Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

Źródło: Olimpiada Matematyczna; Rosja 1997/98
Przedstawiony poniżej schemat rozumowania jest charakterystyczny
i w pewnym sensie uniwersalny dla zadań tego typu. Polega on na zauważeniu
pewnych charakterystycznych cech zmiennych i współczynników
w równaniu, a następnie na przekształceniu zależności do postaci,
z której łatwo będzie można wywnioskować rozwiązanie. Przy
mniejszych współczynnikach liczbowych na początku można spróbować
odnaleźć rozwiązania "domyślając się" ich, jednak dla dużych
liczb ta strategia z reguły nie przynosi skutku.
Zauważmy, że 1997 jest liczbą pierwszą. Od razu widoczny jest wniosek,
że któraś z liczb x, y musi być jej dzielnikiem. Idąc tym tropem,
wykonując bardzo proste przekształcenia otrzymujemy:
1997x + 1997y − xy + 1997 2 − 1997 2 = 0.
Zauważmy, że wykonując pozornie nic nie znaczącą operację - dodanie
i odjęcie tego samego wyrażenia - równanie przybiera dużo prostszą
do analizy postać:
x(1997 − y) − 1997(1997 − y) = −1997 2 ,
(x − 1997)(y − 1997) = 1997 2 .
Analiza ta była już przeprowadzana wcześniej (podrozdział: Iloczyn
równy m-krotnej sumie). Wynika stąd łatwo, że rozwiązania otrzymamy
dzięki układom:
x − 1997 = ±1997, y − 1997 = ±1997,
x − 1997 = ±1, y − 1997 = ±1997 2 .
Należy pamiętać o rozważeniu przypadków symetrycznych! Stąd oraz
z warunku x ≤ y otrzymujemy, że (x, y) jest jedną z par:
(0, 0), (3994, 3994), (1998, 3990006), (−3986012, 1996).
42