Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

3. x > 0; y ≤ z < 0. Wówczas:
x + y + z = xyz < 3x,
yz < 3.
Obie liczby y, z są ujemne, więc do roważenia pozostają przypadki,
gdzie para (y, z) jest postaci:
4. x < 0; y ≥ z > 0. Wówczas:
(−1, −1), (−2, −1), (−3, −1).
3x < xyz = x + y + z,
3 > yz.
Obie liczby y, z są dodatnie, więc należy rozważyć przypadki, gdzie
rozwiązaniem może być jedna z par (y, z) postaci:
(1, 1), (2, 1), (3, 1).
Po rozważeniu powyższych przypadków otrzymujemy rozwiązanie z
tezy.
Twierdzenie 1.15 (O rozwiązaniach dla czterech zmiennych) Czwórki
(1, 1, 2, 4) i (−1, −2, −2, 1) są jedynymi, z dokładnością do permutacji, niezerowymi
całkowitymi rozwiązaniami równania x + y + z + t = xyzt.
Dowód
Dowód tej równości przeprowadzimy analogicznie jak wyżej. Należy rozważyć
przypadki:
1. x ≥ y ≥ z ≥ t > 0. Wówczas:
x + y + z + y = xyzt ≤ 4x,
yzt ≤ 4.
Zatem trójka (y, z, t) może być postaci:
(1, 1, 1), (2, 1, 1), (3, 1, 1), (4, 1, 1), (2, 2, 1).
16