Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

Recommendations

Info

Średnia kwadratowa Średnią kwadratową n liczb rzeczywistych a1, a2, ..., an nazywamy liczbę: Kn = a 2 1 + a 2 2 + ... + a2 n 1.1.3 Twierdzenia o zależnościach między średnimi Twierdzenie 1.1 (Twierdzenie o zależności pomiędzy średnimi: arytmetyczną i geometryczną) Średnia arytmetyczna każdych n liczb nieujemnych a1, a2, ..., an(n ≥ 2) jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej, przy czym średnie te są równe wtedy i tylko wtedy, gdy a1 = a2 = ... = an, czyli zachodzi następująca nierówność: a1 + a2 + ... + an n n ≥ n√ a1 · a2 · ... · an. Dowód Założenie: nie wszystkie liczby spośród a1, a2, ..., an są równe. Na początek przeprowadzony zostanie dowód przez indukcję po k dla każdej liczby n postaci n = 2 k (k jest liczbą naturalną). 1. Dla k = 1, czyli n = 2 : czyli: a1 + a2 a1 · a2 = 2 2 a1 − a2 − 2 2 √ a1 · a2 < a1 + a2 . 2 . 2 a1 + a2 < , 2 2. Krok indukcyny: Założenie indukcyjne: a1+a2+...+a2k−1 2k−1 ≥ 2k−1√ a1 · a2 · ... · a2k−1. Teza: a1+a2+...+a2k 2k ≥ 2k√ a1 · a2 · ... · a2k. Dowód: a1 + a2 + ... + a (2 k ) 2 k 1 2 · = 1 2 · a1 + a2 + ... + a (2 k−1 ) a1 + a2 + ... + a (2 k−1 ) + a (2 k−1 +1) + ... + a (2 k ) 2 k−1 2 k−1 + a (2 k−1 +1) + ... + a (2 k ) 2 k−1 3 ≥ =
1 2 · ( 2k−1 a1 · ... · a (2 k−1 ) + 2k−1 (a2k−1 +1) · ... · a (2k )) ≥ 2 k−1 a1 · ... · a (2 k−1 ) · 2k−1 a (2 k−1 +1) · ... · a (2 k ) = 2k a1 · ... · a (2 k ). A więc dla każdej liczby n = 2 k nierówność jest prawdziwa. Przeprowadzony zostanie teraz dowód prawdziwości zadanej nierówności dla każdej liczby rzeczywistej nieujmenej. Założenie: m = 2 k > n. An = a1 + a2 + ... + an n = m n · (a1 + ... + an) = m (a1 + ... + an) + m−n n (a1 + ... + an) = m (a1 + ... + an) + (m − n) · An m (a1 + ... + an) + (an+1 + ... + am) = Am ≥ m m√ a1 · ... · am = m a1 · ... · an · An · ... · An = m a1 · ... · an · A m−n . An ≥ m a1 · ... · an · A m−n , A m n ≥ a1 · ... · an · A m−n n , A n n ≥ a1 · ... · an, An ≥ n√ a1 · ... · an = Gn. Poniżej znajduje się dowód drugiej części twierdzenia dotyczącej równości <strong>średnich</strong>: arytmetycznej i geometrycznej. Twierdzenie sformułowane jest jako równoważność, dlatego dowód zostanie przeprowadzony w dwóch krokach. 1. Jeśli a1 = a2 = ... = an, to: An = a1 + a2 + ... + an n Zatem rzeczywiście: An = Gn. n = na1 n n = a1, Gn = n√ a1a2...an = n an 1 = a1. 4 =
Page 1 and 2: Nierówność Cauchy’ego o średn
Page 3: 1 Nierówność Cauchy’ego o śre
Page 7 and 8: Dowód przy użyciu nierówności M
Page 9 and 10: a 2 2 + a 2 3 ≥ 2a2a3, a 2 2 + a
Page 11 and 12: liczby nie zmieniają iloczynu i zw
Page 13 and 14: Zadanie 5 drugiego etapu XLI Olimpi
Page 15 and 16: Twierdzenie 1.11 (O rozwiązaniach
Page 17 and 18: 3. x > 0; y ≤ z < 0. Wówczas: x
Page 19 and 20: Twierdzenie 1.16 (O podzielności i
Page 21 and 22: 1 i a1, ..., ak będą dodatnimi li
Page 23 and 24: Dowód Rozpatrywane równanie: moż
Page 25 and 26: Stąd (korzystając z rozumowania p
Page 27 and 28: Twierdzenie 1.26 (O rozwiązaniach
Page 29 and 30: (a + b + c) 2 a+b+c a+b+c a + b
Page 31 and 32: Wynika stąd, że: 1 a + ab + abc +
Page 33 and 34: Przekształcając równoważnie: n
Page 35 and 36: Nie zawsze na pierwszy rzut oka wid
Page 37 and 38: a, b, c są dodatnie, więc należy
Page 39 and 40: 1.2.2 Sumy i iloczyny Zadanie 1.11
Page 41 and 42: Źródło: "Matematyka" - miesięcz
Page 43 and 44: Źródło: Olimpiada Matematyczna;

Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?