Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

Wynika stąd, że:
1
a + ab + abc +
1
b + bc + bca +
b + bc + bca ≥ 3 3√ abc 3√ b 2 c,
c + ca + cab ≥ 3 3√ abc 3√ c 2 a.
1
c + ca + cab ≤
1
3 3√ abc
1
3√ +
a2b 1
3√ +
b2c 1
3√ .
c2a Zatem, aby rozwiązać zadanie należy wykazać prawdziwość nierówności:
1
3√ +
a2b 1
3√ +
b2c 1
3√ ≤
c2a 1 1 1
+ +
a b c .
Wprowadzając oznaczenia:
x = 1
3√ a , y = 1
3√ b , z = 1
3√ c .
Powyższą nierówność można zapisać w postaci:
x 2 y + y 2 z + z 2 x ≤ x 3 + y 3 + z 3 .
Jest ona prawdziwa, co można stwierdzić na podstawie zależności między
średnią arytmetyczną i średnią geometryczną:
x 2 y + y 2 z + z 2 x = 3 x 3 · x 3 · y 3 + 3 y 3 · y 3 · z 3 + 3√ z 3 · z 3 · x 3 ≤
x 3 + x 3 + y 3
3
+ y3 + y 3 + z 3
3
+ z3 + z 3 + x 3
3
= x 3 + y 3 + z 3 .
Zadanie 1.4 Dowieść, że iloraz sumy wszystkich dzielników naturalnych
liczby całkowitej n > 1 przez liczbę tych dzielników jest większy od
√ n.
Źródło: XV Olimpiada Matematyczna; etap 1, zadanie 9
W tym zadaniu także nasuwa się naturalne skojarzenie - iloraz sumy
dzielników przez liczbę dzielników jest po prostu średnią arytmetyczną
dzielników. A zatem:
Niech d1, d2, ..., ds oznaczają wszystkie dzielniki liczby całkowitej n >
1, zaś s ≥ 2 niech będzie ilością tych dzielników. Wśród tych dzielników
znajdują się z pewnością liczby nierówne, na przykład 1 i n.
Dodatkowo jako A oznaczmy zbiór liczb d1, ..., ds. Zatem nierówność
między średnimi: arytmetyczną i geometryczną przyjmie postać:
s
i=1 di
s
>
30
s
i=1
di
1
s
. (5)