Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

Zauważmy również, że:
a 4
3 + b 4
3 + c 4 2
3 −
2
a 4
3 + b 4
3 + c 4 2
3 ≥ a 1
3 · a2 2 + 8bc ,
a 4
3 + b 4
3 + c 4 2 3 ≥ a 2
3 · a 2 + 8bc .
4
a 4
3
2
=
b 4
3 + c 4
3 · a 4
3 + b 4
3 + c 4
3 + a 4
3 .
Stosując nierówność między średnią arytmetyczną i średnią geometryczną:
b 4
3 + c 4
3
· a 4
3 + b 4
3 + c 4
3 + a 4
3
≥ b 2
3 c 2
2 3 · 4
a 1
3 b 1
3 c 1
3 a 1
4 3 ,
A stąd:
b 4
3 + c 4
3 · a 4
3 + b 4
3 + c 4
3 + a 4
3
8 · a 2
3 · b · c.
≥ 2 · 4 · b 2
3 c 2
3 · a 1
3 b 1
3 c 1
3 a 1
3 =
a 4
3 + b 4
3 + c 4 2 3 ≥ a 8
3 + 8 · a 2
3 · b · c = a 2 2 3 a + 8bc .
Dowód przebiega analogicznie dla nierówności:
b
√ b 2 + 8ca ≥
c
√ c 2 + 8ab ≥
b 4
3
a 4
3 + b 4
3 + c 4
3
c 4
3
a 4
3 + b 4
3 + c 4
3
Żądaną nierówność otrzymuje się poprzez dodanie stronami dowodzonych
zależności, co kończy dowód.
Zadanie 1.9 Niech a, b, c będą takimi liczbami rzeczywistymi dodatnimi,
że a · b · c = 1. Udowodnić, że:
a − 1 + 1
b − 1 +
b
1
c − 1 +
c
1
≤ 1.
a
Źródło: XLI Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna (Korea Południowa
2000); zadanie 2
W zadaniu tym nierówność między średnimi pełni wyłącznie rolę pomocniczą,
nie należy dopatrywać się jej od razu. Wiemy, że liczby
35
,
.