Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

Źródło: III Środkowo - Europejska Olimpiada Matematyczna (Poznań
2009); zadanie 5
Zadanie to znalazło się na bardzo wysokim szczeblu zawodów matematycznych,
zatem można sądzić, że jego rozwiązanie może przysporzyć
wiele kłopotów. Nic bardziej mylnego - zauważmy, że dowód
opiera się wyłącznie na prostej obserwacji i zastosowaniu nierówności
między średnimi. Rozpisując założenie:
Zauważmy, że:
(x 2 − 4x + 4) + (y 2 − 4y + 4) + (z 2 − 4z + 4) = 3,
(x − 2) 2 + (y − 2) 2 + (z − 2) 2 = 3.
(x − 2) 4 + (y − 2) 4 + (z − 2) 4 ≥ 0,
x 4 +y 4 +z 4 +(16+8)(x 2 +y 2 +z 2 )+48 ≥ 8(x 3 +y 3 +z 3 )+32(x+y+z).
A z założenia:
8(x 2 + y 2 + z 2 ) = 32(x + y + z) − 72.
Łącząc zatem powyższe dwie zależności:
x 4 + y 4 + z 4 + 16(x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 8(x 3 + y 3 + z 3 ) + 24.
Stąd łatwo wynika, że:
Wprowadzając oznaczenia:
(x − 2) 4 + (y − 2) 4 + (z − 2) 4 ≥ 3.
a = (x − 2) 2 , b = (y − 2) 2 , c = (z − 2) 2
i stosując nierówność między średnią kwadratową i średnią arytmetyczną:
a
2 + b2 + c2 a + b + c
≥ =
3
3
(x − 2)2 + (y − 2) 2 + (z − 2) 2
.
3
Na podstawie przekształconego założenia:
a2 + b2 + c2 ≥ 1,
3
a2 + b2 + c2 ≥ 1,
3
(x − 2) 2 + (y − 2) 2 + (z − 2) 2 ≥ 3,
co jest równoważne przekształconej wcześniej tezie. Z własności nierówności
Cauchy’ego wnioskujemy łatwo, że równość zachodzi wtedy
i tylko wtedy, gdy: a = b = c, co jest równoznaczne temu, że:
x, y, z ∈ {1, 3}.
37