Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...

09.04.2013 Views
Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy ró˙zniczkowe sadzie zwyk̷ly wzór na pochodna ↩ iloczynu uwzgle ↩ dniaja ↩ cy to, ˙ze mno˙zenie zewne ↩ trzne przemienne nie jest. Znaczenie w̷lasno´sci czwartej jest ogromne, ale niestety w analizie brak miejsca na dok̷ladniejsze rozwa˙zania, czy choćby ilustracje. Powiedzmy tylko, ˙ze z tego wzoru p̷lyna ↩ daleko ida ↩ ce wnioski dotycza ↩ ce struktury topologicznej dziedziny, na której rozpatrywane sa ↩ formy ró˙zniczkowe zewne ↩ trzne. Je´sli ϕ: G −→ H jest przekszta̷lceniem klasy C r i ω jest m –forma ↩ na H , to mo˙zna okre´slić forme↩ ϕ∗ (ω) na zbiorze G za pomoca↩ wzoru ϕ∗ (ω)(x)(v1, v2, . . . , vm) = ω ϕ(x) Dϕ(x)v1, Dϕ(x)v2, . . . , Dϕ(x)vm . Oczywi´scie na ogó̷l je´sli ω jest forma ↩ klasy C r , to ϕ ∗ (ω) jest forma ↩ klasy C r−1 . Nie trzeba oczywi´scie zak̷ladać ró˙znowarto´sciowo´sci przekszta̷lcenia ϕ . Mo˙zna ̷latwo sprawdzić, ˙ze spe̷lnione sa ↩ naste ↩ puja ↩ ce wzory: 1. ϕ ∗ (ω + η) = ϕ ∗ (ω) + ϕ ∗ (η) dla dowolnych m –form ω i η ; 2. ϕ ∗ (fω) = f ◦ ϕ · ϕ ∗ (ω) dla dowolnej m –formy ω i dowolnej funkcji ϕ ; 3. ϕ ∗ (ω∧η) = ϕ ∗ (ω)∧ϕ ∗ (η) dla dowolnej m –formy ω i dowolnej n –formy η ; 4. ϕ ∗ (dω) = d ϕ ∗ (ω) dla dowolnej m –formy ω i dowolnej funkcji ϕ Przyk̷lad 16.17 Je´sli ϕ(α, β) = (cos α cos β, cos α sin β, sin α) oraz ω(x, y, z) = xdy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy , to ϕ ∗ (ω)(α, β) = cos α cos β d(cos α sin β)∧ d(sin β)+cos α sin β d(sin β)∧ d(cos α cos β)+ = cos α cos β(− sin α cos β dα + cos α cos β dβ) ∧ (cos αdα) + + cos α sin β(cos αdα) ∧ (− sin α cos β dα − cos α sin β dβ) + + sin αd(cos α cos β) ∧ d(cos α sin β) = + sin α − sin α cos β dα − cos α sin β dβ ∧ − sin α sin β dα + cos α cos β dβ = = − cos 3 α cos 2 β − cos 3 α sin 2 β − sin 2 α cos α cos 2 β − sin 2 α cos α sin 2 β dα ∧ dβ = = − cos αdα ∧ dβ = cos αdβ ∧ dα . Formy ró˙zniczkowe mo˙zna ca̷lkować. Definicja 16.17 (ca̷lki z k –formy na otwartym podzbiorze R k ) Je´sli ω(x) = ω1,2,...,k(x)dx1 ∧ dx2 ∧ . . . ∧ dxk dla x ∈ int G , to definiujemy ω = G G ω1,2,...,k(x)dℓk(x) . Je´sli (i1, i2, . . . , ik) jest permutacja ↩ liczb (1, 2, . . . , k) i dla ka˙zdego x ∈ G spe̷lniona jest równo´sć η(x) = f(x)dxi1 ∧ dxi2 ∧ . . . ∧ dxik , to prawdziwy jest wzór G η = sgn(i1, i2, . . . , ik) G f(x)dℓk , tu symbol sgn(i1, i2, . . . , ik) oznacza znak permutacji (i1, i2, . . . , ik) . Mówimy, ˙ze dyfeomorfizm ϕ: G −→ R k zachowuje orientacje ↩ wtedy i tylko wte- 12

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy ró˙zniczkowe dy, gdy det Dϕ(x) > 0 dla x ∈ G . Mo˙zemy teraz sformu̷lować wa˙zny choć bardzo prosty Lemat 16.18 (o zamianie zmiennych) Je´sli ϕ jest zachowuja ↩ cym orientacje ↩ dyfeomorfizmem zbioru otwartego G ⊆ R k na zbiór ϕ(G) , k –forma ró˙zniczkowa ω jest okre´slona na zbiorze ϕ(G) , to zachodzi równo´sć ω = ϕ(G) G ϕ∗ (ω) . Dowód lematu pomijamy. Polega on na bezpo´srednim zastosowaniu definicji ca̷lki z formy i twierdzenia o zamianie zmiennych w ca̷lce Lebesgue’a. Wyste ↩ puja ↩ ca w twierdzeniu o zamianie zmiennych warto´sć bezwzgle ↩ dna w niczym nie przeszkadza, bo dyfeomorfizm, z którym mamy do czynienia zachowuje orientacje ↩ — wybieramy mapy zgodne z nia ↩ ! Zdefiniujemy teraz ca̷lke ↩ z formy ró˙zniczkowej okre´slonej na rozmaito´sci zwartej. Zaczniemy od twierdzenia, którego uogólnienia Czytelnik mo˙ze znale´zć np. w ksia ↩ ˙zce Ryszarda Engelkinga „Topologia ogólna” lub w krótszej wersji „Zarys topologii ogól- nej”, w rozdziale po´swie ↩ conym przestrzeniom parazwartym. Lemat 16.19 (o wpisywaniu pokryć) Je´sli U1 , U2 ,. . . , Un sa ↩ otwartymi podzbiorami przestrzeni metrycznej X i spe̷lniona jest równo´sć X = U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Un , to istnieja ↩ takie zbiory otwarte V1 , V2 ,. . . , Vn , ˙ze V1 ∪ V2 ∪ . . . ∪ Vn = X oraz Vi ⊆ Vi ⊆ Ui . Dowód. Niech F1 = X \ (U2 ∪ U3 ∪ . . . Un) , H = X \ U1 . Zbiory F1 ⊆ U1 , H sa ↩ domknie ↩ te jako dope̷lnienia otwartych. Oczywi´scie F1∩H = ∅ . Istnieja ↩ wie ↩ c roz̷la ↩ czne zbiory otwarte V1 ⊇ F1 i W ⊇ H . Poniewa˙z V1 ⊆ X \ W , wie ↩ c V1 ⊆ X \ W ⊆ U1 . Oczywi´scie V1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Un = X . W taki sam sposób zaste ↩ pujemy kolejne zbiory U2 , . . . , Un przez mniejsze zbiory V2 ,. . . , Vn — indukcja. Uwaga 16.20 Je´sli dla ka˙zdego i ∈ {1, 2, . . . , n} zachodzi Vi ⊆ Vi ⊆ Ui , to pokrycie {Vi: i = 1, 2, . . . , n} nazywamy wpisanym w pokrycie {Ui: i = 1, 2, . . . , n} . Lemat 16.21 (Urysohna — g̷ladka wersja*) Je´sli zbiory F, H ⊂ R k sa ↩ domknie ↩ te i roz̷la ↩ czne, to istnieje taka nieskończenie wiele razy ró˙zniczkowalna funkcja f: R k −→ [0, 1] , ˙ze f(x) = 0 dla ka˙zdego x ∈ F oraz f(x) = 1 dla ka˙zdego x ∈ H . Dowód. Niech α, β: R k −→ [0, ∞) be ↩ da ↩ takimi funkcjami klasy C ∞ , które zeruja ↩ * Profesor Jerzy Mioduszewski twierdzi, ˙ze ̷Luzin pierwszy to udowodni̷l w tej wersji, a Urysohn zasta ↩ pi̷l g̷ladko´sć cia ↩ g̷lo´scia ↩ i przeniós̷l na dowolne przestrzenie metryczne. 13

Page 1 and 2: Analiza matematyczna 2, Rozmaito´s





Page 11: Analiza matematyczna 2, Rozmaito´s





Page 23: Analiza matematyczna 2, Rozmaito´s

formy

klasy

brzegiem

niech

analiza

matematyczna

macierzy

dowolnej

wynika

dzie

rozmaitosci

www.mimuw.edu.pl

Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...

Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ... ... View more Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...

Delete template?

Save as template ?

Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ... Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...