Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

1 Nierówność Cauchy’ego o średnich. Sumy i iloczyny.
1.1 Teoria
1.1.1 Wprowadzenie
Bartłomiej Grochal
Niniejszy referat przedstawia sposób rozwiązywania zadań opierający się na
wykorzystaniu nierówności pomiędzy średnimi. Bardzo często wspomniana
zależność używana jest do dowodzenia szczególnej klasy nierówności, jednakże
jej zastosowania są dużo szersze. W niniejszej pracy znajdują się zadania
ze wszystkich etapów polskiej Olimpiady Matematycznej, a ponadto
również z zawodów międzynarodowych.
W referacie zostało także poruszone zagadnienie dotyczące własności i rozwiązań
równania: x1 + x2 + ... + xn = x1x2...xn. Ta część stanowi szersze
spojrzenie na problemy związane z nierównością Cauchy’ego. Omówione
własności okazują się często pomocne w rozwiązywaniu zadań olimpijskich.
Warto zwrócić uwagę także na sposoby przeprowadzania dowodów zamieszczonych
twierdzeń, gdyż one także są ściśle powiązane z tematyką zmagań
młodych matematyków.
1.1.2 Średnie w nierówności Cauchy’ego
Średnia arytmetyczna
Średnią arytmetyczną n liczb rzeczywistych a1, a2, ..., an nazywamy liczbę:
An = a1 + a2 + ... + an
.
n
Średnia geometryczna
Średnią geometryczną n liczb nieujemnych a1, a2, ..., an nazywamy liczbę:
Gn = n√ a1 · a2 · ... · an.
Średnia harmoniczna
Średnią harmoniczną n liczb dodatnich a1, a2, ..., an nazywamy liczbę:
Hn =
n
1 1
1
+ + ... + a1 a2 an
2
.