Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy ró˙zniczkowe
Przeszkadzaja ↩ wierzcho̷lki. Je´sli je (cztery wierzcho̷lki) usuniemy, to otrzymamy dwu-
wymiarowa ↩ rozmaito´sć z brzegiem, która nie jest zwarta. Jest natomiast rozmaito´scia ↩
topologiczna ↩ z brzegiem, bo topologia nie rozró˙znia wierzcho̷lka kwadratu od innych
punktów jego brzegu.
Przyk̷lad 16.7 Zbiór
{(x, y, z): x 2 + y 2 + z 2 ≤ 100, (x − 3) 2 + y 2 + z 2 ≥ 1, (x + 3) 2 + y 2 + z 2 ≥ 1,
x 2 + (y − 3) 2 + z 2 ≥ 1, x 2 + (y + 3) 2 + z 2 ≥ 1}
jest trójwymiarowa ↩ rozmaito´scia ↩ zwarta ↩ , której brzegiem jest suma pie ↩ ciu parami
roz̷la ↩ cznych kul.
Twierdzenie 16.3 (o brzegu rozmaito´sci)
Brzeg rozmaito´sci m –wymiarowej jest albo zbiorem pustym, albo rozmaito´scia ↩ wy-
miaru m − 1 .
Dowód tego „twierdzenia” opuszczamy, by nie demoralizować studentów poda-
waniem a˙z tak ̷latwych rozumowań, ale prosze ↩ sie ↩ przynajmniej przez chwilke ↩ zasta-
nowić nad nim.
Definicja 16.4 (rozmaito´sci orientowalnej)
Rozmaito´sć M (z brzegiem lub bez) nazywana jest orientowalna ↩ wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje taki atlas {Uj, ϕj} , Uj ⊆ M jest otwartym podzbiór przestrzeni M , ϕj
mapa na nim okre´slona, ˙ze je´sli Uj ∩ Uj ′ = ∅ , to det D(ϕj ′ ◦ ϕ−1 j )ϕj(p) > 0 dla
ka˙zdego punktu p ∈ Uj ∩ Uj ′ .
Przyk̷lad 16.8 k –wymiarowa sfera S k = {x ∈ R k+1 : x = 1} jest oriento-
walna. Mo˙zna ̷latwo wskazać atlas z̷lo˙zony z dwu map, rzutów stereograficznych z
punktów (0, 0, . . . , 0, 1) i (0, 0, . . . , 0, −1) . Niech
ϕN(x) =
x1
1−xk+1 ,
x2
xk , . . . , , ϕS(x) = 1−xk+1 1−xk+1
x1
1+xk+1 ,
x2 , . . . ,
1+xk+1
xk .
1+xk+1
Ka˙zde z tych przekszta̷lceń odwzorowuje sfere ↩ bez jednego punktu na ca̷la ↩ prze-
strzeń R k . Osoby, które znaja ↩ twierdzenie Talesa*, moga ↩ stwierdzić bez trudu, ˙ze
dla ka˙zdego y ∈ R k \ {0} zachodzi równo´sć
ϕS ◦ ϕ −1 y
N (y) = .
y2 Zachodzi wie↩ c równo´sć D ϕS ◦ ϕ −1
h
N (y)h = y2 − 2 (y·h)y
y4 . Z niej wynika, ˙ze wektory
h prostopad̷le do y to wektory w̷lasne przekszta̷lcenia D ϕS ◦ ϕ −1
N (y) odpo-
1
wiadaja↩ce warto´sci w̷lasnej y2 , natomiast D ϕS ◦ ϕ −1
1
N (y)y = − y2 y , wie↩ c y
* Mo˙zna te˙z przerachować i zapomnieć o tym pogańskim twierdzeniu.
3