. Bottom-up pristup redak po redak punimo tablicu 

(Pascalov trokut!): 

int POVRH[MAXN][MAXM] = { 0 }; 

int povrh( int n, int m ) // pretp. n >= m 

{ 

int i, j; 

} 

for( i = 0; i

2 

8 

Zadatak 6.5. rje enje 

2 

0 1 2 

3 

0 1 2 

0 0 8 5 

D (0) = 1 3 0 8 

2 2 0 

5 

0 1 2 

0 0 8 5 

D (1) = 1 3 0 8 

2 5 2 0 

0 1 2 

0 0 8 5 

D (-1) = 1 3 0 

2 2 0 

0 1 2 

0 0 7 5 

D (2) = D = 1 3 0 8 

2 5 2 0 

Ovo je Floydov algoritam za nala enje svih najkra ih puteva u 

grafu. Slo enost: O( n 3 ). Bottom-up pristup je ovdje bolji. 



5 1 7 

to ako osim duljine treba na i i sam put? 

Dovoljno je zapamtiti samo neki vor u najkra em putu od u do v: 

P[ u ][ v ] = k, ako je k neki vrh na najkra em od u do v 

P[ u ][ v ] = -1, ako je najkra i put od u do v ujedno i brid od u do v 

U primjeru gore (npr.): 

P[ 5 ][ 2 ] = 3; (put = [5 ... 3 ... 2]) 

P[ 5 ][ 3 ] = 1; (put = [5 ... 1 ... 3 ... 2]) 

P[ 5 ][ 1 ] = -1; (put = [5 1 ... 3 ... 2]) 

3 2 

P[ 1 ][ 3 ] = 7; (put = [5 1 ... 7 ... 3 ... 2]) 

P[ 1 ][ 7 ] = -1; (put = [5 1 7 ... 3 ... 2]) 

P[ 7 ][ 3 ] = -1; (put = [5 1 7 3 ... 2]) 

P[ 3 ][ 2 ] = -1; (put = [5 1 7 3 2]) 



#define INFTY ... // neki veliki broj 

#define n ... // broj vrhova grafa 

void floyd( float A[n][n], float D[n][n] ) 

{ 

int u, v, k; 

} 

for( u = 0; u < n; ++u ) 

for( v = 0; v < n; ++v ) 

D[u][v] = ( u == v ) ? 0 : A[u][v]; 

for( k = 0; k < n; ++k ) 

for( u = 0; u < n; ++u ) 

for( v = 0; v < n; ++v ) 

if( D[u][k] + D[k][v] < D[u][v] ) 

D[u][v] = D[u][k] + D[k][v]; 



#define INFTY ... // neki veliki broj 

#define n ... // broj vrhova grafa 

void floydPamtiPut( float A[n][n], float D[n][n] ) 

{ 

... // (pocetak isti kao prije) 

for( u = 0; u < n; ++u ) 

for( v = 0; v < n; ++v ) 

P[u][v] = -1; 

} 

for( k = 0; k < n; ++k ) 

for( u = 0; u < n; ++u ) 

for( v = 0; v < n; ++v ) 

if( D[u][k] + D[k][v] < D[u][v] ) { 

D[u][v] = D[u][k] + D[k][v]; 

P[u][v] = k; 

} 


6.3. Pohlepni pristup (greedy) 

Kod pohlepnog pristupa promatramo to nam je u danom trenutku najbolje 

("lokalno optimalno") u initi. 

Pohlepni algoritmi vrlo esto ne daju optimalno rje enje, ali mogu dati 

solidnu aproksimaciju. 

Primjer. Potrebno je isplatiti iznos od 62kn koriste i to je mogu e manji broj 

nov anica od 50, 20, 10, 5, 2 i 1kn. 

to je najbolje napraviti u prvom koraku? Iskoristiti najve u nov anicu 

50kn. 

Preostaje isplatiti 12kn opet iskoristimo najve u 10kn. 

Preostaje isplatiti 2kn iskoristimo najve u 2kn. 

Isplatili smo cijeli iznos koriste i 3 nov anice; lako se vidi da je to optimalno. 


Zadatak 6.6. (DZ) 

Dan je broj N, te N nov anica u apoenima A[0], A[1], ..., A[N-1]. 

Koriste i dinami ko programiranje napi ite funkciju koja kao 

parametar prima iznos koji treba isplatiti koriste i dane apoene, a 

vra a minimalan broj nov anica. 

Uputa. Neka je 

P( n, k ) = min. broj nov anica potreban da se isplati iznos od k 

kuna koriste i nov anice A[0], A[1], ..., A[n]. 

Poka ite da vrijedi: 

P( n, k ) = min { P( n-1, k ), 1 + P( n, k A[n] ) } 


6.3. Pohlepni pristup (greedy) 

Primjer. Mo e se pokazati da pohlepni pristup funkcionira za svaki iznos 

kojeg treba isplatiti (ako koristimo standardni skup nov anica). 

to ako treba isplatiti 14kn pomo u nov anica od 8, 5 i 2kn? 

to ako treba isplatiti 14kn pomo u nov anica od 8, 5, 2 i 0.01kn? 


Zadatak 6.7. 

Problem trgova kog putnika: 

Trgova ki putnik eli posjetiti niz gradova i vratiti se u polazni. Ako 

znamo vrijeme putovanja izme u svaka dva grada, kako napraviti 

plan putovanja tako da svaki grad (osim polaznog) posjeti to no 

jednom i da ukupno vrijeme putovanja bude najmanje mogu e? 

Udaljenost dviju to aka 

ra unamo kao euklidsku 

udaljenost tih to aka u 

ravnini. 


Matrica udaljenosti: 


duljina = 50 duljina = 48.39 


Na po etku je T prazan graf sa 

vrhovima a, b, c, d, e, f. 

Dodajemo najkra i brid to je (d, e) 

duljine 3. 

Sada je E = { (d, e) }. 




Ovaj problem je NP-te ak (ne postoji polinomijalni algoritam koji ga egzaktno 

rje ava). 

Opisujemo pribli ni, pohlepni algoritam. 

Rje enje spremamo u graf T=( V, E ), V = vrhovi, E = bridovi. 

Na po etku: T = ( V, O). Neka E g= skup svih bridova u polaznom grafu. 

Algoritam: 

Ponavljaj n puta (n = broj gradova) 

odaberi i dodaj u skup E najkra i brid b iz skupa E g \ E sa ovim svojstvima: 

(a) brid b ne e prouzro iti da se u T neki vrh bude stupnja 3 ili ve eg 

(b) brid b ne e zatvoriti ciklus u T, osim ako se u E ve ne nalazi n-1 bridova 

i ako b ne spaja jedina 2 vrha stupnja 1. 



Dodajemo najkra i brid koji zadovoljava 

(a) i (b) to je (b, c) ili (a, b) ili (e, f), svi 

duljine 5. 

Vidimo da ih sve mo emo dodati u bilo 

kojem redoslijedu u graf. 

Sada je E = { (d, e), (b, c), (a, b), (e, f) }. 



Idu najkra i brid kojeg poku avamo 

dodati je (a, c) duljine 7.08. 

Ali on bi zatvorio ciklus, tj. naru io (b). 

Idu i najkra i je (d, f) opet ciklus, pa 

ne dodajemo ni njega. 



Dobili smo rje enje ukupne duljine 50, to nije optimalno. 

DZ: Napi ite program koji u itava koordinate N to aka u ravnini i koriste i 

gore opisani algoritam nalazi aproksimaciju optimalne duljine puta 

trgova kog putnika koji obilazi sve u itane to ke. 



Idu i najkra i brid kojeg poku avamo 

dodati je (c, d) duljine 14. 

On zadovoljava (a) i (b), pa ga dodamo. 

Od svih preostalih bridova, jedino (a, f) 

zadovoljava (a) i (b). 


Zadatak 6.8. 

Mirko je dobio na dar okoladu sa m x n "kockica". On je jako praznovjeran i 

prije no to ju pojede, mora ju izlomiti na dijelove koji su kvadrati (tj. oblika k 

x k kockica). Lomljenje jednog dijela je zapravo podjela na dva manja dijela 

koji imaju zajedni ku stranicu: 

U gornjem primjeru 3 x 5 okoladu smo 3 puta lomili da bismo dobili 

kvadratne dijelove. Mirko eli to je mogu e prije po eti jesti okoladu, pa ga 

zanima koliko je najmanje lomljenja potrebno. 


Zadatak 6.8. 

(a) Neka je P( m, n ) minimalni broj lomljenja okolade sa m x n "kockica" 

na kvadratne dijelove. Izvedite rekurzivnu formulu za P( m, n ). 

(b) Koriste i dinami ko programiranje i (a), napi ite funkciju koja prima m i 

n i vra a minimalni broj lomljenja potreban da se dobiju kvadratni 

dijelovi. 

(c) Osmislite i opi ite odgovaraju i pohlepni algoritam. Poka ite primjerom 

da on ne daje optimalni broj lomljenja. 



(a) Trebamo problem P( m, n ) svesti na manje potprobleme. 

Kako sve mo emo prelomiti m x n okoladu? 

"Lom" mo e biti nakon 1. retka ili nakon 2. retka... ili nakon (m-1)-retka. 

"Lom" mo e biti nakon 1. stupca ili nakon 2. stupca... ili nakon (n-1)-stupca. 

Ako prelomimo nakon i-tog retka, ukupan broj lomova je: 

P( i, n ) + P( m - i, n ) + 1 

jer su ostala dva dijela dimenzija i x n i (m - i) x n koje dalje treba lomiti. 

Tra imo optimalno mjesto za lom: 

P( m, n ) = 0, ako je m = n 

P( m, n ) = min { min i { P( i, n ) + P( m - i, n ) + 1 }, 

min j { P( m, j ) + P ( m, n - j ) + 1 } } 



(c) Ako je m > n, odlomimo kvadrat dimenzija n x n (ostane (m-n) x n). 

Ako je n > m, odlomimo kvadrat dimenzije m x m (ostane m x (n-m)). 

Ina e je m = n, pa ve imamo kvadrat. 

int greedy( int m, int n ) { 

int brojLomova = 0; 

} 

while( m != n ) { 

if( m >= n ) { ++brojLomova; m = m n; } 

else if( n >= m ) { ++brojLomova; n = n m; } 

} 

return brojLomova; 

Nije optimalno (hint: pogledajte 5 x 6 okoladu!) 



(b) Koristimo formulu iz (a) i top-down pristup; pamtimo izra unato u polju. 

int P[MAXM][MAXN]; // treba staviti sve elemente na -1 

int coko( int m, int n ) { 

int i, mini = INFTY; 

} 

if( P[m][n] != -1 ) return P[m][n]; 

if( m == n ) return P[m][n] = 0; 

for( i = 1; i < n; ++i ) 

if( coko( m, i ) + coko( m, n-i ) + 1 < mini ) 

mini = coko( m, i ) + coko( m, n-i ) + 1; 

for( i = 1; i < m; ++i ) 

if( coko( i, n ) + coko( m-i, n ) + 1 < mini ) 

mini = coko( i, n ) + coko( m-i, n ) + 1; 

return P[m][n] = mini; 


6.4. Backtracking 

backtracking = "ispitivanje svih mogu ih slu ajeva / kombinacija" 

Primjenjiv kod te kih kombinatornih problema kod kojih ne uspijemo 

konstruirati efikasniji algoritam (npr. problem trgova ki putnik). 

Zamislimo da je tra eno rje enje oblika (x1, x2, ..., xn), gdje je xi Si, a Si neki kona an skup. 

Skup S = S1 x S2 x ... Sn zovemo prostor rje enja; tra imo njegov element 

koji je optimalan u nekom smislu. 

Neki elementi od S mo da ne zadovoljavaju dodatna ograni enja koje na e 

rje enje treba imati, pa njih niti ne uzimamo u obzir. 

U idu em primjeru: x 1 { 1, 2, 3 }, x 2 { 5, 7 }, x 3 { 3, 4 }. 


Zadatak 6.9. 

Napi ite program koji u itava brojeve b, a 0 , a 1 , ..., a n-1 . Program 

treba provjeriti mo e li se broj b dobiti kao rezultat izraza 

dobivenog umetanjem operacija + i izme u brojeva a 0 , ..., a n-1 (u 

tom poretku). 

Na primjer, ako je b = 5, a 0 = 6, a 1 = 2, a 2 = 4 i a 3 = 3, onda 

program treba ispisati "Mo e" (jer je 5 = 6 2 + 4 3). 

Rje enje. 

x 0 = znak izme u a 0 i a 1 (plus ili minus) 

x 1 = znak izme u a 1 i a 2 (plus ili minus) 

... 

x n 2 = znak izme u a n-2 i a n-1 (plus ili minus) 



Prostor rje enja obilazimo rekurzivno postupak mo emo prikazati kao da 

gradimo stablo rje enja: ( vorovi "nastaju" u preorder redoslijedu) 

x 1 = 1 x 1 = 2 x 1 = 3 

x 2 = 5 x 2 = 7 x 2 = 5 x 2 = 7 x 2 = 5 x 2 = 7 

x 3 = 3 x 3 = 4 x 3 = 3 x 3 = 4 



Stablo rje enja (n = 4). U listovima treba provjeriti je li izraz jednak x. 

x 0 = + x 0 = - 

x 1 = + x 1 = - x 1 = + x 1 = - 

x 2 = + x 2 = - x 2 = + x 2 = - x 2 = + x 2 = - x 2 = + x 2 = - 


int b, n, a[100]; 

char x[100]; 

int rek( int dubina ); 

int main( void ) 

{ 

int i; 

scanf( "%d", &b ); 

scanf( "%d", &n ); 

for( i = 0; i < n; ++i ) 

scanf( "%d", &a[i] ); 

} 


if( rek( 0 ) == 1 ) 

printf( "Moze.\n" ); 

else 

printf( "Ne moze.\n" ); 

int suma( void ) 

{ 

int rez = a[0], i; 

for( i=0; i

Stablo rje enja (4 x 4 plo a): 




int ploca[9][9] = {0}; // 0 = prazno, 1 = ima kraljica 

void queens( int stupac ) // stupac = dubina 

{ 

if( kraljice_se_napadaju() ) return; 

if( stupac == 9 ) { // napunili smo plocu 

ispis_ploce(); // a ne napadaju se! 

return; // znaci, imamo rjesenje 

} 

for( red = 1; red

Strukture podataka i algoritmi - Pmf

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?