Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.
Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny. Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.
Twierdzenie 1.23 (O ograniczeniu iloczynu) Jeśli (x1, ..., xn) ∈ B(n) oraz n ≥ 5, to x1...xn−1 ≤ 2n − 1. Dowód Przypuśćmy, że wszystkie elementy rozwiązania są równe a. Wówczas: a n = 2n · a, a = n−1√ 2n, co rodzi sprzeczność, gdyż dla n ≥ 5 zachodzi związek: 1 < n−1√ 2n < 2 (a jest liczbą naturalną). Zatem należy wnioskować, że: a stąd: x1...xn = 2(x1 + ... + xn) < 2n · xn, x1...xn−1 ≤ 2n − 1. Twierdzenie 1.24 (O ograniczeniu sumy) Jeśli (x1, ..., xn) ∈ B(n), to x1 + ... + xn ≤ 3n + 3, przy czym równość zachodzi tylko w przypadku, gdy rozwiązanie jest postaci (1, 1, ..., 1, 3, 2n + 2). Dowód Niech bn oznacza liczbę jedynek w rozważanym ciągu (xn) spełniającym założenia twierdzenia. Przez k oznaczmy ilość liczb w ciągu xn, które są większe od jedynki. Je same oznaczmy odpowiednio przez (y1 + 1), (y2 + 1), ..., (yk + 1), gdzie: 1 ≤ y1 ≤ y2 ≤ ... ≤ yk (oznaczenia są analogiczne jak w poprzednim podrozdziale, gdzie przeprowadzony został dowód ograniczenia sumy). Zachodzi związek: k + bn = n, k ≥ 2. Wówczas rozważane równanie możemy zapisać w postaci: (y1+1)(y2+1)...(yk+1) = 2(y1+y2+...+yk+k+bn) = 2(y1+y2+...+yk+n).(∗∗) Weźmy k = 2. Wówczas: y1y2 − y1 − y2 + 1 = 2n, (y1 − 1)(y2 − 1) = 2n. 23
Stąd (korzystając z rozumowania przedstawionego wcześniej, że iloczyn dwóch liczb naturalnych większych od 0 jest co najwyżej o 1 mniejszy od ich sumy): y1 + y2 = (y1 − 1) + (y2 − 1) + 2 ≤ 1 + 2n + 2 = 2n + 3. Stąd łatwo wynika fakt, że: x1 + ... + xn = n − 2 + y1 + y2 + 2 ≤ 3n + 3. Zauważmy, że równość zachodzi wyłącznie w wypadku, gdy y1 − 1 = 1 oraz y2 − 1 = 2n, a więc tylko wtedy, gdy rozwiązanie jest postaci: Weźmy k = 3. Wówczas: (1, 1, ..., 1, 3, 2n + 2). (y1 + 1)(y2 + 1)(y3 + 1) = 2(y1 + y2 + y3 + n). Stąd (znów na mocy wcześniej wspomnianych obserwacji): y1 + y2 + y3 = y1y2y3 + y1y2 + y1y3 + y2y3 − 2n + 1. Załóżmy, że y1 = 1. Wówczas: Stąd: Wówczas: 1 + y2 + y3 = y2 + y3 + 2y2y3 + 1 − 2n, y2y3 = n. y2 + y3 ≤ n + 1. x1 + ... + xn = n − 3 + y1 + y2 + y3 + 3 = n + 1 + y2 + y3 ≤ 2n + 2 < 3n + 3. Załóżmy więc, że y1 ≥ 2. Wówczas: Stąd: y1 + y2 + y3 ≥ 2y2y3 + 2y2 + 2y3 + y2y3 + 1 − 2n. Jednak 3y2y3 > 2y1, więc: Zatem: y1 + y2 + y3 + 3y2y3 − 2y1 ≤ 2n − 1. y1 + y2 + y3 ≤ 2n − 2. x1 + ... + xn = n − 3 + y1 + y2 + y3 + 3 ≤ n − 3 + 3 + 2n − 2 < 3n + 3. 24
- Page 1 and 2: Nierówność Cauchy’ego o średn
- Page 3 and 4: 1 Nierówność Cauchy’ego o śre
- Page 5 and 6: 1 2 · ( 2k−1 a1 · ... · a (2 k
- Page 7 and 8: Dowód przy użyciu nierówności M
- Page 9 and 10: a 2 2 + a 2 3 ≥ 2a2a3, a 2 2 + a
- Page 11 and 12: liczby nie zmieniają iloczynu i zw
- Page 13 and 14: Zadanie 5 drugiego etapu XLI Olimpi
- Page 15 and 16: Twierdzenie 1.11 (O rozwiązaniach
- Page 17 and 18: 3. x > 0; y ≤ z < 0. Wówczas: x
- Page 19 and 20: Twierdzenie 1.16 (O podzielności i
- Page 21 and 22: 1 i a1, ..., ak będą dodatnimi li
- Page 23: Dowód Rozpatrywane równanie: moż
- Page 27 and 28: Twierdzenie 1.26 (O rozwiązaniach
- Page 29 and 30: (a + b + c) 2 a+b+c a+b+c a + b
- Page 31 and 32: Wynika stąd, że: 1 a + ab + abc +
- Page 33 and 34: Przekształcając równoważnie: n
- Page 35 and 36: Nie zawsze na pierwszy rzut oka wid
- Page 37 and 38: a, b, c są dodatnie, więc należy
- Page 39 and 40: 1.2.2 Sumy i iloczyny Zadanie 1.11
- Page 41 and 42: Źródło: "Matematyka" - miesięcz
- Page 43 and 44: Źródło: Olimpiada Matematyczna;
Stąd (korzystając z rozumowania przedstawionego wcześniej, że iloczyn dwóch<br />
liczb naturalnych większych od 0 jest co najwyżej o 1 mniejszy od ich sumy):<br />
y1 + y2 = (y1 − 1) + (y2 − 1) + 2 ≤ 1 + 2n + 2 = 2n + 3.<br />
Stąd łatwo wynika fakt, że:<br />
x1 + ... + xn = n − 2 + y1 + y2 + 2 ≤ 3n + 3.<br />
Zauważmy, że równość zachodzi wyłącznie w wypadku, gdy y1 − 1 = 1 oraz<br />
y2 − 1 = 2n, a więc tylko wtedy, gdy rozwiązanie jest postaci:<br />
Weźmy k = 3. Wówczas:<br />
(1, 1, ..., 1, 3, 2n + 2).<br />
(y1 + 1)(y2 + 1)(y3 + 1) = 2(y1 + y2 + y3 + n).<br />
Stąd (znów na mocy wcześniej wspomnianych obserwacji):<br />
y1 + y2 + y3 = y1y2y3 + y1y2 + y1y3 + y2y3 − 2n + 1.<br />
Załóżmy, że y1 = 1. Wówczas:<br />
Stąd:<br />
Wówczas:<br />
1 + y2 + y3 = y2 + y3 + 2y2y3 + 1 − 2n,<br />
y2y3 = n.<br />
y2 + y3 ≤ n + 1.<br />
x1 + ... + xn = n − 3 + y1 + y2 + y3 + 3 = n + 1 + y2 + y3 ≤ 2n + 2 < 3n + 3.<br />
Załóżmy więc, że y1 ≥ 2. Wówczas:<br />
Stąd:<br />
y1 + y2 + y3 ≥ 2y2y3 + 2y2 + 2y3 + y2y3 + 1 − 2n.<br />
Jednak 3y2y3 > 2y1, więc:<br />
Zatem:<br />
y1 + y2 + y3 + 3y2y3 − 2y1 ≤ 2n − 1.<br />
y1 + y2 + y3 ≤ 2n − 2.<br />
x1 + ... + xn = n − 3 + y1 + y2 + y3 + 3 ≤ n − 3 + 3 + 2n − 2 < 3n + 3.<br />
24
Change language