Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

Zadanie 5 drugiego etapu XLI Olimpiady Matematycznej (1989/90) dotyczyło
udowodnienia powyższego twierdzenia. Dowód przebiega następująco:
Przez an oznaczmy liczbę jedynek w ciągu (x1, ..., xn), zaś przez k oznaczmy
ilość liczb większych od jedynki w tymże ciągu. Liczby większe od jedynki
oznaczmy odpowiednio przez: (y1 + 1), (y2 + 1), ..., (yk + 1), gdzie
(yk ≥ yk−1 ≥ ... ≥ y1 ≥ 1). Zachodzą następujące związki:
an + k = n, k ≥ 2,
(y1 + 1)(y2 + 1)...(yk + 1) = y1 + y2 + ... + yk + k + an.(∗∗)
Weźmy k = 2. Wówczas w ciągu (xn) znajduje się n − 2 jedynek i zachodzi
związek:
y1y2 + y1 + y2 + 1 = y1 + y2 + 2 + n − 2,
y1y2 = n − 1.
Iloczyn dwóch liczb naturalnych większych od 1 jest większy lub równy
sumie, zaś jeśli co najmniej jedna z nich jest jedynką - o 1 mniejszy od
sumy. Zatem można dokonać szacowania:
Zatem:
y1 + y2 ≤ 1 + n − 1 = n.
n
xi = n + y1 + y2 ≤ 2n.
i=1
Równość zachodzi wyłącznie w wypadku, gdy y1 = 1, y2 = n − 1, czyli:
(x1, ..., xn−2, xn−1, xn) = (1, ..., 1, 2, n).
Weźmy k ≥ 3. Wówczas na mocy równości (∗∗):
k
k
yi ≤ y1y2 + y2y3 + ... + y1yk < (y1 + 1)(y2 + 1)...(yk + 1) −
i=1
Zatem:
n
i=1
xi =
k
yi + n < 2n.
i=1
12
i=1
yi
= n.