Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

a 2 2 + a 2 3 ≥ 2a2a3, a 2 2 + a 2 4 ≥ 2a2a4, ..., a 2 2 + a 2 n ≥ 2a2an, ...,
a 2 n−1 + a 2 n ≥ 2an−1an,
które po dodaniu do siebie stronami prowadzą do następującej nierówności:
(n−1)(a 2 1 +a 2 2 +...+a 2 n) ≥ 2a1a2 +2a1a3 +...+2a1an +2a2a3 +2a2a4 +...+
2a2an + ... + 2an−1an.
Po dodaniu do obu stron tej nierówności sumy: a 2 1 + a2 2 + ...+a2 n otrzymamy
nierówność:
n(a 2 1 + a 2 2 + ... + a 2 n) ≥ (a1 + a2 + ... + an) 2 ,
która równoważna jest nierówności:
a2 1 + a2 2 + ... + a2 2 n a1 + a2 + ... + an
≥
,
n
n
zaś ta - nierówności:
a2 1 + a2 2 + ... + a2
n a1
≥
+ a2 + ... + an
n n .
Stąd otrzymujemy ostatecznie:
a 2 1 + a 2 2 + ... + a2 n
n
gdyż ∀x ∈ R : |x| ≥ x.
Zatem prawdziwe jest twierdzenie, że:
≥ a1 + a2 + ... + an
,
n
Kn ≥ An.
Przeprowadzony zostanie teraz dowód drugiej części twierdzenia mówiącej
o równości średnich: kwadratowej i arytmetycznej.
Zauważmy, że aby otrzymać równość w dowodzonej nierówności, muszą zajść
następujące warunki:
1. We wszystkich nierównościach, które zostały wypisane na początku,
muszą zajść równości.
2. Musi zajść równość w nierówności: |x| ≥ x.
8