Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

Jako Sk oznaczmy:
Sk =
k
i=1
xi
yi
k
− 1 =
xi
yi
i=1
− k.
Przyjmijmy S0 = 0. Z otrzymanej nierówności między średnimi wynika,
że dla dowolnego k liczba Sk jest nieujemna (otrzymujemy to
łatwo wymnażając stronami przez k i następnie odejmując k stronami).Zauważmy,
że w poniższej różnicy dochodzi do znacznej redukcji
wyrazów:
Sk − Sk−1 = xk
− 1 =
yk
xk − yk
.
yk
Mamy tu do czynienia z sumą teleskopową. A stąd:
Można zatem zapisać:
n
(xk − yk) =
k=1
xk − yk = yk · (Sk − Sk−1).
n
yk(Sk − Sk−1) = y1(S1 − S0) + ... + yn(Sn − Sn−1).
k=1
Zatem, stosując do powyższej sumy tożsamość (przekształcenie)
Abela otrzymujemy:
n
(xk −yk) = (y1 −y2)S1 +(y2 −y3)S2 +...+(yn−1 −yn)Sn−1 +ynSn.
k=1
A w połączeniu z nierównościami: y1 > y2 > ... > yn > 0 i Sk ≥ 0 dla
dowolnego k = 1, ..., n wnioskujemy, że:
n
(xk − yk) ≥ 0,
k=1
co jest przekształceniem tezy.
Zadanie 1.7 Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2 i dowolnych
liczb rzeczywistych nieujemnych x1, x2, ..., xn zachodzi nierówność:
n
ixi ≤
i=1
n
+
2
n
x i i.
i=1
Źródło: LII Olimpiada Matematyczna; etap 3, zadanie 1
33