Nierówność Cauchy'ego o średnich. Sumy i iloczyny.

A co za tym idzie, musi zajść warunek: a1 = a2 = ... = an.
Twierdzenie 1.4 (Nierówność Cauchy’ego o średnich) Dla dowolnych
n liczb dodatnich a1, a2, ..., an zachodzą nierówności:
a2 1 + a2 2 + ... + a2n n
≥ a1 + a2 + ... + an
n
≥ n√ a1 · a2 · ... · an ≥
co można symbolicznie zapisać:
Przy czym:
Kn ≥ An ≥ Gn ≥ Hn.
a2 1 + a2 2 + ... + a2n n
= a1 + a2 + ... + an
n
= n√ a1 · a2 · ... · an =
wtedy i tylko wtedy, gdy: a1 = a2 = ... = an.
n
1 1
1
+ + ... + a1 a2 an
1.1.4 Suma równa iloczynowi - przykłady i własności
n
1 1
1
+ + ... + a1 a2 an
W tej części pracy przedstawione zostały własności rozwiązań równania postaci:
x1 + x2 + ... + xn = x1 · x2 · ... · xn(∗),
czyli takiego, w którym suma n liczb jest równa ich iloczynowi.
Poniżej przedstawione zostały wszystkie rozwiązania naturalne (z dokładnością
do permutacji) równania (∗) dla n = 2, 3, ..., 10:
n = 2 : (2, 2);
n = 3 : (1, 2, 3);
n = 4 : (1, 1, 2, 4);
n = 5 : (1, 1, 1, 2, 5); (1, 1, 1, 3, 3); (1, 1, 2, 2, 2);
n = 6 : (1, 1, 1, 1, 2, 6);
n = 7 : (1, 1, 1, 1, 1, 2, 7); (1, 1, 1, 1, 1, 3, 4);
n = 8 : (1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 8); (1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3);
n = 9 : (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 9); (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5);
n = 10 : (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 10); (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 4);
Okazuje się, że dla większych n także istnieją rozwiązania równania (∗). Jak
można zauważyć, składają się głównie ze wspólnych jedynek (jako jedyne
9
,