Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

Wykonując następujące podstawienie:
xi = 1
,
gdzie liczby a1, a2, ..., an są dodatnie, nierówność przyjmuje postać:
1 1
1
+ + ... + a1 a2 an
n
ai
≥ n
1
·
a1
1
· ... ·
a2
1
.
an
Nierówność ta jest równoważna kolejno nierównościom:
1 1
1
+ + ... + a1 a2 an
n
≥
1
n√ ,
a1 · a2 · ... · an
Funkcja f(x) = x −1 jest funkcją malejącą w zbiorze liczb rzeczywistych
dodatnich, dlatego po jej nałożeniu konieczna jest zmiana znaku nierówności
n√ a1 · a2 · ... · an ≥
a co za tym idzie prawdziwy jest fakt, że:
Gn ≥ Hn.
n
1 1 1 + + ... a1 a2 an
Twierdzenie 1.3 (Twierdzenie o zależności pomiędzy średnimi: kwadratową
i arytmetyczną) Średnia kwadratowa każdych n liczb rzeczywistych
a1, a2, ..., an jest nie mniejsza od ich średniej arytmetycznej, czyli zachodzi
nierówność:
a2 1 + a2 2 + ... + a2n ≥
n
a1 + a2 + ... + an
.
n
Przy czym średnie te są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy a1 = a2 = ... =
an.
Dowód
Zachodzą następujące nierówności:
(a1 − a2) 2 ≥ 0, (a1 − a3) 2 ≥ 0, ..., (a1 − an) 2 ≥ 0,
(a2 − a3) 2 ≥ 0, (a2 − a4) 2 ≥ 0, ..., (a2 − an) 2 ≥ 0, ..., (an−1 − an) 2 ≥ 0,
czyli nierówności:
a 2 1 + a 2 2 ≥ 2a1a2, a 2 1 + a 2 3 ≥ 2a1a3, ..., a 2 1 + a 2 n ≥ 2a1an,
7
,