Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy ró˙zniczkowe
Przyk̷lad 16.16 (x3 dx1 ∧ dx2 +x1 dx2 ∧ dx3 +x2 dx3 ∧ dx1)∧(dx1 + dx2 + dx3) =
=(x1 + x2 + x3)dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 .
Bez wie ↩ kszego trudu mo˙zemy przekonać sie ↩ , ˙ze zachodzi
Twierdzenie 16.14 (o w̷lasno´sciach iloczynu zewne ↩ trznego form)
1. ω1 ∧ (ω2 + ω3) = ω1 ∧ ω2 + ω1 ∧ ω3 dla dowolnej m –formy ω1 i dowolnych
n –form ω2, ω3 ;
2. ω ∧ (tη) = tω ∧ η dla dowolnej m –formy ω , dowolnej n –formy η i dla
dowolnej liczby rzeczywistej t ;
2’. ω ∧ (fη) = fω ∧ η dla dowolnej m –formy ω , dowolnej n –formy η i dla
dowolnej funkcji rzeczywistej f ;
3. ω ∧ η = (−1) mn η ∧ ω dla dowolnej m –formy ω i dowolnej n –formy η .
Definicja 16.15 (ró˙zniczki zewne↩ trznej m –formy ró˙zniczkowej)
d ωi1,i2,...,im (x) dxi1 ∧ dxi2 ∧ . . . ∧ dxim =
i1