Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

Twierdzenie 1.23 (O ograniczeniu iloczynu) Jeśli (x1, ..., xn) ∈ B(n)
oraz n ≥ 5, to x1...xn−1 ≤ 2n − 1.
Dowód
Przypuśćmy, że wszystkie elementy rozwiązania są równe a. Wówczas:
a n = 2n · a,
a = n−1√ 2n,
co rodzi sprzeczność, gdyż dla n ≥ 5 zachodzi związek: 1 < n−1√ 2n < 2 (a
jest liczbą naturalną). Zatem należy wnioskować, że:
a stąd:
x1...xn = 2(x1 + ... + xn) < 2n · xn,
x1...xn−1 ≤ 2n − 1.
Twierdzenie 1.24 (O ograniczeniu sumy) Jeśli (x1, ..., xn) ∈ B(n), to
x1 + ... + xn ≤ 3n + 3, przy czym równość zachodzi tylko w przypadku, gdy
rozwiązanie jest postaci (1, 1, ..., 1, 3, 2n + 2).
Dowód
Niech bn oznacza liczbę jedynek w rozważanym ciągu (xn) spełniającym
założenia twierdzenia. Przez k oznaczmy ilość liczb w ciągu xn, które są
większe od jedynki. Je same oznaczmy odpowiednio przez (y1 + 1), (y2 +
1), ..., (yk + 1), gdzie: 1 ≤ y1 ≤ y2 ≤ ... ≤ yk (oznaczenia są analogiczne jak
w poprzednim podrozdziale, gdzie przeprowadzony został dowód ograniczenia
sumy). Zachodzi związek:
k + bn = n, k ≥ 2.
Wówczas rozważane równanie możemy zapisać w postaci:
(y1+1)(y2+1)...(yk+1) = 2(y1+y2+...+yk+k+bn) = 2(y1+y2+...+yk+n).(∗∗)
Weźmy k = 2. Wówczas:
y1y2 − y1 − y2 + 1 = 2n,
(y1 − 1)(y2 − 1) = 2n.
23