Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

2. x ≤ y ≤ z ≤ t < 0. Wówczas:
x + y + z + t = xyzt ≤ 4t,
xyz ≥ 4.
Iloczyn trzech liczb ujemnych jest ujemny, zatem powyższa nierówność
jest sprzeczna.
3. x > 0 oraz y ≤ z ≤ t < 0. Wówczas:
4y < x + y + z + t = xyzt,
x · zt < 4,
x · zt ≤ 3.
Iloczyn liczb z, t jest dodatni, więc trójka (x, z, t) może być postaci:
(1, −1, −1), (1, −2, −1), (1, −3, −1), (2, −1, −1), (3, −1, −1).
4. x ≥ y > 0 oraz z ≤ t < 0. Wówczas:
x + y + z + t = xyzt < 4x,
yzt < 4,
yzt ≤ 3.
Iloczyn liczb z, t jest dodatni, więc trójka (y, z, t) może być postaci:
(1, −1, −1), (1, −2, −1), (1, −3, −1), (2, −1, −1), (3, −1, −1).
5. x ≥ y ≥ z > 0 oraz t < 0. Wówczas:
4t < x + y + z + t = xyzt,
xyz < 4,
xyz ≤ 3.
Wówczas trójka (x, y, z) może przybrać postać:
(1, 1, 1), (2, 1, 1), (3, 1, 1).
Rozwiązując wszystkie powyższe przypadki otrzymujemy rozwiązania
dane w tezie.
17