Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.
Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny. Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.
Jeśli c ≥ 2, to z założenia a ≥ 2, b ≥ 2 ⇒ ab ≥ 4, a co za tym idzie: A1 ≥ 3, A2 ≥ 1. W świetle powyższej równości zachodzi również: B1 = 0, B2 = 0, A1 = 3, A2 = 1, co daje rozwiązania: (a, b, c, x, y, z) = (2, 2, 2, 6, 1, 1). Odpowiednio założenie z ≥ 2 prowadzi do rozwiązania: (a, b, c, x, y, z) = (6, 1, 1, 2, 2, 2). Ostatnia możliwość to c = z = 1. Wówczas A1 = 0, B1 = 0, więc A2 + B2 = 4. Zatem łatwo rozumując otrzymujemy rozwiązania (a, b, c, x, y, z): (3, 2, 1, 3, 2, 1), (3, 3, 1, 7, 1, 1), (5, 2, 1, 8, 1, 1), (7, 1, 1, 3, 1, 1), (8, 1, 1, 5, 2, 1). Zadanie 1.12 Wyznaczyć największy możliwy iloczyn liczb całkowitych dodatnich o sumie równej 2000. Źródło: Obóz naukowy Olimpiady Matematycznej; Zwardoń 2006, zadanie 2 Zadania tego typu są dość często spotykane na różnorakich zawodach matematycznych, pomimo faktu, że rozwiązanie przebiega bardzo podobnie jak przedstawione poniżej praktycznie dla każdej sumy. Dlatego z pewnością warto przyswoić zaprezentowany poniżej sposób rozumowania. Na początek zauważmy, że użycie w rozwiązaniu jedynki jest bezcelowe - zwiększa ona sumę, ale nie zmienia iloczynu. Dodatkowo możemy w naszych rozważaniach pominąć czwórkę, gdyż zastąpimy ją przez dwie dwójki. Wykażemy teraz, że użycie w iloczynie liczby k ≥ 5 jest nieopłacalne. Istotnie, możemy ją zastąpić przez liczby: 2 i k −2. Sumują się obie do k, zaś funkcja f(k) = 2(k − 2) rośnie szybciej niż funkcja g(k) = k dla k > 4. Zauważmy również, że jeśli weźmiemy co najmniej trzy dwójki, to bardziej opłacalne będzie zastąpienie ich dwiema trójkami (analogicznie dla większej ich ilości). Wnioskujemy zatem, że szukany iloczyn składa się wyłącznie z trójek i co najwyżej dwóch dwójek. Łatwo stwierdzić, że 2000 = 666 · 3 + 2, więc szukany iloczyn zawiera dokładnie jedną dwójkę i wynosi: 2 · 3 666 . Zadanie 1.13 Dla danej liczby naturalnej n znaleźć największą wartość iloczynu liczb naturalnych, których suma równa się n. 39
Źródło: "Matematyka" - miesięcznik dla nauczycieli; numer 2, 1998 rok Zadanie to jest analogiczne do problemu przedstawionego powyżej - mamy tu do czynienia z uogólnieniem powyższego rozumowania. Jak wcześniej wspomniałem, sposób dowodu dla dowolnego n jest analogiczny jak dla przypadku n = 2000. Przyjrzyjmy się uogólnieniu powyższego problemu na dowolną liczbę naturalną n. Zgodnie z przedstawionym rozumowaniem - wśród szukanych liczb są co najwyżej dwie dwójki, zaś reszta to trójki. Stąd nietrudno zauważyć, że zachodzą następujące związki (dla k ∈ N): 1. Weźmy liczbę postaci n = 3k + 2. Wówczas największa wartość iloczynu liczb, których suma jest równa n, będzie wynosiła 2 · 3 k . 2. Weźmy liczbę postaci n = 3k + 1. Wówczas największa wartość iloczynu liczb, których suma jest równa n, będzie wynosiła 4 · 3 k−1 . 3. Weźmy liczbę postaci n = 3k. Wówczas największa wartość iloczynu liczb, których suma jest równa n, będzie wynosiła 3 k . Zauważmy, że w ten sposób wyczerpaliśmy wszystkie przypadki, które przedstawiliśmy w zadaniu poprzednim. Wywnioskowaliśmy bowiem, że wśród szukanych liczb są co najwyżej dwie dwójki. Zgodnie z rozumowaniem powyżej - dla 3k + 1 otrzymujemy dokładnie dwie dwójki, dla 3k + 2 - jedną, zaś dla 3k - żadnej. Zadanie 1.14 Niech a, b, c ∈ N oraz a + b + c = 407. Ile maksymalnie zer na końcu może mieć iloczyn abc? Źródło: Olimpiada Matematyczna; Sankt Petersburg 2002 W rozwiązaniu tego zadania istotne jest rozumowanie, które w pewnym sensie jest podobne do przedstawionego powyżej. Będziemy starali się tak dobrać czynniki w iloczynie abc, aby zmaksymalizować liczbę zer. Zauważmy, że interesuje nas sytuacja, kiedy w rozkładzie liczby abc na czynniki pierwsze występują wyłącznie dwójki i piatki. Na dodatek - w tych samych potęgach, gdyż wtedy liczbę abc możemy zapisać w postaci: abc = 2 δ · 5 δ = 10 δ . 40
- Page 1 and 2: Nierówność Cauchy’ego o średn
- Page 3 and 4: 1 Nierówność Cauchy’ego o śre
- Page 5 and 6: 1 2 · ( 2k−1 a1 · ... · a (2 k
- Page 7 and 8: Dowód przy użyciu nierówności M
- Page 9 and 10: a 2 2 + a 2 3 ≥ 2a2a3, a 2 2 + a
- Page 11 and 12: liczby nie zmieniają iloczynu i zw
- Page 13 and 14: Zadanie 5 drugiego etapu XLI Olimpi
- Page 15 and 16: Twierdzenie 1.11 (O rozwiązaniach
- Page 17 and 18: 3. x > 0; y ≤ z < 0. Wówczas: x
- Page 19 and 20: Twierdzenie 1.16 (O podzielności i
- Page 21 and 22: 1 i a1, ..., ak będą dodatnimi li
- Page 23 and 24: Dowód Rozpatrywane równanie: moż
- Page 25 and 26: Stąd (korzystając z rozumowania p
- Page 27 and 28: Twierdzenie 1.26 (O rozwiązaniach
- Page 29 and 30: (a + b + c) 2 a+b+c a+b+c a + b
- Page 31 and 32: Wynika stąd, że: 1 a + ab + abc +
- Page 33 and 34: Przekształcając równoważnie: n
- Page 35 and 36: Nie zawsze na pierwszy rzut oka wid
- Page 37 and 38: a, b, c są dodatnie, więc należy
- Page 39: 1.2.2 Sumy i iloczyny Zadanie 1.11
- Page 43 and 44: Źródło: Olimpiada Matematyczna;
Źródło: "Matematyka" - miesięcznik dla nauczycieli; numer 2, 1998<br />
rok<br />
Zadanie to jest analogiczne do problemu przedstawionego powyżej -<br />
mamy tu do czynienia z uogólnieniem powyższego rozumowania. Jak<br />
wcześniej wspomniałem, sposób dowodu dla dowolnego n jest analogiczny<br />
jak dla przypadku n = 2000. Przyjrzyjmy się uogólnieniu<br />
powyższego problemu na dowolną liczbę naturalną n.<br />
Zgodnie z przedstawionym rozumowaniem - wśród szukanych liczb są<br />
co najwyżej dwie dwójki, zaś reszta to trójki. Stąd nietrudno zauważyć,<br />
że zachodzą następujące związki (dla k ∈ N):<br />
1. Weźmy liczbę postaci n = 3k + 2. Wówczas największa wartość<br />
iloczynu liczb, których suma jest równa n, będzie wynosiła 2 · 3 k .<br />
2. Weźmy liczbę postaci n = 3k + 1. Wówczas największa wartość<br />
iloczynu liczb, których suma jest równa n, będzie wynosiła 4 ·<br />
3 k−1 .<br />
3. Weźmy liczbę postaci n = 3k. Wówczas największa wartość iloczynu<br />
liczb, których suma jest równa n, będzie wynosiła 3 k .<br />
Zauważmy, że w ten sposób wyczerpaliśmy wszystkie przypadki, które<br />
przedstawiliśmy w zadaniu poprzednim. Wywnioskowaliśmy bowiem,<br />
że wśród szukanych liczb są co najwyżej dwie dwójki. Zgodnie z rozumowaniem<br />
powyżej - dla 3k + 1 otrzymujemy dokładnie dwie dwójki,<br />
dla 3k + 2 - jedną, zaś dla 3k - żadnej.<br />
Zadanie 1.14 Niech a, b, c ∈ N oraz a + b + c = 407. Ile maksymalnie zer<br />
na końcu może mieć iloczyn abc?<br />
Źródło: Olimpiada Matematyczna; Sankt Petersburg 2002<br />
W rozwiązaniu tego zadania istotne jest rozumowanie, które w pewnym<br />
sensie jest podobne do przedstawionego powyżej. Będziemy starali<br />
się tak dobrać czynniki w iloczynie abc, aby zmaksymalizować<br />
liczbę zer.<br />
Zauważmy, że interesuje nas sytuacja, kiedy w rozkładzie liczby abc<br />
na czynniki pierwsze występują wyłącznie dwójki i piatki. Na dodatek<br />
- w tych samych potęgach, gdyż wtedy liczbę abc możemy zapisać w<br />
postaci:<br />
abc = 2 δ · 5 δ = 10 δ .<br />
40
Change language