Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy ró˙zniczkowe
1 = (1+u2 +v2 ) 5
2u
−4uv 2(1 + u2 − v2
)
−4u −4v + 2v −4u −4v
2(1 − u2 + v2
) −4uv +
+ (1 − u2 − v2
)
2(1 − u2 + v2 ) −4uv
−4uv 2(1 + u2 − v2
) du ∧ dv =
4 = (1+u2 +v2 ) 5
4u2
−2v 1 + u2 − v2
−1 −v + 4v2 −u −1
1 − u2 + v2
−2u +
+ (1 − u2 − v2
)
1 − u2 + v2 −2uv
−2uv 1 + u2 − v2
du ∧ dv =
2 2 2 2 2 2 2 2 =
4u (2v + 1 + u − v ) + 4v (2u + 1 − u + v ) +
=
=
4
(1+u 2 +v 2 ) 5
4
(1+u 2 +v 2 ) 5
4
(1+u 2 +v 2 ) 4
+ (1 − u2 − v2 )(1 − (u2 − v2 ) 2 − 4u2v2 ) du ∧ dv =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4(u + v )(1 + u + v ) + (1 − u − v ) 1 − (u + v ) du ∧ dv =
4(u 2 + v 2 ) + (1 − u 2 − v 2 ) 2 du ∧ dv =
4
(1+u 2 +v 2 ) 2 du ∧ dv .
Mapa ϕ jest okre´slona na prawie ca̷lej sferze, poza dziedzina↩ jest tylko jeden
punkt: (0, 0, −1) . Wobec tego S2 ω =
R2(ϕ−1 ) ∗ (ω) =
R2 4
(1+u2 +v2 ) 2 du ∧ dv =
=
R2 4
(1+u2 +v2 ) 2 u=r cos θ
4
dℓ2 =======
v=r sin θ
r>0, |θ|