Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

1 i a1, ..., ak będą dodatnimi liczbami wymiernymi spełniającymi równości
z tezy. Wówczas, na mocy nierówności Cauchy’ego o średnich:
k√ n = k √ a1...ak ≤ a1 + ... + ak
k
Po prostych przekształceniach otrzymujemy:
k k ≤ n k−1 ,
n ≥ k k
k−1 .
= n
k .
Funkcja f(x) = x x
x−1 jest rosnąca, a łatwo sprawdzić, że dla k ≥ 3 na
mocy powyższej zależności: n > 5, co jest sprzeczne z założeniem, że n ∈
{1, 2, 3, 5}.
Ostatni przypadek to k = 2. Wówczas:
a1 + a2 = a1a2 = n,
a 2 1 − na1 + n = 0.
Stąd dalej wynika, że a1 jest liczbą niewymierną, co prowadzi do sprzeczności.
Twierdzenie 1.19 (O wartości największej) Niech x1, ..., xn będą takimi
dodatnimi liczbami rzeczywistymi, że x1 + ... + xn = x1...xn. Wówczas:
max(x1, ..., xn) ≥ n−1√ n.
Dowód
We wcześniejszych rozważaniach wykazane zostało, że w ciągu (xn), który
jest rozwiązaniem rozważanego równania, istnieją co najmniej dwie liczby,
które są większe od jedynki.
Zauważmy, że dla każdego n ≥ 3 zachodzi związek:
1 < n−1√ n < 2.
A na dodatek dla n = 2 możemy przyjąć:
1√ 2 = 2.
Łącząc powyższe trzy obserwacje łatwo można powiązać je z tezą. Wiemy,
że max(x1, ..., xn) ≥ 2, zaś n−1√ n ≤ 2, co w oczywisty sposób pociąga za
sobą tezę. Pozostaje do udowodnienia fakt, że n−1√ n < 2. Nierówność tę
możemy zapisać w postaci:
n < 2 n−1 .
Jej dowód przeprowadzimy indukcyjnie.
20