Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

Niech k ≥ 4. Wówczas na mocy równości (∗∗):
2(y1 + ... + yk) = (y1 + ... + yk) + (y1 + ... + yk) ≤
y1y2 + y2y3 + ... + yky1 + y1y2y3 + y2y3y4 + ... + yky1y2 ≤
(y1 + 1)(y2 + 1)...(yk + 1) − (y1 + y2 + ... + yk) − 1 =
2(y1 + ... + yk + n) − (y1 + ... + yk) − 1 = (y1 + ... + yk) + 2n − 1.
Z tego wynika, że:
a co za tym idzie:
y1 + ... + yk < 2n,
x1 + ... + xn = n − k + y1 + ... + yk + k < n + 2n < 3n + 3.
Poniżej opisane zostały własności uogólnionej sytuacji rozważanego wyżej
równania, a więc zależności:
m(x1 + ... + xn) = x1...xn,
gdzie m jest dowolną liczbą naturalną większą od 0, zaś x1, ..., xn ∈ N.
Twierdzenie 1.25 (O rozwiązaniach dla dwóch zmiennych) Niech m ∈ N.
Wówczas każde naturalne rozwiązanie równania xy = m(x + y) jest postaci
(x, y) = (m + a, m + b), gdzie a jest naturalnym dzielnikiem liczby m 2 oraz
b = m2
a .
Dowód
Weźmy x = m + a oraz y = m + b. Wówczas obie strony rozważanego
równania przyjmują postaci:
Zatem zachodzi związek:
(m + a)(m + b) = m 2 + m(a + b) + ab,
m(2m + a + b) = 2m 2 + m(a + b).
m 2 + m(a + b) + ab = 2m 2 + m(a + b),
m 2 = ab.
Stąd łatwo wynika, że a musi być dzielnikiem liczby m2 i b = m2
a , aby zaszła
równość.
25