Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy ró˙zniczkowe
do p̷laszczyzny mno˙zonych wektorów, czyli p̷laszczyzny stycznej do rozmaito´sci ∂M
i skierowany „na zewna ↩ trz” M .
Poniewa˙z d̷lugo´sć iloczynu wektorowego dwóch wektorów w R 3 to pole rów-
noleg̷loboku przez nie rozpie ↩ tego, czyli pierwiastek z ich wyznacznika Grama, wie ↩ c
zachodzi równo´sć
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy =
∂M
Mo˙zemy teraz zapisać klasyczna↩ wersje↩ twierdzenia Gaussa–Ostrogradzkiego:
∂M [P, Q, R] · ndℓ∂M =
∂P ∂Q ∂R
M ∂x + ∂y + ∂z dℓ3 =
∂M [P, Q, R] · ndℓ∂M .
M div[P, Q, R]dℓ3 .
Lewa strona zwana jest strumieniem pola [P, Q, R] przez powierzchnie ↩ ∂M .
Zache ↩ cam Państwa do obejrzenia wyprowadzenia „fizycznego” tego twierdzenia, np.
J.Orear „Fizyka”, tom 1, tam fizycy mówia ↩ o liczbie linii si̷l pola. Dok̷ladnie tak samo
wygla ↩ da ten wzór w dowolnym wymiarze:
∂M P · ndℓ∂M =
gdzie P = (P1, P2, . . . , Pm) , div P = ∂P1
∂x1
M div PdℓM ,
+ ∂P2
∂x2
m –wymiarowa ↩ rozmaito´scia ↩ z (m − 1) –wymiarowym brzegiem.
+ · · · + ∂Pm
∂xm *, a M ⊆ Rm jest
Zapewne to dobry moment na podanie wzoru wia ↩ ˙za ↩ cego minory iloczynu macie-
rzy z minorami macierzy mno˙zonych. Za̷ló˙zmy, ˙ze liczba kolumn macierzy A = (ai,j)
jest równa r jest równa liczbie wierszy macierzy B = (bj,n) . Niech (ci,n) = C = AB .
Wybierzmy s wierszy macierzy A , czyli liczby i1 < i2 < . . . < is i tyle˙z samo kolumn
macierzy macierzy B , czyli liczby n1 < n2 < . . . < ns . Wtedy zachodzi równo´sć
det(ciν,nν ) =
det(aiν,jµ ) det(bjµ,nν ) , (G),
j1