Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy ró˙zniczkowe
Poka˙zemy teraz, jak mo˙zna u˙zyć form ró˙zniczkowych do uogólnienia twierdzenia
o orientowalno´sci w kowymiarze 1 (rozmaito´sć jest orientowalna wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje nigdzie niezeruja ↩ ce sie ↩ cia ↩ g̷le pole wektorów normalnych).
Stwierdzenie 16.30 (o orientowalno´sci)
Rozmaito´sć spójna M , klasy C r , wymiaru m jest orientowalna wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje taka forma ω klasy C r−1 , stopnia m okre´slona na M , ˙ze dla ka˙zdego
p ∈ M i dowolnych liniowo niezale˙znych wektorów v1, v2, . . . , vm ∈ TpM zachodzi
nierówno´sć ω(v1, v2, . . . , vm) = 0 .
Dowód. Je´sli taka forma istnieje, to rozmaito´sć mo˙zna zorientować przyjmuja ↩ c,
˙ze uporza ↩ dkowana baza v1, v2, . . . , vm w przestrzeni TpM jest zgodna z orientacja ↩
wtedy i tylko wtedy, gdy ω(v1, v2, . . . , vm) > 0 . Atlas orientuja ↩ cy uzyskujemy roz-
patruja ↩ c te mapy ϕ , dla których kolumny macierzy Dϕ −1 ϕ(x) sa ↩ baza ↩ zgodna ↩
z orientacja ↩ . Jasne jest, ˙ze przy takiej definicji det(D(ψ ◦ ϕ −1 )) > 0 dla dowolnych
map ϕ, ψ spe̷lniaja ↩ cych na̷lo˙zony warunek.
Za̷ló˙zmy teraz, ˙ze rozmaito´sć M jest orientowalna. Niech {(Ui, ϕi)} be ↩ dzie atla-
sem definiuja ↩ cym jej orientacje ↩ , ϕi: Ui −→ R m jest mapa ↩ , której dziedzina ↩ jest zbiór
Ui otwarty w przestrzeni M . Zbiór Vi = ϕi(Ui) jest otwartym podzbiorem R m .
Niech ψi = ϕ −1
i . Zdefiniujemy m –forme↩ ωi na zbiorze Vi . Niech
ωi(y) = det Dψi(y) T · Dψi(y) dy1 ∧ dy2 ∧ . . . ∧ dym .
Poniewa˙z rozmaito´sć jest zorientowana, wie ↩ c dla ka˙zdej parametryzacji ψj zachodzi
równo´sć (ϕi ◦ ψj) ∗ (ωi) = ωj , oczywi´scie na zbiorze Vj ∩ ϕj(Ui ∩ Uj) — obliczenia
bardzo podobne do tych, które mia̷ly miejsce przy sprawdzaniu, ˙ze definicja miary na
rozmaito´sci jest niezale˙zna od wyboru mapy, korzystamy te˙z oczywi´scie z nierówno´sci
det(D(ϕi ◦ ψj)) > 0 . Z tego wynika, ˙ze definiuja ↩ c forme ↩ ω wzorem ω = (ϕi) ∗ (ωi)
na zbiorze Ui . Jasne jest, ˙ze tak zdefiniowana forma spe̷lnia oczekiwane warunki.
Uwaga 16.31 Podany dowód mo˙zna przeprowadzić nieco inaczej. Na zbiorze Ui
mo˙zna okre´slić forme ↩ νi = (ϕi) ∗ (dy1 ∧ dy2 ∧ . . . ∧ dym) . Ta forma nie znika w ˙zad-
nym punkcie zbioru Ui , co wie ↩ cej, przyjmuje dodatnia ↩ warto´sć na dowolnej bazie
przestrzeni TxM , zgodnej z orientacja ↩ , dla ka˙zdego x ∈ Ui . Naste ↩ pnie wpisać g̷ladki
rozk̷lad jedno´sci {αi} w pokrycie {Ui} i zdefiniować forme ↩ ν na ca̷lej rozmaito´sci
M wzorem ν =
i αiνi . Dowód jest nieco krótszy, ale mniej widoczny jest jego
zwia ↩ zek z miara ↩ ma M . Nigdzie nie zeruja ↩ ca sie ↩ forma stopnia m na rozmaito´sci M
cze ↩ sto nazywana jest forma ↩ obje ↩ to´sci na M.
Przejdziemy teraz do uogólnienia twierdzenia Greena na dowolne rozmaito´sci
18