Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

Średnia kwadratowa
Średnią kwadratową n liczb rzeczywistych a1, a2, ..., an nazywamy liczbę:
Kn =
a 2 1 + a 2 2 + ... + a2 n
1.1.3 Twierdzenia o zależnościach między średnimi
Twierdzenie 1.1 (Twierdzenie o zależności pomiędzy średnimi: arytmetyczną
i geometryczną) Średnia arytmetyczna każdych n liczb nieujemnych
a1, a2, ..., an(n ≥ 2) jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej, przy
czym średnie te są równe wtedy i tylko wtedy, gdy a1 = a2 = ... = an, czyli
zachodzi następująca nierówność:
a1 + a2 + ... + an
n
n
≥ n√ a1 · a2 · ... · an.
Dowód
Założenie: nie wszystkie liczby spośród a1, a2, ..., an są równe.
Na początek przeprowadzony zostanie dowód przez indukcję po k dla każdej
liczby n postaci n = 2 k (k jest liczbą naturalną).
1. Dla k = 1, czyli n = 2 :
czyli:
a1 + a2
a1 · a2 =
2
2
a1 − a2
−
2
2
√
a1 · a2 < a1 + a2
.
2
.
2 a1 + a2
<
,
2
2. Krok indukcyny:
Założenie indukcyjne: a1+a2+...+a2k−1 2k−1 ≥ 2k−1√ a1 · a2 · ... · a2k−1. Teza: a1+a2+...+a2k 2k ≥ 2k√ a1 · a2 · ... · a2k. Dowód:
a1 + a2 + ... + a (2 k )
2 k
1
2 ·
= 1
2 ·
a1 + a2 + ... + a (2 k−1 )
a1 + a2 + ... + a (2 k−1 ) + a (2 k−1 +1) + ... + a (2 k )
2 k−1
2 k−1
+ a (2 k−1 +1) + ... + a (2 k )
2 k−1
3
≥
=