Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

Zatem pożądane jest, aby liczby a, b, c przedstawić w postaci:
Zauważmy, że:
a = 5 α1 · 2 α2 , b = 5 β1 · 2 β2 , c = 5 γ1 · 2 γ2 .
α1, β1, γ1 ≤ 3,
ponieważ 5 4 = 625 > 407, a wszystkie liczby a, b, c są naturalne.
Zapiszmy zatem:
407 = 3 · 125 + 32 = (1 + 2) · 5 3 + 2 5 = 5 3 + 2 · 5 3 + 2 5 .
Jak się okazuje:
5 3 · 2 · 5 3 · 2 5 = 5 6 · 2 6 = 10 6 .
A więc otrzymaliśmy szukany iloczyn z zmaksymalizowaną liczbą zer.
Zatem szuakana licza abc ma na końcu 6 zer dla:
a = 125, b = 250, c = 32.
Zadanie 1.15 Ciekawostka. W jednym z numerów miesięcznika "Delta"
ukazało się takie oto twierdzenie:
Niech x, y, z, m będą liczbami naturalnymi takimi, że: x ≥ y ≥ z oraz
(x + y)(y + z)(z + x) = mxyz.
Wtedy (m, x, y, z) jest jedną z czwórek: (8, 1, 1, 1), (9, 2, 1, 1), (10, 3, 2, 1).
Źródło: Miesięcznik "Delta"; numer 1, 1999 rok
Istotnie, każda z przedstawionych czwórek spełnia warunki zadania.
Przypatrzmy się jednak poniższemu rozumowaniu (korzystając z nierówności
między średnią arytmetyczną i średnią geometryczną):
x + y
2
· y + z
2
· x + z
2 ≥ √ xy · √ yz · √ xz = xyz,
(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz.
Z własności nierówności Cauchy’ego wiemy, że dla x = y = z zachodzi
równość. Zatem rozwiązaniem rozważanego równania jest nie
tylko czwórka (m, x, y, z) równa (8, 1, 1, 1), ale każda czwórka postaci
(8, a, a, a), gdzie a jest dowolną liczbą naturalną.
Zadanie 1.16 Załóżmy, że x ≤ y są takimi liczbami całkowitymi, że xy =
1997(x + y), to (x, y). Wyznacz te liczby.
41