Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

Dowód przy użyciu nierówności Muirheada
Dowód Weźmy takie ciągi (an) i (bn), że: a = (1, 0, 0, ..., 0), b = ( 1
n
Wówczas:
(an) ≻ (bn).
Z nierówności Muirheada otrzymujemy:
(n − 1)! · (x1 + x2 + ... + xn) ≥ n! · x 1
n
1
Co po podzieleniu przez n! daje:
x1 + x2 + ... + xn
n
· x 1
n
2
≥ n√ x1 · x2 · ... · xn.
· ... · x 1
n ,
1 1 , n , ..., n ).
Dowód przy użyciu nierówności Jensena
Dowód Weźmy takie wagi, że: α1 = α2 = ... = αn = 1
n . Fukcja f(x) =
log(x) jest wklęsła w przedziale (0, ∞), więc dla dowolnych liczb dodatnich
x1, x2, ..., xn zachodzi:
log(α1·x1+α2·x2+...+αn·xn) ≥ α1·log(x1)+α2·log(x2)+...+αn·log(xn),
1
log
n (x1
+ x2 + ... + xn) ≥ 1
n (log(x1) + log(x2) + ... + log(xn)) =
log((x1x2...xn) 1
n ).
Funkcja f(x) = log(x) jest rosnąca, zatem:
x1 + x2 + ... + xn
n
≥ (x1x2...xn) 1
n = n√ x1x2...xn.
Twierdzenie 1.2 (Twierdzenie o zależności pomiędzy średnimi: geometryczną
i harmoniczną) Średnia geometryczna każdych n liczb dodatnich
a1, a2, ..., an jest nie mniejsza od ich średniej harmonicznej, przy czym średnie
te są równe wtedy i tylko wtedy, gdy a1 = a2 = ... = an, czyli zachodzi
nierówność:
n
n√ a1 · a2 · ... · an ≥
1 1 1 + + ... a1 a2 an
Dowód
W dowodzie tego twierdzenia zostanie wykorzystana nierówność pomiędzy
średnimi: arytmetyczną i geometryczną:
x1 + x2 + ... + xn
n
≥ n√ x1 · x2 · ... · xn.
6
.