Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

Twierdzenie 1.11 (O rozwiązaniach dla liczb nieparzystych) Jeśli n ≥
5 jest liczbą nieparzystą, to układ x1 + ... + xn = x1...xn, x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn
ma co najmniej dwa rozwiązania w liczbach naturalnych.
Dowód
Weźmy n = 2k + 1, k ≥ 2. Jednym rozwiązaniem jest ujęte wcześniej:
Zaś drugim:
Dowód powyższej równości:
x1 = x2 = ... = xn−2 = 1, xn−1 = 2, xn = n.
x1 = x2 = ... = xn−2 = 1, xn−1 = 3, xn = k + 1.
x1 +...+xn = (n−2)·1+3+(k +1) = 2k +1+1+k +1 = 3k +3 = 3(k +1),
x1...xn = 1 n−2 · 3 · (k + 1) = 3(k + 1).
Poniżej przedstawiona jest mocniejsza wersja tego twierdzenia - o dwóch
rozwiązaniach naturalnych dla liczby n = ab + 1; 2 ≤ a ≤ b.
Twierdzenie 1.12 (O dwóch rozwiązaniach równania) Jeśli n = ab+1,
gdzie 2 ≤ a ≤ b, to układ x1 + ... + xn = x1...xn, x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ma co
najmniej dwa rozwiązania w liczbach naturalnych.
Dowód
Jednym rozwiązaniem jest ujęte wcześniej:
Zaś drugim:
x1 = x2 = ... = xn−2 = 1, xn−1 = 2, xn = n.
x1 = x2 = ... = xn−2 = 1, xn−1 = a + 1, xn = b + 1.
Dowód powyższej równości:
x1 + ... + xn = (n − 2) · 1 + a + 1 + b + 1 = ab + a + b + 1,
x1...xn = 1 n−2 · (a + 1) · (b + 1) = (a + 1) · (b + 1) = ab + a + b + 1.
14