Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy ró˙zniczkowe
wektora n(p) . Moga ↩ ró˙znić sie ↩ one jedynie zwrotem. Wyka˙zemy, ˙ze nie ró˙znia ↩ sie ↩ ni-
czym. Mamy ψj = ψi ◦ ϕi ◦ ψj , zatem Dψj[ϕj(p)] = Dψi[ϕi(p)] · D
ϕi ◦ ψj [ϕj(p)] .
Macierz D
ϕi ◦ ψj [ϕj(p)] ma k − 1 wierszy i tyle˙z kolumn, macierze Dψj[ϕj(p)] i
Dψi[ϕi(p)] maja↩ po k−1 kolumn i po k wierszy. Do macierzy D
ϕi◦ψj [ϕj(p)] do-
piszmy na górze wiersz postaci 1, 0, 0, . . . , 0 i kolumne ↩ z lewej strony z̷lo˙zona ↩ z jedynki
i k − 1 zer pod nia ↩ . Otrzymana ↩ macierz oznaczmy przez A . Do ka˙zdej z macierzy
Dψj[ϕj(p)] i Dψi[ϕi(p)] dopisujemy z lewej strony ten sam wektor n(p) otrzy-
many dla mapy ψj . Otrzymane macierze kwadratowe oznaczmy odpowiednio przez
Aj oraz Ai . W wyniku otrzymujemy równo´sć Aj = Ai · A . Zachodza↩ oczywi´scie
równo´sci det(A) = det D
ϕi ◦ ψj [ϕj(p)] oraz det(Aj) = det(Ai) det(A) . Wynika
sta ↩ d, ˙ze wyznaczniki macierzy Aj oraz Ai maja ↩ ten sam znak, wie ↩ c oba sa ↩ dodat-
nie. Wobec tego wektory prostopad̷le do TpM otrzymane za pomoca ↩ map ϕj i ϕi
pokrywaja ↩ sie ↩ . Wykazali´smy twierdzenie w jedna ↩ strone ↩ .
Dowód w druga ↩ strone ↩ równie˙z jest prosty. Je´sli n jest cia ↩ g̷lym polem wek-
torów normalnych na M * i ψ jest lokalna ↩ parametryzacja ↩ M okre´slona ↩ na spójnej
dziedzinie, to po dopisaniu do macierzy Dψ z lewej strony kolumny n(p) otrzymu-
jemy macierz k × k , której kolumny sa ↩ liniowo niezale˙zne, wie ↩ c której wyznacznik
jest ró˙zny od 0 . Poniewa˙z jest tak na spójnej dziedzinie, wie ↩ c wyznacznik ten jest
wsze ↩ dzie dodatni lub wsze ↩ dzie ujemny. W drugim przypadku zaste ↩ pujemy parame-
tryzacje ↩ ψ przez przekszta̷lcenie ˜ ψ odwrotne do z̷lo˙zenia symetrii wzgle ↩ dem pod-
przestrzeni k − 2 wymiarowej z mapa ↩ ψ −1 . Wyznacznik macierzy, której pierwsza ↩
kolumna ↩ jest n a naste ↩ pnymi — kolejne kolumny macierzy D ˜ ψ , jest dodatni. Popra-
wiaja ↩ c w ten sposób mapy z wybranego dowolnie atlasu z̷lo˙zonego z map o spójnych
dziedzinach otrzymujemy atlas z̷lo˙zony z map, które oznaczamy przez ϕj . Czytel-
nik zechce sprawdzić, ˙ze ró˙zniczki dyfeomorfizmów postaci ϕj ◦ ϕ −1
i maja↩ dodatnie
wyznaczniki. Oznacza to, ˙ze te mapy definiuja↩ orientacje↩ rozmaito´sci M.
Tak prosto nie mo˙zna scharakteryzować orientowalno´sci rozmaito´sci kowymiaru
wie ↩ kszego ni˙z 1 . G̷lówna ↩ przyczyna ↩ jest to, ˙ze jest „zbyt du˙zo kierunków” prosto-
pad̷lych do podprzestrzeni kowymiaru 2 lub jeszcze wie ↩ kszego.
Po to, by ten problem przewalczyć uciekniemy sie ↩ do przestrzeni sprze ↩ ˙zonej do
przestrzeni liniowej TpM . Be ↩ dziemy zamiast wektorów normalnych rozwa˙zać funk-
cjona̷ly. W istocie rzeczy chodzi o uogólnienie definicji iloczynu wektorowego. Od
razu wypada stwierdzić, ˙ze gdyby chodzi̷lo jedynie o abstrakcyjna ↩ definicje ↩ , to za-
* Ta powszechnie u˙zywana nazwa nie ma nic wspólnego z polityka ↩
7