Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

1.2.2 Sumy i iloczyny
Zadanie 1.11 Znaleźć wszystkie układy liczb całkowitych (a, b, c, x, y, z)
spełniające układ równań:
a + b + c = xyz
x + y + z = abc
oraz warunki: a ≥ b ≥ c ≥ 1, x ≥ y ≥ z ≥ 1.
Źródło: XLIX Olimpiada Matematyczna; etap 3, zadanie 1
Bardzo często zadania tego typu należy rozpocząć od dodania lub
odjęcia stronami równań w układzie. Wówczas z reguły okazuje się,
że możemy zaobserwować pewne charakterystyczne własności, które
ułatwią później rozwiązanie zadania. Zauważmy, że przekształcenia
pojedynczych równań raczej nie pomogą w rozwiązaniu, gdyż mamy
aż sześć zmiennych, a każda z nich występuje tylko raz.
Dodając stronami:
a + b + c + x + y + z − xyz − abc = 0.
Zauważmy, że otrzymaliśmy w ten sposób dwie grupy jednakowo skonstruowanych
wyrażeń: a, b, c, −abc oraz x, y, z, −xyz. Łatwo więc wywnioskować,
że możemy dodać do siebie cztery wyrażenia, z których
każde jest iloczynem i posiada taką własność, że po zsumowaniu z
pewnym drugim wyrażeniem otrzymamy szukaną grupę. Nietrudno
wywnioskować, że:
(ab − 1)(c − 1) + (a − 1)(b − 1) = abc − (a + b + c) + 2.
Wyrażenie to zawiera szukaną przez nas grupę zmiennych oraz współczynniki
liczbowe. Oznaczmy zatem:
A1 = (ab − 1)(c − 1), A2 = (a − 1)(b − 1),
B1 = (xy − 1)(z − 1), B2 = (x − 1)(y − 1).
Stąd łatwo wynika związek:
A1 + A2 + B1 + B2 = 4.
Dodatkowo z założenia: liczby A1, A2, B1, B2 są całkowite nieujemne.
Rozważmy przypadki:
38