Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

a, b, c są dodatnie, więc należy pamiętać, że możemy wykorzystać omawianą
zależność. Kluczowe jest jednak takie podstawienie, aby wykorzystać
daną zależność: abc = 1. Istotnie:
Niech x, y, z będą takimi liczbami rzeczywistymi dodatnimi, że:
a = x y z
, b = , c =
y z x .
Wówczas dana w treści zadania nierówność przyjmuje postać:
(x − y + z)(y − z + x)(z − x + y) ≤ x · y · z.
Dla większej przejrzystości zapisu można przyjąć:
u = x − y + z, v = y − z + x, w = z − x + y.
Zauważmy, że suma dowolnych dwóch liczb spośród liczb u, v, w jest
dodatnia, zatem co najwyżej jedna z nich może być ujemna. Jeśli
któraś z nich faktycznie jest ujemna - oczywiste jest, że nierówność
jest prawdziwa. Jeżeli zaś liczby u, v, w są nieujemne, to korzystając
z nierówności między średnią arytmetyczną i średnią geometryczną:
√ u · v ≤ u + v
2
= 2x
2
= x,
√ w + v 2y
w · v ≤ = = y,
2 2
√ u + w 2z
u · w ≤ = = z.
2 2
Następnie mnożąc powyższe nierówności stronami:
u · v · w ≤ x · y · z,
co kończy dowód, ponieważ nierównosć ta jest równoważna nierówności
podanej w treści zadania.
Zadanie 1.10 Dane są liczby rzeczywiste x, y, z spełniające zależność:
Dowieść, że:
x 2 + y 2 + z 2 + 9 = 4(x + y + z).
x 4 + y 4 + z 4 + 16(x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 8(x 3 + y 3 + z 3 ) + 27.
Dodatkowo rozstrzygnąć, kiedy zachodzi równość.
36