Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

Twierdzenie 1.26 (O rozwiązaniach dla liczb pierwszych i dwóch zmiennych)
Niech p będzie liczbą pierwszą. Jeśli x, y są takimi liczbami całkowitymi,
że xy = p(x+y), to (x, y) jest jedną z par: (0, 0), (2p, 2p), (p−1, p(1−
p)), (p(1 − p), p − 1), (p + 1, p(p + 1)), (p(p + 1), p + 1).
Dowód
Wykazanie tego twierdzenia było jednym z zadań na hiszpańskiej Olimpiadzie
Matematycznej w 1998 roku.
Zauważmy, że zachodzi związek:
xy = p(x + y) ⇔ (x − p)(y − p) = p 2 .
Z racji, że p jest liczbą pierwszą, należy rozważyć następujące przypadki:
x − p = p, y − p = p,
x − p = −p, y − p = −p,
x − p = 1, y − p = p 2 ,
x − p = −1, y − p = −p 2 .
W ostatnich dwóch wypadkach należy rozważyć również przypadki symetryczne!
Rozwiązując podane układy otrzymujemy rozwiązania z tezy.
26