Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

Dowód
Rozpatrywane równanie:
można przedstawić w postaci:
x1x2 = 2(x1 + x2),
(x1 − 2)(x2 − 2) = 4.
Zatem(z dokładnością do permutacji):
lub:
x1 − 2 = 1, x2 − 2 = 4,
x1 − 2 = 2, x2 − 2 = 2.
Twierdzenie 1.21 (O rozwiązaniach równania dla więcej niż dwóch
zmiennych) Jeśli n ≥ 3, to |B(n)| ≥ 3.
Dowód
Rozpatrzmy ciągi:
(1, 1, ..., 1, 4, n + 2), (1, 1, ..., 1, 3, 2n + 2), (1, 1, ..., 1, 2, 2, n + 1).
Poniżej przedstawiony został dowód przypadku pierwszego, dla pozostałych
dowody przebiegają w sposób analogiczny:
2(x1 + ... + xn) = 2(n − 2 + 4 + n + 2) = 2(2n + 4) = 4n + 8,
x1...xn = 1 n−2 · 4 · (n + 2) = 4n + 8.
Twierdzenie 1.22 (O skończonej liczbie rozwiązań) Dla każdego n naturalnego
zbiór B(n) jest skończony.
Dowód
Niech ciąg (x1, ..., xn) należy do zbioru B(n). Wówczas dla dowolnego i =
1, ..., n − 1 zachodzi związek:
xixn ≤ x1...xn = 2(x1 + ... + xn) ≤ 2(xn + ... + xn) = 2n · xn.
Wynika stąd, że liczby x1, ..., xn−1 są mniejsze lub równe 2n. Zatem liczby
te wyznaczają liczbę xn, zaś przy danych x1, ..., xn−1 wyraz xn znajdziemy
rozwiązując równanie: x1...xn = 2(x1 + ... + xn).
22