OSNOVE ELEKTROTEHNIKE Repetitorij s laboratorijskim vježbama

Ljubo Malešević 

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 

(Za studente računarstva) 

Repetitorij s laboratorijskim vježbama 

VELEUČILIŠTE U SPLITU 

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL 

Split, 2001.

PREDGOVOR 

Repetitorij s laboratorijskim vježbama iz OSNOVA ELEKTROTEHNIKE izrađen je za studente 

Računarskog odjela Veleučilišta u Splitu. 

Suvremeni sustav učenja zahtijeva prilagođavanje modernim tehnologijama i organizaciju 

transparentnog sustava za učenje. Simulaciju složenih tehničkih sustava pogodno je izvesti u 

didaktičkoj strukturi postupnim izvođenjem vježbi, čime se ubrzava i olakšava razumijevanje rada 

sustava. 

Za učinkovitost nastave i povećanje obujma usvojenih praktičnih znanja, što je jedan od temeljnih 

zadataka Veleučilišta, na Elektrotehničkom odjelu smo se odlučili za postupni razvoj laboratorija 

nabavom opreme, koja bi bila integrirana u nastavni proces. Navedene zahtjeve u najvećoj mjeri 

zadovoljavaju tehnički didaktički sustavi (TDS). Institucije srodnog karaktera u Europi opremljene 

su TDS sustavima. 

Ideja vodilja didaktičkog koncepta je učenje uz praktičan rad ("learning by doing"), a primjenjuje 

se u cilju zornog predočavanja temeljnih principa tehničkih znanosti (programi elektronike, 

energetike i strojarstva) s istovremenim uvidom u praktičnu primjenu, te vježbe na uređajima 

sastavljenim od komercijalno dostupnih komponenti. Prema istraživanjima mogućnosti pamćenja 

izloženog gradiva ovaj koncept daje najviši postotak zadržane informacije (90%), znatno viši nego 

u slučaju slušanja (20%), slušanja i gledanja (50%) ili razgovora (70%). 

U odnosu na klasično ustrojene laboratorijske vježbe bitno se povećava vrijeme koje je na 

raspolaganju za izvođenje eksperimenta, jer se smanjuje vrijeme za sastavljanje i rastavljanje 

krugova. Svaki se sustav može proširiti, a pojedine jedinice mogu se i međusobno povezivati, te 

istovremeno koristiti kao potpora u izvođenju nastave većeg broja predmeta različitih usmjerenja. 

Univerzalni setovi omogućuju brzo i efikasno sklapanje sklopova od komponenata koje nisu 

sastavni dio vježbovnih sustava, pa se mogu koristiti za izradu diplomskih radova. Ispravnost 

projektiranog sustava zadanog kao diplomski rad, testira se na postojećoj vježbovnoj opremi, a 

nakon toga se ide na završnu realizaciju na pločici, ugradnja u kutiju i sl. 

TDS sustavi su zaštićeni tako da su sve funkcije osigurane od kratkog spoja i nadgledane LED 

pokazivačima. Sustavi većinom imaju već ugrađene izvore napajanja. Vježbe se izvode na 

laboratorijskom stolu. 

Sugestije studenata u smislu uočavanja pogrešaka, preinaka i dopuna iznesenog gradiva su 

dobrodošle. 

Split, studeni 2001. 

AUTOR

SADRŽAJ 

UVOD………………………………..………………………………… 

ISTOSMJERNE STRUJE 

1. ELEKTRIČNI KRUG………………………………………………………………..… 1 

2. OHMOV ZAKON……………………………………………………..………….…….. 5 

3. INDIREKTNO MJERENJE OTPORA U-I METODOM……….………..…………... 9 

ELEKTRIČNI OTPORNICI……………………………………………………….. 13 

4. LINEARNI OTPORNICI……….……………………………………….………….….. 14 

5. NTC OTPORNICI…………….………………………………………….…………….. 17 

6. PTC OTPORNICI……………..………………………………………….……………. 20 

7. VARISTORI (VDR)….………………..……….………………………………………. 23 

8. FOTOOTPORNICI (LDR)..……………………………………………………………. 26 

SPAJANJE OTPORNIKA (NADOMJESNI OTPOR)…………………………. 29 

9. SERIJSKI SPOJ OTPORNIKA (TROŠILA)………………………………………… 30 

10. PARALELNI SPOJ OTPORNIKA (TROŠILA)….………………………………… 34 

11. MJEŠOVITI SERIJSKO-PARALELNI SPOJEVI OTPORNIKA………………… 39 

12. NEOPTEREĆENO DJELILO NAPONA………………………………………….. 43 

13. OPTEREĆENO DJELILO NAPONA……………………………………………… 48 

14. EKVIVALENTNI NAPONSKI IZVOR (Modovi rada izvora)……………………. 53 

SPAJANJE NAPONSKIH IZVORA…………………………………………….. 59 

15. SERIJSKI SPOJ NAPONSKIH IZVORA…………………………………………... 60 

16. PARALELNI SPOJ NAPONSKIH IZVORA……………………………………….. 63 

MJEŠOVITI SPOJ NAPONSKIH IZVORA………………………………………… 67 

17. ELEKTRIČNI RAD, ENERGIJA I SNAGA………………………………………… 68 

18. KORISNOST ELEKTRIČNE SNAGE I ENERGIJE………………………………. 73 

19. PRILAGOĐENJE STRUJE, NAPONA I SNAGE…………………………………. 77

IZMJENIČNE STRUJE 

1. TEMELJNA RAZMATRANJA O PROMJENLJIVIM STRUJAMA 81 

1.1. SINUSOIDNO PROMJENLJIVE STRUJE 81 

1.2. PARAMETRI IZMJENIČNIH VELIČINA 83 

1.3. VEKTORSKI (FAZORSKI) PRIKAZ IZMJENIČNIH VELIČINA 84 

1.4. SREDNJA VRIJEDNOST IZMJENIČNIH VELIČINA 85 

Aritmetička srednja vrijednost 85 

Elektrolitska srednja vrijednost 86 

Efektivna srednja vrijednost 86 

2. TROŠILO U KRUGU IZMJENIČNE STRUJE 88 

2.1. AKTIVNI OTPOR 88 

Snaga na aktivnom otporu (djelatna snaga) 90 

VJEŽBA A: AKTIVNI OTPOR 92 

VJEŽBA B: SNAGA NA AKTIVNOM OTPORU (DJELATNA SNAGA) 94 

2.2. SVITAK U IZMJENIČNOM KRUGU 97 

Induktivni otpor 97 

Snaga na induktivnom otporu 100 

VJEŽBA C: FAZNI POMAK IZMEĐU STRUJE I NAPONA NA SVITKU 102 

VJEŽBA D: INDUKTIVNA REAKTANCIJA SVITKA 104 

VJEŽBA E: SNAGA NA INDUKTIVNOJ REAKTANCIJI 107 

2.3. KONDENZATOR U IZMJENIČNOM KRUGU 110 

Kapacitivni otpor 110 

Snaga na kapacitivnom otporu 112 

VJEŽBA F: FAZNI POMAK IZMEĐU STRUJE I NAPONA NA 

KONDENZATORU 114 

VJEŽBA G: KAPACITIVNA REAKTANCIJA KONDENZATORA 116 

VJEŽBA H: SNAGA NA KAPACITIVNOJ REAKTANCIJI 119 

3. MJEŠOVITI SPOJEVI U KRUGOVIMA IZMJENIČNE STRUJE 122 

3.1. SERIJSKI SPOJ AKTIVNOG I INDUKTIVNOG OTPORA 123 

VJEŽBA I: SERIJSKI SPOJ AKTIVNOG I INDUKTIVNOG OTPORA 128

3.2. PARALELNI SPOJ AKTIVNOG I INDUKTIVNOG OTPORA 131 

VJEŽBA J: PARALELNI SPOJ AKTIVNOG I INDUKTIVNOG OTPORA 133 

3.3. SERIJSKI SPOJ AKTIVNOG I KAPACITIVNOG OTPORA 135 

VJEŽBA K: SERIJSKI SPOJ AKTIVNOG I KAPACITIVNOG OTPORA 138 

3.4. PARALELNI SPOJ AKTIVNOG I KAPACITIVNOG OTPORA 140 

VJEŽBA L: PARALELNI SPOJ AKTIVNOG I KAPACITIVNOG OTPORA 142 

3.5. SERIJSKI SPOJ AKTIVNOG, INDUKTIVNOG I KAPACITIVNOG 

OTPORA 

144 

VJEŽBA M: SERIJSKI SPOJ AKTIVNOG, INDUKTIVNOG I 

KAPACITIVNOG OTPORA 

147 

3.6. PARALELNI SPOJ AKTIVNOG, INDUKTIVNOG I KAPACITIVNOG 

OTPORA 

VJEŽBA N: PARALELNI SPOJ AKTIVNOG, INDUKTIVNOG I 

149 

KAPACITIVNOG OTPORA 151 

4. TRANSFORMATORI 154 

4.1. MEĐUINDUKTIVNA SPREGA 154 

VJEŽBA O: FAKTOR SPREGE 157 

4.2. TRANSFORMACIJA NAPONA I STRUJA 159 

VJEŽBA P: FAKTOR TRANSFORMACIJE (PRIJENOSNI OMJER) 162 

VJEŽBA Q: TRANSFORMACIJA OTPORA 165 

5. TROFAZNI SUSTAVI 167 

5.1. SPOJ ZAVOJA TROFAZNOG GENERATORA U ZVIJEZDU 169 

VJEŽBA R: TROFAZNI GENERATOR – SPOJ U ZVIJEZDU 172 

5.2. SPOJ ZAVOJA TROFAZNOG GENERATORA U TROKUT 175 

5.3. TROŠILO U ZVIJEZDA SPOJU 177 

Nesimetrično trošilo 177 

Simetrično trošilo 178 

Poremećeni trofazni zvijezda spojevi 179 

VJEŽBA S: TROFAZNO TROŠILO – SPOJ U ZVIJEZDU 180 

VJEŽBA T: TROFAZNO TROŠILO – POREMEĆENI (DEFEKTNI) 

SPOJ U ZVIJEZDU 182 

5.3. TROŠILO U TROKUT SPOJU 186 

Nesimetrično trošilo 186

Simetrično trošilo 186 

Poremećeni trofazni trokut spojevi 187 

VJEŽBA U: TROFAZNO TROŠILO – SPOJ U TROKUT 189 

VJEŽBA V: TROFAZNO TROŠILO – POREMEĆENI (DEFEKTNI) 

SPOJ U TROKUT 191 

BILJEŠKE 196

UVOD 

Laboratorijske vježbe iz predmeta OSNOVE ELEKTROTEHNIKE podijeljene su na dva dijela koja 

pokrivaju područja ISTOSMJERNIH STRUJA i IZMJENIČNIH STRUJA, tj. onaj dio gradiva 

predmeta koji je najvažniji za elektrotehničku praksu. 

Repetitorij s laboratorijskim vježbama iz OSNOVA ELEKTROTEHNIKE izrađen je za studente 

Računarskog odjela Veleučilišta u Splitu. Vježbama je obuhvaćen veći broj tematskih cjelina 

potrebnih za adekvatno savladavanje gradiva. 

Vježbe se ne izmjenjuju ciklički, nego jednake grupe vježbi rade svi studenti istovremeno. Time je 

omogućeno da vježbe “prate” gradivo izneseno na predavanjima. Cilj vježbi je što lakše i 

temeljitije savladavanje gradiva iznesenog na predavanjima. 

Svaka je vježba podijeljena na dva temeljna poglavlja: 

Teoretski uvod koji sadržava opis građe bitne za razumijevanje pojedine vježbe, kao i prikaz 

mogućnosti primjene korištenih elemenata u realnim elektrotehničkim uređajima i 

elektroničkim sklopovima. 

Pokus ili eksperimentalni dio koji sadržava zadatak što ga treba riješiti i odnosni mjerni 

postupak. Tablice i dijagrami potrebni za uspješno rješavanje eksperimentalnih zadataka su 

sastavni dio ovoga poglavlja. Kroz postavljena pitanja provjerava se usvajanje stečenih 

znanja. 

U tijeku izvođenja studenti popunjavaju priložene tablice izmjerenim podacima. Vježba se 

upotpunjava crtanjem krivulja, odgovorima na pitanja koje studenti unose u skripta na za to 

predviđenim mjestima, kao i komentarom vježbe. Prije izvođenju svakog ciklusa vježbi voditelj 

provjerava jesu li vježbe iz prethodnog ciklusa kompletirane. 

Vježbe se izvode na didaktičkim setovima. Za prikaz vremenski promjenljivih izmjeničnih veličina u 

određenom broju vježbi se kao mjerni instrument, radi zornosti prikaza, koristi osciloskop (ili 

računalo s dodatnim sklopom koji omogućuje realizaciju funkcija osciloskopa). Pojednostavljeno se 

osciloskop može tretirati kao voltmetar sa slikom, tj. grafičkim prikazom promjena naponskog 

signala u vremenu. Osciloskopi su višekanalni što omogućuje usporedbu različitih signala. Važno je 

da se studenti u ranoj fazi studija na relativno jednostavnim primjerima upoznaju sa sofisticiranom 

opremom, koju će kasnije koristiti u stručnom dijelu studija i pri izradi diplomskih radova. 

Sustavi imaju već ugrađene izvore napajanja. Izmjenični trofazni naponi ne uzimaju se direktno iz 

mreže, već se potrebni fazni pomak generira elektronički. Radi izbjegavanja rizika u izvođenju 

pokusa, fazni napon je sa uobičajenih 220V reduciran na 7V, a odgovarajući linijski napon sa 380V 

na 12V. Vježbe se izvode na laboratorijskom stolu.

Pokuse studenti obavljaju samostalno u grupama po dvoje. Tijekom odvijanja vježbi pozornost 

treba obratiti na: 

Prije izvođenja vježbe detaljno proučiti upute i prethodno izvršiti potrebne proračune. 

Pažljivo razgledati mjerne uređaje, instrumente i pomoćni pribor. Voditi računa o oznakama i 

mjernim područjima instrumenata. 

Nakon spajanja odgovarajućega električnog kruga, provjeru vrši voditelj vježbi. Napajanje se 

smije uključiti samo po odobrenju voditelja vježbi (asistenta, demonstratora). 

Sva spajanja i odspajanja treba izvoditi u beznaponskom stanju. 

Uočene kvarove, greške na instrumentima i opremi treba prijaviti voditelju vježbi. 

S opremom i instrumentima postupati pažljivo, čuvati ih od mehaničkih i električnih udara. 

Po završetku rada u laboratoriju odspojiti sve elemente i spremiti ih na odgovarajuće mjesto na 

ploči s priborom. 

Prije odlaska provjerite da li je isključeno napajanje električnih izvora i upotpunjen komplet s 

priborom. 

Za neprijavljene kvarove i otuđenje instrumenata i/ili pribora studenti sami snose potpunu 

odgovornost.

1 

1. ELEKTRIČNI KRUG 

ISTOSMJERNE STRUJE 

Električna struja je usmjereno kretanje električnih naboja pod djelovanjem električnoga polja. Da bi 

struja postojala i održavala se u vodljivoj sredini potrebno je imati: 

- izvor električne energije koji će stvoriti i održavati električno polje 

- zatvoreni električni krug koji predstavlja put kojim će se kretati naboji. 

Temeljni elementi strujnog kruga su izvor, spojni vodovi i trošilo, a sastavni dijelovi kruga mogu 

biti još i različiti mjerni instrumenti, sklopke, osigurači i drugi pomoćni elementi. 

Smjer toka struje naziva se tehničkim ili konvencionalnim smjerom. To je smjer prema kojemu 

struja izvan izvora teče od pozitivnog prema negativnom polu. 

Fizikalni ili stvarni smjer struje je smjer kretanja negativnih nositelja naboja, elektrona. To je smjer 

od negativnog prema pozitivnom polu. 

Temeljne električne veličine su napon U, struja I i otpor R. 

Jakost struje definirana je kao količina naboja koja prođe kroz poprečni presjek vodiča u jedinici 

vremena. 

Elektromotorna sila (EMS) E je sposobnost izvora da na svojim stezaljkama izvrši razdvajanje 

naboja i održava određenu razliku potencijala. Električni napon (pad napona) je dio EMS koji se 

troši na savladavanje otpora nekog dijela kruga. 

Nazivi, oznake i pripadne jedinice navedenih električnih veličina date su u Tablici 1.1. 

Veličina Simbol Jedinica 

Struja I 1A (Amper) 

EMS E 1V (Volt) 

Napon U 1V (Volt) 

Otpor R 1Ω (Om) 

Tablica 1.1. – Nazivi, simboli i jedinice temeljnih električnih veličina 

Mjerenje električnih veličina multimetrima 

Multimetri su predviđeni za mjerenje triju temeljnih električnih veličina: napona, struje i otpora. 

Složeniji multimetri omogućuju i mjerenje kapaciteta C, induktiviteta L, frekvencije f, temperature 

T, parametara tranzistora i dr. 

Princip mjerenja i pokazivanja multimetra može biti analogni ili digitalni. Pojednostavljeni izgled 

digitalnog i analognog multimetra prikazan je na Slikama 1.1. i 1.2.

2 

Slika 1.1. – Digitalni multimetar 

Slika 1.2. – Analogni multimetar 

Prije 

priključivanja potrebno je instrumente podesiti prema zahtjevima mjerenja. Postupak sadržava 

nekoliko koraka: 

- podešavanje nulte vrijednosti (kalibracija), ako je to potrebno, 

- biranje vrste struje/napona (istosmjerni DC ili izmjenični AC) ili neke 

druge mjerne veličine (R, 

f, T,…) pomoću preklopnika 

mjernog područja, 

- izbor mjernog područja obzirom na očekivane promjene mjerene veličine (primjerice: DC 

napon – područja 200mV, 20V, 200V, 1000V), 

- 

ispravno priključivanje dvaju ispitnih kabela u odgovarajuće utičnice na instrumentu ovisno o 

veličini koja se mjeri, 

- ispravno priključivanje drugog kraja ispitnog kabela u strujni krug ili komponentu kruga. 

Način spajanja mjernog instrumenta ovisi o veličini koja se mjeri. Voltmetar se spaja paralelno 

izvoru ili trošilu, kao što je to prikazano na Slici 1.3.

3 

Slika 1.3. – Paralelno spajanje voltmetra 

Ampermetar se, pak, spaja serijski kao na Slici 1.4. 

Slika 1.4. – Serijsko spajanje ampermetra 

Omometar 

se spaja paralelno mjerenom otporniku s tim da je otpornik izdvojen iz mjernog kruga 

(krug u beznaponskom stanju), kao na Slici 1.5. 

Slika 1.5. – Spajanje omometra

4 

POKUS 

Zadatak: 

Spojite 

jednostavni strujni krug sa sklopkom i žaruljicom. Mjerenjem provjerite je li struja ima 

jednaku vrijednost u svim točkama kruga, te kako se ponaša struja kada je krug prekinut ili izvor 

odspojen. 

Mjerni postupak: 

Spojite 

strujni krug prema sa sklopkom i žaruljicom (15V) prema Slici 1.6.: 

+ 

U= 15V 

- 

mA 

mA 

Slika 1.6. – Krug za kontrolu toka struje 

Iz 

isključena). 

Unesite vrijednosti izmjerenih struja i odgovarajuća 

stanja žaruljice u Tablicu 1.1. 

mjerite struje I1 i I2 kada je krug zatvoren (sklopka uključena) i kada je otvoren (sklopka 

Sklopka 

otvorena 

zatvorena 

I1(mA) I2(mA) Žarulja: uklj. (x), isklj. (-) 

Tablica 1.1. – Rezultati mjerenja kruga za kontrolu toka struje 

Provjerite je li struja još teče ako je sklopka zatvorena, a naponski izvor isključen. 

Što se može zaključiti o ponašanju struje u krugu? 

Odgovori na pitanja i komentar: 

I1 

I2

5 

2. OHMOV ZAKON 

Ohmov zakon je jedan od temeljnih zakona elektrotehnike kojim se definira matematički odnos 

između električnog napona U, električne struje I i električnog otpora R. Izražen u uobičajenom 

obliku glasi: 

I 

= 

E 

Req 

gdje 

je: I - električna struja [jedinica: Amper (A)] 

E- elektromotorna sila izvora EMS [jedinica: Volt (V)] 

Req - ukupni električni otpor [jedinica: Ohm (Ω)] 

Prema Ohmovom zakonu jakost struje u zatvorenom krugu proporcionalna 

je elektromotornoj sili 

EMS izvora električne energije, a obrnuto proporcionalna otporu cijelog kruga. 

Ohmov zakon primjenjuje se ne samo za cijeli strujni krug, nego i za bilo koji dio kruga. Ako se 

primijeni 

na neki dio kruga tada vrijedi: 

U 

I = 

R 

gdj e je: U - napon na datom dijelu kruga (V) 

R - otpor 

na datom dijelu kruga (Ω) 

Ekvivalentni 

oblici prikaza Ohmovog zakona su: 

U = IR i 

R = 

I 

U 

Zakon se smije primjenjivati samo 

za one vrste otpornika čija vrijednost ne ovisi o jakosti struje. 

Takvi 

se otpornici obično 

nazivaju linearnim otpornicima. 

Funkcija I=f(U) naziva se naponsko-strujna karakteristika i za linearni otpornik predstavljena je 

pravcem. Otpor R dobije se kao inverzna vrijednost koeficijenta 

smjera k pravca: 

1 1 

= = 

k tgα 

U 

I 

= R 

Ako se otpor mijenja pri konstantnom naponu, struja i otpor su međusobno obrnuto proporcionalni, 

tj. poveća li se otpor R pri nepromijenjenom naponu, smanjit će se jakost struje I i obratno. Uzrok 

promjene jakosti struje je promjena otpora. Krivulja I=f(R) kojom se definira spomenuta ovisnost 

struje o otporu (otporno-strujna karakteristika) ima oblik hiperbole. 

Za obje karakteristike vrijedi da su EMS E i otpor R o struji nezavisne veličine. Struja I posljedica 

je promjene napona i/ili otpora, pa je ona zavisna veličina I=f(E,R).

6 

POKUS 

Zadatak: 

Mjerenjem snimite naponsko strujne karakteristike I=f(E) uz konstantne vrijednosti 

triju različitih 

otpornika 

R1,R2 i R 3, te otporno-strujnu karakteristiku I=f(R) pri konstantnom naponu 

izvora E. 


Spojite strujni krug prema Slici 2.1. s otporom R 1=100Ω.. 

+ 

mA 

E= 0... 12V 

V 

R1 

- 

I 

Slika 2.1. - Krug za mjerenje naponsko-strujne karakteristike 

Izmjerite struje za pripadne napone izvora 0....12V prema Tablici 2.1. Postupak ponovite s 

otpornicima R2=150Ω i R3=330Ω i podatke unesite u Tablicu 2.1. 

E(V) 0 2 4 6 8 10 12 

I(mA) za R1=100Ω 



Tablica 2.1. – Rezultati mjerenja naponsko-strujnih karakteristika 

Prema podacima iz tablice ucrtajte na Grafu 2.1. naponsko-strujne karakteristike za sva tri zadana 

linearna otpornika. 

Spojite krug prema Slici 2.2. i podesite ulazni napon na E1=12V . 

E1=12V 

E2=8V 

E3=4V 

- 

+ 

mA 

I 

V R 

Slika 2.2. - Krug za mjerenje otporno-strujne karakteristike

7 

Struja I [mA] 

140 

130 

120 

110 

100 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

NAPONSKO - STRUJNE KARAKTERISTIKE OTPORNIKA 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 

Napon E [V] 

Graf 2.1. – Naponsko-strujne karakteristike 

Mijenjajući otpor R prema Tablici 2.2. izmjerite i unesite u tablicu pripadne struje. Postupak 

ponovite za napone E2=8V, odnosno E3=4V. 

R(Ω) 100 150 220 330 470 680 1000 

I(mA) za E1=12V 



Tablica 2.2. – Rezultati mjerenja otporno-strujnih karakteristika 

Temeljem podataka iz Tablice 2.2. nacrtajte odgovarajuće funkcije I=f(R) za konstantne napone od 

12V, 8V i 4V na Grafu 2.2.

8 

Struja I [mA] 

140 

130 

120 

110 

100 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

OTPORNO-STRUJNE KARAKTERISTIKE 

0 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 

Otpor R [Ω] 

Graf 2.2. – Otporno-strujna karakteristika 

Koje vrste krivulja pokazuju funkcije I=f(E) i I=f(R)? Iz nagiba (strmine) funkcija I=f(E) 

odredite vrijednosti pripadnih otpora. 

Odgovori na pitanja i komentar:

9 

3. INDIREKTNO MJERENJE OTPORA U-I METODOM 

( SPOJ S NAPONSKOM I SPOJ SA STRUJNOM POGREŠKOM) 

Za potrebe mjerenja struje u krugu ampermetar se uvijek vezuje u seriju s trošilom čiju struju mjeri, 

dok se napon mjeri paralelnim priključivanjem voltmetra. Stoga unutarnji otpor ampermetra RA 

mora biti što manji, a unutarnji otpor voltmetra RV što veći. 

Indirektno mjerenje otpora voltmetrom i ampermetrom (U-I metoda) je jedna od najčešće korištenih 

metoda, budući da se provodi instrumentima koji su uvijek pri ruci u pogonskim uvjetima. Izvedba 

je jednostavna, ali se u praksi ne koristi za precizna mjerenja. Odstupanja od stvarne vrijednosti 

otpora uzrokovana su pogreškama koje unose vlastiti otpori instrumenata. Prednost metode je 

mogućnost mjerenja u pogonskim uvjetima, što je naročito važno za mjerenje otpora otpornika čija 

se vrijednost mijenja za vrijeme rada (zbog zagrijavanja, ovisnosti o naponu i dr.). Ampermetar i 

voltmetar mogu se u strujni krug priključiti na dva načina kako je to prikazano na Slikama 3.1. i 3.2. 

+ 

- 

U 

RA 

A 

IA 

RV 

Slika 3.1. - Spoj sa strujnom pogreškom 

Prema Slici 3.1. voltmetar je spojen izravno paralelno s otporom, pa će napon biti pravilno 

izmjeren. Budući da struja teče i kroz voltmetar, ampermetar mjeri pogrešnu jakost struje za 

proračun otpora. Zato se ovaj spoj naziva spoj sa strujnom pogreškom. Ona nastaje zbog paralelnog 

spoja otpora s voltmetrom. Pogreška je to manja što je manja vlastita struja voltmetra IV u odnosu 

na struju kroz otpornik IR. Kako je omjer struja obrnuto proporcionalan prema pripadnim otporima: 

I V = 

I 

R 

R 

R 

V 

slijedi da omjer R/Rv treba biti što manji. Zaključuje se da je spoj sa strujnom pogreškom pogodan 

za mjerenje niskoomskih (malih) otpora. 

Iz zadane sheme spoja može se računski odrediti otpor R: 

R = 

I 

A 

U 

V 

− I 

V 

= 

I 

A 

UV 

U 

− 

R 

V 

V 

Voltmetar zbog svog velikoga unutarnjeg otpora vuče minimalnu struju, najčešće zanemarivu 

prema struji koju mjeri ampermetar (IA>>IV), pa će omjer pokazivanja instrumenata (UV/IA) dati 

dovoljno točnu vrijednost otpora R. 

V 

IV 

IR 

R

10 

+ 

- 

U 

V 

IA 

RV 

A 

RA 

Slika 3.2. Spoj s naponskom pogreškom 

U spoju prema Slici 3.2. unutarnji otpor ampermetra spojen je serijski s mjerenim otporom, pa kroz 

njih teče ista struja i ampermetar pokazuje točnu vrijednost. Budući da voltmetar mjeri i pad napona 

na ampermetru on pokazuje pogrešnu vrijednost za proračun otpora. Zato se ovaj spoj naziva spoj s 

naponskom pogreškom. Pogreška je to manja što je manji pad napona na ampermetru UA u odnosu 

na napon na otporniku UR. Omjer napona proporcionalan je pripadnim otporima: 

U A A = 

U 

R 

R 

R 

Izlazi da omjer RA/R mora biti što manji. Iz navedenog se zaključuje da je spoj s naponskom 

pogreškom pogodan za mjerenje visokoomskih (velikih) otpora. Računski se otpor određuje kao: 

U 

R = 

V 

−U 

I 

A 

A 

U 

= 

V 

− IR 

I 

A 

A 

Kako ampermetri imaju malen unutarnji otpor, pad napona na ampermetru je zanemariv (UA

11 

POKUS 

Zadatak: 

Mjerenjem napona i struje odredite otpor visokoomskog i niskoomskog otpora. Mjerenja izvršite na 

spoju sa strujnom, odnosno naponskom pogreškom i komentirajte dobivene rezultate. 


Odaberite iz pribora otpornike R1=22Ω (niskoomski) i R2=10kΩ (visokoomski) i izmjerite njihovu 

točnu vrijednost multimetrom [R(Ω)-izmjereno]. 

Sklopite krug sa strujnom pogreškom prema Slici 3.3. Izmjerite napon i struju pri konstantnom 

ulaznom naponu U=5V za otpor trošila od 22Ω. Postupak ponovite za otpor trošila od 10kΩ. 

+ 

mA 

I 

U=5V 

V 

R 

- 

Slika 3.3. Mjerenje otpora u krugu sa strujnom pogreškom 

Za spoj s naponskom pogreškom prema Slici 3.4. provedite sva mjerenja kao i u prethodnom 

slučaju. 

+ 

- 

U=5V 

V 

I 

mA 

Slika 3.4. Mjerenje otpora u krugu s naponskom pogreškom 

Računski odredite otpore R1 i R2 temeljem izmjerenih napona i struja [R(Ω)-izračunato]. 

Unesite sve izmjerene i izračunate vrijednosti u Tablicu 3.1. i Tablicu 3.2. 

R(Ω)-izmjereno I(mA) U(V) R(Ω)-izračunato 

R1= R1= 

R2= R2= 

Tablica 3.1. Rezultati mjerenja za spoj sa strujnom pogreškom 

R

12 

R(Ω)-izmjereno I(mA) U(V) R(Ω)-izračunato 

R1= R1= 

R2= R2= 

Tablica 3.2. Rezultati mjerenja za spoj s naponskom pogreškom 

Prema rezultatima mjerenja zaključite koji spoj je povoljniji za mjerenje malih, a koji za 

mjerenje velikih otpora. Kolika je apsolutna pogreška za pojedine vrijednosti? 


13 

ELEKTRIČNI OTPORNICI 

Nositelji električnog naboja pri djelovanju usmjerenog električnog polja sudaraju se sa česticama 

materijala koje se nalaze u kaotičnom gibanju. Suprotstavljanje materijala prolasku električne struje 

naziva se električnim otporom. Otpor ograničuje tok struje u krugu. 

U nekim slučajevima (vodiči između elemenata kruga, vodovi za prijenos električne energije i 

telekomunikacijskih signala) otpor je nepoželjan i nastoji se smanjiti pogodnim izborom materijala i 

dimenzija. S druge strane, često je potrebno namjerno spojiti u strujni krug element s određenom 

vrijednošću otpora. Njegova uloga je transformacija električnog rada u toplinu (elektrotermički 

uređaji, žarulje sa žarnom niti, topivi osigurači) ili dobivanje određenog pada napona na krajevima 

elementa, kao što je to slučaj u raznim električnim krugovima u elektronici, gdje su oni najčešće 

uporabljivana pasivna komponenta. 

Elementi projektirani s ciljem da u krug unesu određeni otpor, koji je velik u odnosu na otpor 

spojnih vodova i spojeva, nazivaju se električnim otpornicima. 

Jedinica otpora je Ohm (Ω), a veličina otpora prema Ohmovom zakonu je: 

U 

R = 

I 

Vrijednosti koje definiraju pojedini otpornik su njegova nazivna vrijednost, tolerancija te vrijednosti 

u % i opteretivost (maksimalno dozvoljena snaga). Opteretivost je ona snaga koju dani otpornik 

može primiti, a da se ne oštete njegove vitalne funkcije. 

Snaga se može odrediti iz relacija: 

P = UI = I 

R 

2 = 

U 

R 

2 

a jedinica joj je vat (W). 

Otpornici imaju različita temperaturna svojstva ovisno o upotrijebljenom materijalu. Ona se opisuju 

sa: 

∆R = R20α∆ϑ 

gdje je: 

∆R - promjena otpora 

α - temperaturni koeficijent otpora u K -1 

∆ϑ - promjena temperature. 

Posebnu skupinu otpornika čine nelinearni otpornici. Premda otpor bilo kojeg otpornika ovisi, kako 

je navedeno, o više parametara, nelinearni otpornici su posebno napravljeni da iskažu strogu 

ovisnost o nekom vanjskom parametru. To može biti ovisnost o naponu, magnetskom polju 

(Hallove sonde), svjetlu, tlaku i dr. 

Karakteristična svojstva pojedinih otpornika određuju njihov izbor kao elementa elektroničkih 

krugova.

14 

4. LINEARNI OTPORNICI 

Otpornik se naziva linearnim, ako se struja koja kroz njega teče mijenja proporcionalno s narinutim 

naponom, tj. ako je krivulja koja opisuje funkcijsku ovisnost I=f(U) pravac. Simbol linearnog 

otpornika prikazan je na Slici 4.1.a) To je otpornik stalne nazivne vrijednosti. Otpornici kojima se 

vrijednost može namjerno mijenjati su promjenljivi otpornici (potenciometri, reostati), a prikazuju 

se simbolima kao na Slici 4.1.b) i 4.1.c). 

Slika 4.1. - Simboli konstantnog (a) i promjenljivog linearnog otpornika (b),(c)

15 

POKUS 

Zadatak: 

Nacrtajte statičke karakteristike I=f(U) za tri linearna otpornika R1=100Ω, R2=150Ω, R3=330Ω i 

odredite pripadne gubitke snage za svako mjerenje. 


Pokus izvedite sastavljanjem kruga prema Slici 4.2. 

+ 

mA 

U= 0 ... 10V 

V 

R 

- 

I 

Slika 4.2. Spoj za snimanje naponsko-strujne karakteristike linearnog otpornika 

Izmjerite struje kroz svaki od zadanih otpornika za napone određene prema Tablici 4.1. 

Izračunajte otpore iz izmjerenih podataka (R=U/I) i gubitke snage (disipacija) P=UI. 

Temeljem dobivenih podataka nacrtajte naponsko-strujne karakteristike za svaki otpor, prema 

Grafu 4.1. 

U(V) 

I(mA) 

1 2 4 6 8 10 

R=100Ω P(mW) 

R(Ω) 

I(mA) 

R=150Ω P(mW) 

R(Ω) 

I(mA) 

R=330Ω P(mW) 

R(Ω) 

Tablica 4.1. – Rezultati mjerenja otpora i snage linearnih otpornika

16 

Struja I [mA] 

120 

110 

100 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

NAPONSKO - STRUJNE KARAKTERISTIKE OTPORNIKA 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 

Napon U [V] 

Graf 4.1. – Naponsko-strujne karakteristike otpornika 

Ako se zna da je maksimalna dozvoljena snaga (opteretivost) zadanih otpornika Pmax=2W, 

odredite maksimalne napone koji se smiju priključiti na pojedine otpornike. 


U 

U 

U 

1max 

2 max 

3max 

( R ) = 

1 

( R ) = 

2 

( R ) = 

3

17 

5. NTC OTPORNICI 

Kod metala i nekih drugih tvari otpor raste s porastom temperature. Međutim ima niz tvari (ugljen, 

poluvodiči) koje se ponašaju obratno. One lošije vode u "hladnom" stanju nego u "toplom" stanju, 

odnosno otpor im se smanjuje pri povišenju temperature. Zato ih zovemo toplim vodičima ili 

otpornicima s negativnim temperaturnim koeficijentom - NTC otpornicima. Često je u uporabi i 

naziv termistor. Na Slici 5.1. je simbol NTC otpornika (promjena temperature i otpora su protivnog 

smisla ↑↓ ). 

ϑ 

Slika 5.1. - Simbol NTC otpornika 

Temperaturni koeficijent otpora α je promjena otpora vodiča od 1Ω pri promjeni temperature za 

1 0 K (Kelvin). Za termistore negativna temperaturna ovisnost je znatno izraženija nego pozitivna 

kod metala i iznosi nekoliko postotaka po stupnju Kelvina. Izrađuju se od poluvodičkih materijala 

(polikristalna keramika od miješanih oksida). 

Karakteristična krivulja temperaturne ovisnosti NTC otpornika je eksponencijalna i može se izraziti 

kao: 

B 

T R = Ae 

gdje su: A,B - konstante 

T - apsolutna temperatura u 0 K. 

Otpor ovisi o upotrijebljenom materijalu, načinu izvedbe i temperaturnim promjenama. Promjenu 

otpora može izazvati promjena temperature okoliša. S druge strane vlastito zagrijavanje 

(samozagrijavanje) odnosno hlađenje, kao posljedica različitih električnih opterećenja također 

uzrokuje promjenu otpora. Ovaj je efekt posebno važan. Kada se narine dovoljno visoki napon 

proizvede se u otporniku toliko topline da mu poraste temperatura. To vodi smanjenju otpora, 

povećanju struje i novom rastu temperature. Nakon nekog vremena, od djelića sekunde do minute 

ovisno o izvedbi, uspostavi se ravnotežno stanje. Opisani efekt samozagrijavanja termistora ima niz 

primjena. Primjerice, ako se NTC serijski spoji s nekom drugim uređajem, ograničit će početnu 

vrijednost struje. Zagrijavanjem struja bez naglog skoka postupno raste do njene završne 

vrijednosti. Primjenjuje se još i kao temperaturno osjetilo (senzor) u mjerenju temperature ili za 

kompenzaciju temperaturnih ovisnosti drugih naprava, za stabilizaciju radne točke u tranzistorskim 

spojevima, te u regulacijskim uređajima za uključivanje i isključivanje pri određenim 

temperaturama.

18 

POKUS 

Zadatak: 

Iz pribora izaberite NTC otpornik (6KΩ kod 20 0 C). Nacrtajte njegove statičke karakteristike I=f(U) 

i R=f(ϑ). Promjenu otpora ostvarite vlastitim zagrijavanjem (povišenjem ulaznog napona). 

Napomena: Za očekivati je da je utjecaj promjene temperature okoline zanemariv. 


Spojite strujni krug prema Slici 5.2. 

+ 

U= 0 ... 30V 

- 

mA 

I 

V 

ϑ↑↓ 

Slika 5.2. Krug za mjerenje karakteristika NTC otpornika 

Izmjerite struje kroz NTC otpornik za napone prema Tablici 5.1. i vrijednosti unesite u tablicu. 

U(V) 5 10 15 20 25 28 

I(mA) 

R(kΩ) 

Tablica 5.1. - Rezultati mjerenja za NTC otpornik 

Sukcesivna mjerenja izvodite u pauzama od približno 30 s radi postizanja termički stabilnog stanja 

nakon svake promjene napona. 

Otpori potrebni za crtanje krivulja R=f(ϑ) izračunavaju se iz izmjerenih vrijednosti struja i napona 

prema Tablici 5.1. 

Izmjerene i izračunate podatke unesite u dijagram Graf 5.1. i konstruirajte tražene krivulje.

19 

Struja I [mA] 

7 

6.5 

6 

5.5 

5 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

Otpor R [KΩ] 

6.6 

6.4 

6.2 

6 

5.8 

5.6 

5.4 

5.2 

5 

4.8 

4.6 

4.4 

4.2 

4 

KARAKTERISTIKE NTC OTPORNIKA 

3.8 

0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25 27.5 30 

Napon U [V] 

Graf - 5.1. – Karakteristike NTC otpornika 

Što se može zaključiti iz oblika karakteristika NTC otpornika? 


20 

6. PTC OTPORNICI 

Osim metala ima još tvari kod kojih je otpor u "hladnom" manji nego u "toplom" stanju. To su 

hladni vodiči. Otpor im raste s porastom temperature. Otpornici takvih karakteristika imaju 

pozitivni temperaturni koeficijent, pa ih nazivamo PTC otpornicima. Na Slici 6.1. je simbol PTC 

otpornika (promjena temperature i otpora su istog smisla ↑↑). 

ϑ 

Slika 6.1. - Simbol PTC otpornika 

Kao i kod NTC otpornika uzrok promjene otpora može biti promjena temperature okoline 

(ambijenta) ili vlastito zagrijavanje/hlađenje kao posljedica različitih električnih opterećenja. Otpor 

im ispod određene temperature umjereno ovisi o temperaturi, a jako se povećava iznad te 

temperature. Povećanje može biti vrlo naglo i do 15% po 0 C, a ukupno povećanje otpora u 

intervalu od nekoliko desetaka 0 C dostiže po nekoliko redova veličine. Izrađuje se od feroelektrične 

keramike npr. TiO3. 

Koriste se u ograničenom opsegu temperatura, jer im iznad granične temperature temperaturni 

koeficijent opet postaje negativan. Osim toga jako su frekvencijski ovisni iznad 5MHz zbog velikog 

kapaciteta C koji je posljedica njihove unutarnje strukture. 

Ugrađuju se kao zaštitni uređaji u opremi za zaštitu od pregrijavanja i u krugovima za regulaciju 

temperature za grijanje. PTC otpornik se serijski spoji s krugom za napajanje i postavi na poziciju 

gdje je moguće zagrijavanje iznad dozvoljenog. U slučaju pregrijavanja trenutno se poveća njegov 

otpor. Zaštita od prekomjernog porasta struje, odnosno pregrijavanja, automatski se osigurava 

vlastitim zagrijavanjem PTC otpornika. Kada struja postane prevelika PTC otpornik je ograniči na 

sigurnu vrijednost. 

Može se uporabiti kao temperaturno osjetilo i kao osjetilo razine tekućine.

21 

POKUS 

Zadatak: 

Iz pribora odaberite PTC otpornik (60Ω kod 20 0 C). Nacrtajte njegove statičke karakteristike I=f(U) 

i R=f(ϑ). Promjenu otpora ostvarite vlastitim zagrijavanjem (povišenjem ulaznog napona). 

Napomena: Za očekivati je da je utjecaj promjene temperature okoline zanemariv. 


Spojite strujni krug prema Slici 6.2. Izmjerite struje kroz PTC otpornik za napone prema Tablici 

6.1. i vrijednosti unesite u tablicu. 

U(V) 1 2 4 6 8 10 12 16 20 24 

I(mA) 

R(Ω) 

Tablica 6.1. – Rezultati mjerenja za PTC otpornik 

+ 

U= 0 ... 30V 

- 

mA 

I 

V 

ϑ↑↑ 

Slika 6.2. - Krug za mjerenje karakteristika PTC otpornika 

Sukcesivna mjerenja izvodite u pauzama od približno 30 s radi postizanja termički stabilnog stanja 

nakon svake promjene napona. 

Otpori potrebni za crtanje krivulja R=f(ϑ) izračunavaju se iz izmjerenih vrijednosti struja i napona 


Izmjerene i izračunate podatke unesite u Graf 6.1. i konstruirajte tražene krivulje.

22 

Struja I [mA] 

120 

110 

100 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

Otpor R [Ω] 

1200 

1100 

1000 

900 

800 

700 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

KARAKTERISTIKE PTC OTPORNIKA 

0 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 

Napon U [V] 

Graf 6.1. - Karakteristike PTC otpornika 

Što se može zaključiti iz oblika karakteristika PTC otpornika? Kako se mijenja struja? 


23 

7. VARISTORI (VDR) 

Varistori su naponski ovisni otpornici (VDR - Voltage Dependent Resistor) kojima se otpor mijenja 

inverzno s narinutim naponom. Opadanje otpora s povećavanjem napona je vrlo oštro izraženo. 

Simbol varistora prikazan je na Slici 7.1. 

U 

Slika 7.1. - Simbol varistora 

Sastoje se od mnoštva sitnih zrnaca s ispravljačkim djelovanjem na spojnim točkama. Kada porast 

napona prijeđe graničnu vrijednost, struja na kontaktima VDR-a zbog pada otpora naglo poraste. 

Zrnca (granule) mogu se shvatiti kao komplicirana mreža veoma malih otpora. Broj serijski 

spojenih otpora određuje mjeru napona, a broj paralelnih spojeva definira maksimalnu struju. 

Izrađuju se silicijeva karbida ili cinkova oksida. 

U normalnom radnom području varistora promjena struje je vrlo izražena već za male promjene 

napona, pa se varistor može primijeniti u svrhu stabilizacije napona. 

Tipični primjer uporabe varistora je za potiskivanje naponskih udara, odnosno zaštitu od prenapona. 

Takve se prilike mogu stvoriti uključivanjem induktivnih trošila, udarom groma ili drugim vrstama 

elektrostatičkih pražnjenja. Varistor se vezuje kao zaštitni uređaj paralelno trošilu. U normalnim 

uvjetima kroz njega teče zanemariva struja. Kada se dogodi naponski udar struja varistora naglo 

poraste i time spriječi porast napona. Varistor apsorbira energiju uklapanja uređaja. Javlja se i kao 

element za prekonaponsku zaštitu različitih poluvodičkih sklopova. Varistor je koristan i za gašenje 

električnih iskara. 

PTC, NTC i VDR otpornici proizvode se uglavnom sinterovanjem i to od kristala poluvodičkih 

elemenata, njihovih spojeva i dodataka.

24 

POKUS 

Zadatak: 

Iz pribora odaberite VDR otpornik (1mA kod 11V). Nacrtajte njegove statičke karakteristike I=f(U) 

i R=f(U). 


Spojite strujni krug prema Slici 7.2. Da bi se ograničila struja kroz VDR potrebno je serijski spojiti 

otpor R=4,7KΩ.. Izmjerite struje kroz VDR otpornik za napone prema Tablici 7.1. i vrijednosti 

unesite u tablicu. 

U(V) 6 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11 11,5 12 

I(mA) 

R(kΩ) 

Tablica 7.1. – Rezultati mjerenja za varistor 

+ 

U= 2 ... 30V 

- 

R 

mA 

I 

V 

U↑↓ 

Slika 7.2. - Krug za mjerenje karakteristika varistora 

Otpori potrebni za crtanje krivulja R=f(U) izračunavaju se iz izmjerenih vrijednosti struja i napona 


Izmjerene i izračunate podatke unesite u Graf 7.1. i konstruirajte tražene krivulje.

25 

Otpor R [MΩ] 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

Struja I [mA] 

1.0 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

KARAKTERISTIKE VARISTORA 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 

Napon U [V] 

Graf 7.1. – Karakteristike varistora 

Što se može zaključiti iz oblika karakteristika varistora? 


26 

8. FOTOOTPORNICI (LDR) 

Fotootpornici su otpornici ovisni o svjetlu (LDR - Light Dependent Resistor). Otpor im se smanjuje 

pri porastu rasvijetljenosti i obratno. 

Simbol fotootpornika prikazan je na Slici 8.1. 

Slika 8.1. - Simbol fotootpornika 

Promjenu otpora uzrokuje unutarnji fotoelektrični efekt. Energiju koju isijava svjetlosni izvor 

apsorbira poluvodički materijal fotootpornika, pri čemu se oslobađaju slobodni nositelji naboja. 

Krajnji rezultat je povećanje vodljivosti, pa je u uporabi i naziv fotovodiči. 

Koriste se kao svjetlosne prepreke, elementi za upravljanje plamenom, mjerenje osvijetljenosti, 

vatrodojavu, u krugovima za regulaciju svjetla kao sklopka za zatamnjivanje, kao strujni prekidači i 

dr. 

Čest su element složenih modernih elektroničkih krugova. Primjerice u krugovima za A/D 

(analogno-digitalnu) pretvorbu analogni električni signal se vremenski uzorkuje i kodira u 

digitalnom formatu. Pri tom LDR radi kao vremenski prekidač upravljan laserskim impulsima, pa 

se tako prati i uzorkuje analogni naponski signal. VDR-ovi se postavljaju i u optoelektroničkim 

"sample & hold" (uzorkuj i zadrži) jedinicama. Zahvaljujući svojstvima fotootpornika mogu se 

realizirati i uređaji koji generiraju kratkotrajne impulse velike snage.

27 

POKUS 

Zadatak: 

Iz pribora odaberite LDR otpornik. Odredite vrijednosti njegova otpora mjerenjem napona i struje 

za različite intenzitete svjetla iz svjetlosnog izvora. 


Spojite strujni krug prema Slici 8.2. Umetnite svjetlosni izvor (svjetiljka 15V) lijevo od 

fotootpornika tako da je žarulja postavljena neposredno uz sam otpornik. Da bi se djelovanje 

vanjskog svjetla svelo na minimum, prekrijte fotootpornik i svjetlosni izvor. 

Mijenjajte vrijednosti na promjenljivom otporniku (1KΩ) od 0...10 prema Tablici 8.1. 

U(V) 

I(mA) 

R(Ω) 

Položaji potenciometra 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Tablica 8.1. - Rezultati mjerenja za LDR otpornik 

Promjenom položaja potenciometra mijenja se intenzitet svjetla kojem je izložen fotootpornik. 

Izmjerite napone i struje za svaki položaj potenciometra i vrijednosti unesite u tablicu. Izračunajte 

odgovarajuće vrijednosti otpora fotootpornika i unesite ih u tablicu. 

+ 

U = 30 V 

- 

150 Ω 

P(1kΩ) 

mA 

680 Ω 

LDR 

Slika 8.2. - Krug za mjerenje karakteristika fotootpornika 

V

28 

Temeljni podaci fotootpornika LDR 03: 

- Otpor u tamnom stanju (dark) RD≥10MΩ 

- Otpor u rasvijetljenom stanju - izvor 1000lx (bright) RH=75...300Ω 

- Maksimalna snaga (za T≤40 0 C) Pmax=0,2W 

- Radni napon Umax=150V 

Napomena: Za snimanje stvarne tipične karakteristike koja daje ovisnost otpora fotootpornika o 

rasvijetljenosti u luksima (lx), bio bi neophodan instrument luksmetar (svjetlomjer), kojim bi se 

točno mjerio nivo rasvijetljenosti. U vježbi je rasvijetljenost indirektno sadržana u različitim 

položajima potenciometra. 

Kako se mijenja otpor fotootpornika od najmanjega do najvećega intenziteta rasvijetljenosti? 


29 

SPAJANJE OTPORNIKA - NADOMJESNI OTPOR 

Umjesto pojedinačnih otpornika, u većini praktičnih slučajeva u strujnom krugu može biti više 

otpornika povezanih u grupe na različite načine. Dva su temeljna načina spajanja: serijski i 

paralelni spoj. Ovi se spojevi mogu i kombinirati u mješovite (grupne) spojeve, te se tako dobiju 

raznovrsne mreže otpornika. 

Čisti serijski spoj rijedak je u praksi. Primjenjuje se primjerice u vijencu žaruljica na Božićnom 

drvcu. 

U paralelnom spoju električna trošila su paralelno priključena na isti izvor napona, pa se po volji 

uključuju i isključuju i to neovisno jedna od drugih. Zato se ova vrsta spoja češće javlja od 

serijskog. 

Mješoviti spojevi susreću se u razgranatim električnim strujnim krugovima, koji mogu sadržavati 

više naponskih i/ili strujnih izvora. 

Ako se želi odrediti ukupna struja u nekom složenom krugu, on se mora pretvoriti u temeljni krug 

koji sadržava izvor električne energije i određeni otpor. Struja kroz taj otpor mora biti jednaka 

ukupnoj struji kroz različite otpore složene mreže. Drugim riječima taj otpor u potpunosti mora 

zamijeniti djelovanje svih pojedinačnih otpora složene mreže. Zato ga i nazivamo nadomjesnim ili 

ekvivalentnim (ukupnim) otporom kruga. 

Načini određivanja nadomjesnog otpora otpornika ovise o vrsti mreže spojene na izvor EMS 

(serijski, paralelni, mješoviti, spojevi u zvijezdu i trokut).

30 

9. SERIJSKI SPOJ OTPORNIKA (TROŠILA) 

U serijskom spoju svi su otpornici na naponski izvor spojeni u nizu jedan iza drugoga (kraj prvoga 

vezan je na početak drugoga, kraj drugoga na početak trećega itd.). Pri prekidu strujnog kruga svi 

otpornici ostaju bez struje. 

Na Slici 9.1. prikazan je serijski spoj proizvoljnog broja od n otpornika priključenih na izvor EMS i 

odgovarajući temeljni strujni krug s nadomjesnim otpornikom otpora Reqs koji zamjenjuje 

djelovanje svih serijskih otpora. 

I 

E 

R1 

R2 

R3 

Rn 

U1 U2 U3 Un 

Slika 9.1. - Serijski krug otpora i nadomjesni otpor 

Kako u krugu nema grananja struje očigledno je da kroz sve otpore teče ista struja: 

I1 = I 2 = I 3 = ⋅⋅⋅⋅⋅ 

= I n = I 

Na krajevima pojedinih otpornika naponi su prema Ohmovu zakonu: 

= R I , , , ........ , 

I R U 2 = 2 

I R U3 = 3 

U n = RnI 

U1 1 

Ako se razmatra raspodjela napona na pojedinačnim otporima dobije se iz gornje relacije za odnose 

napona: 

U 

U 

1 1 1 = = , 

2 

R I 

R I 

2 

R 

R 

2 

U 2 R2 

U n− 

1 Rn−1 

= , ...... , = 

U 

3 

R 

3 

U 

n 

tj. pojedinačni naponi proporcionalni su pojedinačnim otporima. U općem slučaju gornju tvrdnju 

matematički iskazujemo kao: 

U i = 

U 

j 

Ri 

R 

j 

Što je vrijednost otpora veća na krajevima otpornika bit će veći napon i obratno. 

Odredimo vezu između pojedinačnih napona i EMS izvora E. EMS izvora brojčano je jednaka radu 

koji se utroši na prenošenje jediničnog naboja (E=W/Q0) kroz cijeli vanjski dio kruga. Rad koji se 

utroši na svakom serijskom dijelu kruga tada je brojčano jednak naponima U1,U2,....Un. 

R 

n 

E 

I 

Reqs

31 

Elektromotorna sila izvora mora biti jednaka zbroju pojedinačnih napona na otporima (II 

Kirchhoffov zakon): 

E U + U + U + ⋅⋅ 

⋅ + U 

= 1 2 3 

odnosno: 

( R + R + R + ⋅⋅⋅ 

R ) 

E = I 

+ 

1 

2 

3 

n 

n 

Kvocijentom E/I određen je otpor nadomjesnog otpornika Reqs koji zamjenjuje sve serijski spojene 

otpore R1, R2,..., Rn: 

E 

= R 

I 

eq 

s 

= R + R + R + ⋅⋅⋅+ 

R 

ili u kraćem obliku: 

Reqs = 

∑ = i n 

i= 

1 

R 

i 

1 

2 

3 

n 

Zaključak: Ukupni otpor serijskog kruga jednak je zbroju pojedinačnih otpora. Serijskim spajanjem 

ukupni otpor raste, pa je nadomjesni otpor uvijek veći od najvećeg pojedinačnog otpora. 

Ako je serijski krug sastavljen od n jednakih otpora R tada je: 

Req = 

s 

nR

32 

POKUS 

Zadatak: 

Mjereći napone i struje dokažite da u svim točkama serijskog kruga teče jednaka struja i da je zbroj 

pojedinačnih napona jednak ukupnom naponu izvora. 


Spojite serijski krug prema shemi na Slici 9.2. s otpornicima R1=100Ω, R2=220Ω, R3=470Ω. 

Napon izvora podesite na E=10V. 

+ 

- 

I 

E=10V 

A B R1 C D R2 E F 

H 

mA 

G 

Slika 9.2. - Shema spoja za mjerenje nadomjesnog otpora serijskog spoja 

Prekinite spoj između točaka A-B, umetnite ampermetar i izmjerite struju. Ponovite postupak 

mjereći struju između ispitnih točaka C-D, E-F, G-H. 

Izmjerite djelomične (pojedinačne) napone spajanjem voltmetra između ispitnih točaka B-C, D-E, 

F-G, te ukupni napon između točaka B-G. 

Sve izmjerene vrijednosti unesite u Tablicu 9.1. 

Struja (mA) Djelomični naponi (V) Ukupni napon (V) 

Ispitne točke Ispitne točke Ispitne točke 

A-B C-D E-F G-H B-C (UR1) D-E (UR2) F-G (UR3) B-G (U) 

Tablica 9.1. - Rezultati mjerenja u serijskome spoju otpornika 

V 

R3

33 

Koliki je nadomjesni otpor? Kolike su struje na pojedinim otpornicima? 

Kakav je odnos ukupnog napona izvora prema pojedinačnim naponima? 

Koliki su omjeri pojedinačnih napona prema odgovarajućim otporima? 

Odgovore potvrdite pripadnim brojčanim pokazateljima. Usporedite rezultate dobivene 

mjerenjem i proračunom. 

Napomena: Moguća mala odstupanja izmjerenih i izračunatih vrijednosti posljedica su pogrešaka 

mjerenja i tolerancije upotrijebljenih komponenti. 


34 

10. PARALELNI SPOJ OTPORNIKA (TROŠILA) 

Otpornici su spojeni paralelno ako je na jedan terminal izvora vezan jedan priključak svih 

otpornika, a na drugi terminal izvora drugi priključak svih otpornika. Na Slici 10.1. prikazan je 

paralelni spoj n otpornika priključenih na izvor EMS i pripadni temeljni krug s nadomjesnim 

otpornikom otpora Reqp koji zamjenjuje djelovanje svih paralelno spojenih otpornika. 

E E 

I 

A 

B 

I1 I2 I3 In 

R1 R2 R3 Rn 

Slika 10.1. - Paralelni krug otpornika i nadomjesni otpor 

U paralelnom spoju ukupna struja se grana na n grana. Svaki je otpornik spojen između dvije 

zajedničke točke (čvora) A i B, pa je razlika potencijala (električni napon) na bilo kojem otporniku 

jednaka razlici potencijala između zajedničkih točaka. Prema tomu za paralelni spoj vrijedi da su 

naponi na svim otpornicima jednaki. Ako je paralelni spoj vezan neposredno na izvor EMS, napon 

na svakome otporniku jednak je naponu na terminalima izvora: 

U 1 = U 2 = U 3 = ⋅⋅⋅⋅⋅ 

= U n = E 

Paralelni spoj je razgranati strujni krug u kojem se ukupna struja dijeli na onoliko grana 

(pojedinačnih struja) koliko ima otpora. Svakim se novim paralelno priključenim otpornikom 

povećava ukupna struja. Pojedinačne struje dobiju se iz Ohmovog zakona: 

E 

I 1 = , 

R 

1 

E 

I 2 = , 

R 

2 

E 

I 3 = , ........ , 

R 

Prema gornjem izrazu omjeri struja su: 

I 

I 

1 1 2 = = , 

2 

E 

R 

E 

R 

2 

R 

R 

ili u općem obliku: 

I i = 

I 

j 

R 

R 

j 

i 

1 

2 

3 

I 2 R3 

= , ............ , 

I 

3 

R 

I 

I 

I = 

n 

n− 

1 = 

n 

E 

R 

R 

R 

n 

n 

n−1 

I 

Reqp

35 

Dakle djelomične struje obrnuto su proporcionalne otporima paralelnih grana. Kroz manji otpor 

teče jača struja i obratno. 

Ukupna struja ulazi u čvor A iz kojega izlazi kao suma djelomičnih struja I1, I2,....., In (nema 

gomilanja naboja u točki). Djelomične struje ulaze u čvor B. Na izlazu iz čvora B opet teče ukupna 

struja I. Općenito vrijedi da je zbroj struja koje ulaze u čvor jednak zbroju struja koje iz tog čvora 

izlaze (I Kirchhoffov zakon). 

Za paralelni spoj prema Slici 10.1. jakost struje u dovodnoj grani (ukupna struja) jednaka je zbroju 

struja u paralelnim granama: 

I = I + I + I + ⋅⋅⋅ 

+ I 

1 

2 

3 

n 

Uvrste li izrazi za pojedinačne struje slijedi: 

⎛ 

I = E 

⎜ 

⎝ 

1 

R 

1 

+ 

1 

R 

2 

+ 

1 

R 

3 

+ ⋅⋅⋅+ 

1 

R 

n 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

Kvocjent I/E predstavlja recipročnu vrijednost nadomjesnog otpora Reqp koji zamjenjuje cijelu 

grupu paralelno vezanih otpora R1, R2,....., Rn: 

I 

E 

= 

1 

R 

eq p 

= 

ili skraćeno: 

1 

Reqp = 

1 

R 

1 

∑ = i n 

i= 1 Ri 

1 

+ 

1 

R 

2 

+ 

1 

R 

3 

+ ⋅⋅⋅+ 

1 

R 

n 

Zaključak: Recipročna vrijednost nadomjesnog otpora paralelnog kruga jednaka je zbroju 

recipročnih vrijednosti pojedinačnih otpora. Paralelnim spajanjem ukupni se otpor smanjuje, pa je 

nadomjesni otpor uvijek manji od najmanjeg pojedinačnog otpora. 

Za slučaj dvaju paralelno vezanih otpora vrijedi: 

1 1 1 R1 

+ R 

= + = 

R R R R R 

12 

1 

odnosno: 

R 

12 

R1R2 

= 

R + R 

1 

2 

2 

1 

2 

2 

Analogno se za tri paralelna otpora dobije nadomjesni otpor: 

R 

123 

R1R2 

R3 

= 

R R + R R + R R 

1 

2 

2 

3 

3 

1 

Ako je paralelni krug sastavljen od n jednakih otpora R dobije se:

36 

Req = p 

R 

n 

Budući da je recipročna vrijednost otpora R jednaka vodljivosti G (G=1/R), nadomjesni otpor može 

se lakše odrediti računajući s odgovarajućim vodljivostima mreže. Zamjenom otpora vodljivostima 

dobije se nadomjesna vodljivost paralelnog spoja: 

Geqp = G + G + G 

1 

+ ⋅⋅ 

⋅ + 

a nadomjesni otpor je tada: 

R 

eqp 

1 

= 

G 

eqp 

2 

3 

G 

n 

= 

∑ = i n 

i= 

1 

G 

i 

Zaključak: Nadomjesna vodljivost jednaka je zbroju vodljivosti paralelno spojenih otpora. 

Paralelnim vezivanjem povećava se ukupna vodljivost.

37 

POKUS 

Zadatak: 

Mjereći napone i struje dokažite da je napon jednak na svim otpornicima paralelnog kruga i da je 

zbroj pojedinačnih struja jednak ukupnoj struji. 


Spojite paralelni krug prema shemi na Slici 10.2. s otpornicima R1=100Ω, R2=220Ω, R3=470Ω. 

Napon izvora podesite na E=10V. 

+ 

E=10V 

- 

A B 

L 

mA 

I I1 

K 

C 

D F 

Slika 10.2. - Shema spoja za mjerenje nadomjesnog otpora paralelnog spoja 


mjereći pojedinačne struje između ispitnih točaka C-D, E-F, G-H. 

Izmjerite napone na otpornicima R1, R2, R3 spajanjem voltmetra između ispitnih točaka D-K, F-K, 

H-K. 


R1 

Naponi (V) Djelomične struje (mA) Ukupna struja (mA) 

Ispitne točke Ispitne točke Ispitne točke 

D-K (UR1) F-K (UR2) H-K (UR3) C-D E-F G-H A-B L-K 

Tablica 10.1. - Rezultati mjerenja u paralelnom spoju otpornika 

E 

R2 

I2 

G 

H 

R3 

I3

38 

Kolika je struja na ispitnim točkama L-K (Koja je to struja?), a koliki napon između točaka A-L 

(Koji je to napon?)? 

Kako se odnose naponi na pojedinačnim otporima? 

Koliki su omjeri pojedinačnih napona prema odgovarajućim otporima? 

Koliki je nadomjesni otpor? 

Rezultat provjerite temeljem relacije za Reqp i temeljem određivanja otpora iz izmjerenih podataka 

U-I metodom. 

Usporedite dobivene rezultate s nadomjesnim otporom kruga izmjerenim omometrom. Kolika je 

ukupna struja dobivena mjerenjem i proračunom? 

Kako se pojedinačne struje odnose prema pripadnim otporima? 

Odgovore potvrdite pripadnim brojčanim pokazateljima. 


39 

11. MJEŠOVITI (SERIJSKO-PARALELNI) SPOJEVI OTPORNIKA 

U električnim shemama rijetki su krugovi u kojima se primjenjuju samo serijski ili samo paralelni 

spojevi. Najčešće se radi o različitim kombinacijama spomenutih spojeva. Nema opće relacije za 

proračun ovakvih krugova, jer je moguće napraviti neizmjerno mnogo kombinacija. 

Za određivanje nadomjesnog otpora mješovito spojenih trošila koja se napajaju iz jednog izvora, 

potrebno je izdvojeno razmatrati pojedine dijelova kruga koji se sastoje od serijski, odnosno 

paralelno spojenih trošila. Primjenjuju se ranije razmatrani izrazi za nadomjesni otpor za svaki dio 

kruga posebno, a zatim za cijeli krug (metoda "korak po korak"). U svakom se koraku serijskoparalelnom 

redukcijom kruga pojednostavljuje početna mreža otpora. Iznimka su slučajevi 

rješavanja mreže otpornika gdje nema eksplicitno izraženih ni serijskih ni paralelnih spojeva. Tada 

je potrebno prethodno izvršiti pretvorbe spoja u zvijezdu u spoj u trokut, ili obratno. 

Razmotrimo jednostavni mješoviti spoj prema primjeru na Slici 11.1. 

+ 

- 

U 

R3 

R4 

R1 

R2 

R12 

R34 

Slika 11.1. - Primjer mješovitog spoja otpornika 

U prvom koraku odredimo nadomjesni serijski otpor: 

R = R + R 

12 

1 

2 

a u slijedećem koraku nadomjesni paralelni otpor: 

R 

34 

R3R4 

= 

R + R 

3 

4 

Tada se mreža s prvobitne sheme svodi na pojednostavljenu ekvivalentnu shemu kao na Slici 11.2. 

Ekvivalentna shema je ona shema u kojoj izvor električne energije daje jednaku struju i razvija 

jednaku snagu kao u prvotnoj realnoj shemi.

40 

U 

Slika 11.2. - Ekvivalentna shema nakon serijsko-paralelne redukcije kruga 

Očigledno je da u narednom koraku možemo odrediti nadomjesni otpor kao serijski spoj sastavljen 

od ranije određenog serijskog R12 i paralelnog R34 dijela kruga: 

R = R + R 

eq 

12 

34 

U rješavanju mješovitih spojeva potrebno je, dakle, postupnim pojednostavljivanjem sheme odrediti 

nadomjesni otpor cijelog kruga, a zatim vraćajući se na stvarnu shemu, izračunati padove napona i 

struje u pojedinim granama. 

R12 

R34

41 

POKUS 

Zadatak: 

Odredite nadomjesni otpor mješovitog kruga mjerenjem napona i struja. Provjerite dobivenu 

vrijednost usporedbom s proračunatom vrijednošću otpora. 


Spojite mješoviti krug prema shemi na Slici 11.3. s otpornicima R1=22Ω, R2=100Ω, R3=330Ω, 

R4=680Ω. Napon izvora podesite na E=10V. 

+ 

E=10V 

- 

A B 

I R1 R2 I1 

Slika 11.3. - Shema spoja za mjerenje nadomjesnog otpora mješovitog spoja 


mjereći struje između ispitnih točaka C-D, E-F. 

Izmjerite napone na otpornicima R1, R2, R3, R4. 

Sve izmjerene vrijednosti unesite u Tablice 11.1. i 11.2. 

Djelomične struje i ukupna struja 

Ispitne točke 

A-B (I) C-D (I1) E-F (I2) 

Tablica 11.1. - Rezultati mjerenja struja u mješovitome spoju otpornika 

Djelomični naponi (V) 

UR1 UR2 UR3 UR4 

Tablica 11.2. - Rezultati mjerenja napona u mješovitome spoju otpornika 

Usporedite nadomjesni otpor dobiven mjerenjem i proračunom. 

Proračunom provjerite dobivene vrijednosti napona na otporima. 

C 

D 

R3 

E 

F 

R4 

I2

42 


Nadomjesni otpor (izmjereni): 

R eq 

E 

= 

I 

= 

Nadomjesni otpor (izračunati): 

R12= 

R34= 

Req= 

Naponi na otporima (izračunati): 

U 

U 

U 

U 

R1 

R2 

R3 

R4 

= 

= 

= 

=

43 

12. NEOPTEREĆENO NAPONSKO DJELILO 

U mnogim praktičnim slučajevima potrebno je na trošilo dovesti samo određeni dio napona izvora 

električne energije. U tu se svrhu koriste naponska djelila. Uloga im je smanjivanje napona ako je 

raspoloživi napon izvora prevelik ili podjela napona na određene dijelove radi analize signala u 

nekom od slijedećih stupnjeva složenoga kruga. 

Najjednostavnije djelilo sastoji se od dva serijski spojena otpornika kao na Slici 12.1. 

+ 

- 

U 

U1 

Slika 12.1. - Jednostavna shema neopterećenog djelila napona 

Napon izvora se djelomično smanjuje na otporniku R1 (U1), a na otporniku R2 dobije se potrebni 

napon za napajanje trošila Rt. Kada je djelilo neopterećen (Rt→∝) kroz serijski spoj otpora teče ista 

struja, a napon izvora jednak je zbroju napona na otpornicima: 

U = IR , U = IR 

1 

1 

1 

U = U + U = I 

2 

2 

2 

( R + R ) 

1 

2 

⇒ 

U 

I = 

R + R 

Uvrsti li se struja I u relacije za U1 i U2 dobije se: 

U 

1 

R1 

= U 

R + R 

1 

2 

, 

U 

2 

R2 

= U 

R + R 

1 

2 

1 

2 

To su karakteristične relacije naponskog djelila, a potvrđuju ranije iznesenu tvrdnju o 

proporcionalnom odnosu napona i odgovarajućih otpora. 

Ako s krajeva otpornika R2 uzimamo napon za trošilo izlazi da se na trošilo može dovesti bilo koji 

napon od 0 do napona izvora U, ako pri tomu mijenjamo omjer otpora djelila. Primjerice za: 

R2 = 0 ⇒ U 2 = 0 

R1 = 

R2 

⇒ U 2 = 

1 

U 

2 

R1 

R2 

U2 

+ 

-

44 

R1 = 2R2 

⇒ 

1 

U 2 = U 

3 

= 0 ⇒ U = U 

R1 2 

Složenija naponska djelila omogućuju dobivanje nekoliko vrijednosti napona iz jednog izvora. 

Koriste se primjerice u ADC sklopovima gdje se analogni signal preko višestrukoga djelila napona 

vodi na komparatore radi pretvorbe u digitalni oblik. Primjer trostrukoga djelila prikazan je na Slici 

12.2. 

+ 

- 

U 

R1 

R2 

R3 

U3 

U2 

U1 

Slika 12.2. - Djelilo napona s tri različita napona 

Pomoću djelila može se dobiti i željeni polaritet napona koji će se privesti trošilima. U tu je svrhu 

potrebno imati neuzemljeni izvor, a jednu točku djelila uzemljiti ili spojiti s masom, kao na Slici 

12.3.: 

A 

- 

- 

- 

R1 

U1 

U 

R2 

B C 

U2 

R3 

+ - + - 

+ 

+ 

U3 

+ 

Slika 12.3. - Djelilo s naponima različitog polariteta 

Potencijal točke A je negativan u odnosu na masu (točka B), a potencijali točaka C i D su pozitivni. 

Ovakva djelila služe za napajanje više krugova koji zahtijevaju različite veličine i predznake napona 

iz istog izvora. 

Ako želimo postići kontinuiranu promjenu napona na trošilu koristi se potenciometar. To je 

promjenljivi otpornik s tri kontakta (jedan je klizni kontakt), a priključuje se umjesto fiksnih 

otpornika R1 i R2. Shema spajanja potenciometra prikazana je na Slici 12.4. 

+ 

D

45 

U 

C 

Slika 12.4. - Promjenljivo neopterećeno naponsko djelilo (potenciometarski spoj) 

Princip rada potenciometra analogan je naponskom djelilu. Izlazni napon je: 

R 

BC 

U iz = U = 

RAB 

+ RBC 

R 

U 

R 

BC 

AC 

Pomicanjem klizača potenciometra omjer RBC/RAC mijenja se od 0 (klizač u krajnjem donjem 

položaju) do napona izvora U (klizač u krajnjem gornjem položaju). Promjena napona trebala bi 

biti linearna. Mala odstupanja mogu se javiti na graničnim položajima potenciometra, a posljedica 

su mehaničke izvedbe potenciometra. Promjena položaja kliznog kontakta (točka B) ostvaruje se 

zakretanjem potenciometra za kut α između graničnih položaja. 

A 

B 

Uiz

46 

POKUS 

Zadatak: 

Konstruirajte promjenljivo neopterećeno naponsko djelilo s potenciometrom. Nacrtajte krivulju 

U2=f(α) gdje je α kut zakreta potenciometra. 


Izaberite iz pribora potenciometar od 1KΩ i spojite ga na izvor U=10V kao na Slici 12.5. bez 

opteretnog otpora. 

+ 

U=10V 

- 

P 

1 kΩ 

10 

0 

A 

U 1 

B 

U 2 

C 

A - krajnji položaj (10) 

B - klizač potenciometra 

C - početni položaj (0) 

Slika 12.5. - Krug za snimanje izlaznog napona na potenciometarskom djelilu 

Izmjerite napone U1 i U2 za svaki položaj klizača potenciometra (0,.....,10) određen prema Tablici 

12.1. 


U1(V) 

U2(V) 

Položaji potenciometra (kut zakreta α) 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Tablica 12.1. - Rezultati mjerenja potenciometarskog djelila napona 

Izmjerene vrijednosti napona U2 unesite u Graf 12.1. i temeljem ucrtanih točaka konstruirajte 

krivulju U2=f(α).

47 

Napon [U2 (V)] 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

IZLAZNI NAPON KAO FUNKCIJA POLOŽAJA POTENCIOMETRA [U2=f(α)] 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Položaj potenciometra [α] 

Graf 12.1. - Ovisnost izlaznog napona o kutu zakreta potenciometra 

Kakav je oblik krivulje na Grafu 12.1.? 

Koliki se napon dobije zbrajanjem djelomičnih napona U1 i U2? 

Kolike su vrijednosti djelomičnih otpora RAB i RBC za pojedine položaje potenciometra? 


48 

13. OPTEREĆENO NAPONSKO DJELILO 

Neopterećeno naponsko djelilo samo po sebi nije od neke praktične koristi, sve dok se s jednog od 

krajeva djelila ne uzima napon za trošilo. Uvjeti se tada bitno mijenjaju. Djelomični napon sa Slike 

12.1. vodi se na trošilo (otpornik R3) kao na Slici 13.1. 

+ 

- 

U 

U1 

U2 

R1 

R2 

R3 

U3 

Slika 13.1. - Opterećeno naponsko djelilo 

Budući da sada struja teče i kroz R3 mijenjaju se naponski odnosi. Napon U3 može se odrediti 

temeljem ranije postavljenih relacija, imajući u vidu da su otpori R2 i R3 paralelno spojeni: 

U 

3 

R23 

= U 

R + R 

1 

23 

R2R3 

R2 

+ R3 

= U 

R2R3 

R1 

+ 

R + R 

2 

3 

R2R3 

= U 

R R + R R + R R 

1 

2 

1 

3 

Ako se fiksni otpornici R1 i R2 zamijene potenciometrom, napon U3 se može mijenjati od 0 do Umax 

ovisno o položaju klizača (kut zakreta potenciometra). Potenciometar je klizni otpornik kod kojeg 

se spajaju sve tri stezaljke (ulazna, izlazna i klizač). 

U spoju prema Slici 13.2. ukupni otpor potenciometra R klizačem je razdijeljen na otpor r i ostatak 

R-r. Napon s djelomičnog otpora r narinut je na trošilo otpora R3. 

+ 

- 

U 

R 

2 

3 

R-r 

Slika 13.2. - Opterećeno djelilo napona u potenciometarskom spoju 

r 

R3 

U3 

+ 

- 

+ 

-

49 

Od interesa je odrediti U3 na opteretnom otporu. Dobije se: 

rR3 

r + R3 

rR3 

U3 

= U 

= U 

rR 

2 

3 R− 

r + 

rR− 

r + RR3 

r + R 

3 

Unutar graničnih položaja promjena napona U3=f(r) je nelinearna. Za gornji granični položaj dobije 

se: 

r = R ⇒ U3 

= Umax 

= U 

a za krajnji donji položaj: 

r 

0 ⇒ U = 0 

= 3 

Promjena napona trošila normirana na maksimalni napon (U3/U) u ovisnosti o omjeru r/R prikazana 

je na Slici 13.3. Različiti omjeri otpora potenciometra i otpora trošila R/R3 uzeti su kao parametar. 

0,5 

1 

U3 

U 

R 

R3 

0 

0,5 

1 

r 

R 

Slika 13.3. - Normirana naponska karakteristika potenciometra za različita opterećenja 

Vidljivo je da ovisnost napona trošila biva sve linearnija kako omjer R/R3 pada. Za izbjegavanje 

nelinearnosti potrebno je odabrati R

50 

u ADC konverziji, za mjerne svrhe u kompenzacijskim krugovima ... U visokonaponskoj tehnici 

upotrebljavaju se omsko, kapacitivno i kombinirano naponsko djelilo. 

Za reguliranje napona u relativno malim granicama, pri velikim strujama, primjenjuje se klizni 

otpornik spojen kao predotpor (reostat). Reostat se u krug spoja serijski s otporom trošila i to sa 

dvije stezaljke (jedan kraj i klizač). Primjenjuje se u krugovima za pobudu električnih strojeva, 

krugovima za punjenje akumulatora i dr.

51 

POKUS 

Zadatak: 

Realizirajte promjenljivo naponsko djelilo s potenciometrom i nacrtajte karakteristične krivulje 

U3=f(α) gdje je α kut zakreta potenciometra, za različite opteretne otpornike R3. 


Uspostavite sklop prema Slici 13.4. Na ulazu podesite napon stabiliziranog istosmjernog izvora na 

5V. Izmjerite napon U3 za svaki položaj potenciometra određen prema Tablici 13.1. Pojedini 

položaji potenciometra odgovaraju određenom kutu α. Mjerenje izvedite za tri opteretna otpora 

R1=330Ω, R2=680Ω, R3=1000Ω. 

+ 

U = 5V 

P 

1 kΩ 

10 

0 

R3 = 

330 Ω 

680 Ω 

1 kΩ 

- C 

A - krajnji položaj (10) 

B - klizač potenciometra 

C - početni položaj (0) 

Slika 13.4. - Shema mjerenja opterećenog naponskog djelila s potenciometrom 

Unesite sve izmjerene vrijednosti u Tablicu 13.1. i prenesite ih u Graf 13.1. Spajanjem izmjerenih 

točaka ucrtajte krivulju U3=f(α). 

Napomena: Nelinearni oblik krivulje nije posljedica nelinearnosti potenciometra nego odnosa koji 

vrijede za opterećeno djelilo (potenciometar je linearan). 

U 3(V) za R 3=1 kΩ 

U3(V) za R3=680Ω 

U3(V) za R3=330Ω 

Položaji potenciometra (kut zakreta α) 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Tablica 13.1. - Rezultati mjerenja potenciometarskoga naponskog djelila 

U1 

U3 

A 

B

52 

Napon [U3 (V)] 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

5 

4.5 

0.5 

0 

IZLAZNI NAPON KAO FUNKCIJA POLOŽAJA POTENCIOMETRA [U3=f(α)] 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Položaj potenciometra [α] 

Graf 13.1. - Promjena izlaznog napona za različite položaje potenciometra 

Kakav je oblik dobivenih krivulja? Za koji od ispitanih opteretnih otpora je najpovoljnije 

ugađanje napona? Izračunajte napon U3 za R3=330Ω. i potenciometar u položaju 5 (srednji položaj 

klizača). Za koje položaje potenciometra je promjena napona po jediničnoj podjeli veća, a za koje 

manja? Objasnite zašto? 


53 

14. EKVIVALENTNI NAPONSKI IZVOR (Modovi rada izvora) 

Naponski izvori u različitim područjima elektrotehnike mogu biti vrlo složene izvedbe. Međutim, 

analiza i svi potrebni proračuni mogu se izvesti na krugu s jednostavnim ekvivalentnim naponskim 

izvorom, koji se sastoji od idealnog izvora EMS i njegova serijski spojenog unutarnjeg otpora Ru 

(Theveninov ekvivalent). Na Slici 14.1. prikazan je temeljni strujni krug s ekvivalentnim naponskim 

izvorom. 

E 

Ru 

1 

2 

Slika 14.1. - Ekvivalentni krug naponskog izvora 

Elektromotorna sila E jednaka je razlici potencijala na idealnom izvoru bez pada napona na 

unutarnjem otporu. Idealni izvor ima uvijek konstantnu razliku potencijala na svojim krajevima, 

neovisno o veličini struje. U praktičnim slučajevima napon može lagano opadati s porastom struje. 

Napon na stezaljkama stvarnog realnog izvora (1-2) jednak je razlici potencijala ekvivalentnog 

naponskog izvora uključujući pad napona na unutarnjem otporu. 

Potrebno je razmotriti strujne i naponske odnose u krugu za slučaj da je na ekvivalentni naponski 

izvor priključen promjenljivi vanjski opteretni otpornik RT. Opterećenje izvora ovisi o jakosti struje: 

I = 

E 

R 

eq 

E 

= 

R + R 

u 

T 

Napon na stezaljkama izvora koji je istovremeno i napon na trošilu je: 

R 

T 

U 12 = E − IRu 

= E = 

Ru 

+ RT 

IR 

T 

Prva od gornjih jednakosti daje vezu između dvaju napona ekvivalentnog električnog izvora i 

naziva se jednadžba generatora. U praktičnim slučajevima, želimo li što veći napon na vanjskim 

stezaljkama izvora, otpor Ru mora biti što manji. Osim toga izvori s malim unutarnjim otporom dat 

će stabilniji napon pri promjeni opterećenja. Stabilizirani istosmjerni izvori s Ru≅0 realiziraju se 

kao složeni elektronički uređaji. 

Posljednja jednakost u gornjoj relaciji je jednadžba trošila i ekvivalentna je jednadžbi generatora. 

Svaki se izvor ovisno o veličini vanjskog opterećenja može nalaziti u jednom od tri moda rada: 

- stanje kratkog spoja 

- stanje praznog hoda (otvorenog kruga) 

- stanje opterećenja 

I 

RT

54 

Prva dva moda su ekstremni slučajevi, a treći pokriva područje između njih. 

Prazni hod (PH) ili otvoreni krug (OK) je stanje kada je otpor kruga neizmjerno velik, što se u 

većini slučajeva ostvaruje otvaranjem sklopke, odnosno isključivanjem trošila od izvora. U krugu 

ne teče struja, pa nema ni pada napona na unutarnjem otporu izvora. Vrijedi, dakle: 

R → ∞ , I = 0 , U = E = U 

T 

12 

PH 

U stanju praznog hoda napon na stezaljkama izvora U12 je maksimalan i jednak je EMS E izvora 

električne energije. Naziva se naponom praznog hoda UPH i može se izravno izmjeriti na 

stezaljkama neopterećenoga naponskog izvora. 

Drugi vrlo važni ekstremni slučaj je stanje kratkoga spoja (KS). Nastupa kada je vanjski otpor kruga 

Rt vrlo malen. U idealnim uvjetima on je jednak nuli. Do kratkoga spoja dolazi kada se stezaljke 

izvora izravno spoje vodičem malog otpora ili pri proboju izolacije između vodova kojima je 

povezano trošilo. Ukupni otpor kruga tada je jednak unutarnjem otporu izvora, a napon na 

stezaljkama izvora jednak je nuli: 

E 

R T = 0 , U12 

= 0 , I = = I 

R 

u 

KS 

U krugu teče maksimalna struja koju zovemo strujom kratkoga spoja, a njena je vrijednost 

ograničena samo unutarnjim otporom na kojemu se troši sva energija izvora. Kada bi u idealnim 

uvjetima bio Ru=0, tekla bi neizmjerno velika struja. 

Struja kratkoga spoja opasna je za većinu izvora, jer se zbog nagloga porasta struje pregrijava izvor, 

što može izazvati njegovo pregaranje. Zato se u cilju zaštite u krug postavljaju osigurači koji 

prekidaju strujni krug kod prekomjernog porasta struje. Najčešće se koriste rastalni osigurači koji 

pregore kada poteče struja veća od dopuštene. Nakon otklanjanja kvara, osigurač se zamijeni. 

Iz izraza za prazni hod i kratki spoj slijedi važna jednadžba koja pokazuje da se mjerenjem napona 

praznog hoda i struje kratkog spoja može odrediti vrijednost unutarnjeg otpora: 

E U 

R u = = 

I I 

KS 

PH 

KS 

To je pogodno za slučajeve kada je nemoguće isključiti EMS, primjerice za elektrokemijske izvore. 

Ako je mjerenje kratkoga spoja opasno za izvor, unutarnji se otpor može odrediti tako da krug 

opteretimo otpornikom poznate vrijednosti R0. Mjerenjem u pokusu praznoga hoda odredi se EMS 

izvora, a iz relacije za struju u krugu, čiju vrijednost također izmjerimo, dobije se: 

E − R0I 

Ru 

= 

I 

Do sada su razmatrana ekstremna stanja. Praktični mod rada izvora je stanje opterećenja, koje se 

može shvatiti kao normalno stanje eksploatacije električne mreže. Svako trošilo je predviđeno za 

rad pri određenoj vrijednosti napona na njegovim stezaljkama, uz dozvoljene tolerancije u %. To je 

nazivni ili nominalni napon. 

Svaka promjena otpora trošila znači i promjenu opterećenja izvora. Što je struja u krugu veća to je 

više opterećen izvor. Optereti li se izvor, napon na njegovim stezaljkama opada i to, kako je već 

pokazano, za iznos pada napona na unutarnjem otporu (U12=E-IRu). Ova se relacija dade grafički 

razmotriti na naponsko-strujnoj karakteristici, prikazanoj na Slici 14.2. Ona predstavlja pravac koji 

spaja dvije karakteristične točke na apscisi (U12=0, I=IKS) i ordinati (U12=UPH, I=0), koje opisuju 

ekstremna stanja KS i PH. Naziva se karakteristikom ekvivalentnog naponskoga izvora.

55 

Karakteristike trošila U=f(I) za odabrane opteretne otpore RTA i RTB također su prikazane na slici, 

kao i nivo elektromotorne sile (prikazan crtkano). Karakteristike trošila sijeku karakteristiku izvora 

u točkama A i B. Iz dijagrama se može za bilo koju vrijednost struje opterećenja odrediti napon na 

trošilu U12 i pad napona na samom izvoru Uu. Vidi se da se porastom opterećenja (RTB>RTA) 

smanjuje gubitak na Ru. Za RT>>Ru napon je približno jednak E. 

U 

UPH 

0.5 UPH 

0 

UuB 

B 

C 

U12B 

0.5 IKS 

UuA 

A 

U12A 

RTB 

RT=Ru 

Slika 14.2. - Strujno-naponska karakteristika izvora i trošila 

Na Slici 14.2. prikazana je i posebno važna situacija kada je otpor trošila jednak unutarnjem otporu 

izvora. To je slučaj prilagođenja (engl. matching). U tim se uvjetima postiže maksimalna snaga na 

trošilu za dani izvor (više o prilagođenju u posebnoj vježbi: prilagođenje snage). Tada je: 

R 

T 

= R 

u 

, 

E 

I = 

2R 

u 

I 

= 

2 

KS 

, 

U 

12 

E U PH = = 

2 2 

Za zoran uvid u stanje kruga za različite vrijednosti otpora trošila pogodno je modove rada 

obuhvatiti tzv. normiranim dijagramima. Struja i napon na stezaljkama izvora mogu se zapisati kao: 

E 

I = 

R + R 

U 

12 

u 

T 

RT 

= E 

R + R 

u 

E 

Ru 

= 

R 

1+ 

R 

T 

T 

u 

E 

= 

R 

1+ 

R 

I KS = 

R 

1+ 

R 

u 

T 

T 

u 

U PH = 

R 

1+ 

R 

odakle slijede normirane vrijednosti: 

I 

I 

KS 

1 

= 

R 

1+ 

R 

T 

u 

, 

U 

U 

PH 

1 

= 

R 

1+ 

R 

T 

u 

T 

u 

Ovakav prikaz je zgodan jer ne ovisi o apsolutnim vrijednostima koje mogu biti za jednu vrijednost 

vrlo velike, a za drugu vrlo malene, pa je prikaz nepregledan. Kod normiranih vrijednosti ukupna 

promjena kreće se uvijek u intervalu od 0 do 1 umjesto od 0 do maksimalne vrijednosti pojedine 

IKS 

RTA 

E 

I

56 

veličine. Iz gornjih se relacija vidi da je bitan omjer otpora trošila i unutarnjeg otpora, a ne 

apsolutna vrijednost vanjskog otpora. 

Na Slici 14.3. prikazane su normirane vrijednosti I/IKS i U/UPH kao funkcije omjera RT/Ru, te 

karakteristična točka za slučaj prilagođenja. 

1 

0,5 

0 

1 

U/UPH 

I/IKS 

RT/Ru 

KS ------------------------------------------→ PH 

RT=0 RT→∞ 

Slika 14.3. - Normirane krivulje I/IKS, U/UPH

57 

POKUS 

Zadatak: 

Nacrtajte karakteristiku izvora i karakteristike trošila za dva opteretna otpornika RT1=100Ω i 

RT2=33Ω 


Za izvođenje pokusa spojite krug prema Slici 14.4. Na ploči za izvođenje pokusa je stabilizirani 

naponski izvor koji ima Ru≅0. Zbog toga u seriju s izvorom spojite otpornik Ru=22Ω koji će 

"glumiti" unutarnji otpor izvora. Ulazni napon podesite na 5V. 

G 

U=5V 

Ru 

Slika 14.4. - Shema mjerenja modova rada ekvivalentnog naponskog izvora 

U modu praznog hoda (odspojen RT) izmjerite napon U12=UPH 

Mod kratkoga spoja realizirajte tako da uz odspojen RT između stezaljki 1-2 spojite ampermetar 

(RuA≅0) kojim će se izmjeriti struja IKS. 

Izmjerite napone trošila u modu opterećenja pri čemu su opteretni otpornici RT1=100Ω i 

RT2=33Ω. 

Izmjerene vrijednosti unesite u Tablicu 14.1. 

RT1=100Ω RT2=33Ω 

UPH(V) IKS(mA) U12(V) I(mA) U12(V) I(mA) 

Tablica 14.1. - Rezultati mjerenja modova rada izvora 

Temeljem izmjerenih vrijednosti nacrtajte na Grafu 14.1. karakteristiku izvora i karakteristike dvaju 

trošila. 

Koliki je unutarnji pad napona Uu na Ru kada je ekvivalentni naponski izvor opterećen s RT1 

odnosno RT2? 

Kako bi smanjenje unutarnjeg otpora na Ru=5Ω utjecalo na oblik (strminu) krivulje 

ekvivalentnoga naponskoga izvora? 

Kada bi spojili unutarnji otpor Ru=33Ω, kako bi tada izgledale karakteristike izvora i trošila? 

Izračunajte koordinate točke u kojoj se sijeku ove dvije karakteristike. Obrazložite rješenje. 

1 

2 

I 

RT

58 

Struja I [mA] 

240 

220 

200 

180 

160 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

KARAKTERISTIKE NAPONSKOG IZVORA I TROŠILA 

0 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 


Napon U [V] 

Graf 14.1. - Karakteristike naponskoga izvora i trošila

59 

SPAJANJE NAPONSKIH IZVORA 

Nerijetko pojedinačni izvor ne može pravilno snabdijevati uređaj koji, radi ispravnog 

funkcioniranja, zahtijeva određeni nazivni (nominalni) napon i struju. Stoga se izvori spajaju 

međusobno na takav način da osiguraju uvjete za normalan rad uređaja. 

Istosmjerni izvori električne energije kao što su baterijski članci, akumulatori i dr. mogu se, poput 

otpornika, spajati serijski, paralelno ili u nekoj od serijsko-paralelnih kombinacija. 

Serijski spoj neophodan je kada se zahtijeva napon koji je viši od napona raspoloživog izvora, što je 

čest slučaj u praksi. Primjerice tranzistorskom prijemniku ili džepnom računalu nekoliko serijski 

spojenih baterija osigurava potrebni napon za funkcioniranje. U mnogim valjkastim džepnim i 

reflektorskim svjetiljkama također je više naponskih izvora spojeno serijski. 

Paralelni spoj otpora izvora pogodan je kada je potrebna veća struja od one koju može dati pojedini 

izvor, odnosno kada je potreban veći kapacitet izvora (veći broj ampersati). Punjenje akumulatora i 

obnovljivih baterijskih izvora (Ni-Cd i slični) ostvaruje se paralelnim spajanjem istih s 

odgovarajućim punjačem. Za pokretanje automobila u slučaju ispražnjenog akumulatora, 

pomažemo se paralelnim spajanjem s ispravnim akumulatorom drugoga automobila. 

Mješoviti spoj koristi se kada se zahtijeva viši napon i jača struja, od onih što ih daje jedan izvor. 

Pri tomu se može odabrati tako kombiniran spoj da se postigne maksimalno moguća struja, odnosno 

snaga na trošilu.

60 

15. SERIJSKI SPOJ NAPONSKIH IZVORA 

Serijski spoj naponskih izvora izvodi se tako da se spoji (+) pol prvoga izvora s (-) polom drugoga 

izvora. Zatim se spoji (+) pol drugoga s (-) polom trećega izvora itd. Svaki izvor ima svoj unutarnji 

otpor. Serijski spoj izvora prikazan je na Slici 15.1. 

I 

E1 

Ru1 

E2 

Ru2 

RT 

En 

Run 

Slika 15.1. - Serijski spoj n izvora EMS 

Grupa serijski spojenih izvora ponaša se kao jedan ekvivalentni izvor čija je EMS Eeq jednaka 

zbroju pojedinačnih EMS, dakle: 

E 

eq 

= E + E + 

1 

2 

⋅⋅⋅⋅⋅ 

E 

n 

= 

n 

∑ 

i= 

1 

E 

i 

Ovo je opća relacija, jer gornja algebarska suma obuhvaća i slučaj kada su jedan ili više izvora 

spojeni u serijskome protuspoju. Tada su međusobno vezane stezaljke jednakoga polariteta (+) i (+) 

ili (-) i (-). Za tako spojene izvore uzima se negativan predznak u gornjemu izrazu. Međutim od 

stvarnoga praktičnog značenja je samo serijski spoj. 

Ako je svih n izvora (ćelija, članaka) međusobno jednako, tada je: 

E eq = 

nE 

Unutarnji otpor ekvivalentnoga izvora (Rueq) sastavljen je od serijskog spoja unutarnjih otpora 

pojedinih izvora, neovisno o tomu da jesu li neki izvori u serijskome protuspoju, pa je: 

R 

ueq 

= R 

u1 

+ R 

u2 

+ ⋅⋅ 

⋅⋅ 

⋅ 

R 

un 

= 

n 

∑ 

i= 

1 

U krugu prema Slici 15.1. uspostavljena je struja: 

I = 

n 

∑ 

i= 

1 

n 

∑ 

i= 

1 

R 

ui 

E 

i 

+ R 

T 

R 

ui 

I 

Eeq 

RT 

Rueq

61 

Kroz sve izvore teče ista struja. Zato se kod serijskog spajanja obično koriste izvori jednake nazivne 

struje. Za uobičajeni slučaj spajanja n jednakih izvora je: 

nE 

I = , Rueq 

= nR 

nR + R 

u 

T 

u 

Kada bi nazivne struje pojedinih izvora bile različite, maksimalna struja složenog izvora ne bi 

smjela biti veća od nazivne struje najslabijega izvora. 

Napon na stezaljkama (A-B) ekvivalentnoga naponskog izvora je: 

U = 

E − IR 

AB 

eq 

ueq

62 

POKUS 

Zadatak: 

Spojite dva naponska izvora u serijskom spoju, a zatim u serijskom protuspoju i izmjerite ukupni 

napon u oba slučaja. 


Spojite serijski krug prema Slici 15.2. sa stabiliziranim izvorom podešenim na U1=2V i baterijom 

U2=1,5V. 

G 

+ 

- 

+ 

- 

U1 

U2 

+ 

A 

UAB 

B 

- 

Slika 15.2. – Serijski spoj/protuspoj izvora 

Izmjerite ukupni napon za serijski spoj UABss i serijski protuspoj UABsp. 

Napomena: Baterijski izvor U2 nalazi se u priboru vježbe. 

U ABss 

U ABsp 

= 

= 

Koliki bi bio napon UAB i Req za serijski protuspoj dvaju jednakih izvora 


63 

16. PARALELNI SPOJ NAPONSKIH IZVORA 

Paralelni spoj naponskih izvora dobije se ako se međusobno povežu izlazne stezaljke istih polova 

pojedinih izvora, kao na Slici 16.1. 

Ru1 

E1 

Ru2 

E2 

Rum 

Em 

Slika 16.1. - Paralelni spoj izvora 

Stvarnoga smisla ima samo paralelno spajanje jednakih izvora, jer bi u protivnom tekle struje 

izjednačenja. Da to dokažemo razmotrit ćemo jednostavni spoj dvaju različitih neopterećenih izvora 

(otvorena sklopka S) kao na Slici 16.2. 

E1 

E2 

S 

Slika 16.2. - Paralelni spoj izvora - struja izjednačenja 

Za zatvoreni krug koji tvore grane s naponskim izvorima, struja je: 

E1 

− E2 

I = 

R + R 

u1 

u2 

Vidljivo je da će u krugu protjecati struja čak i onda kada su izvori neopterećeni. Ta se struja naziva 

strujom izjednačenja. Ona je očito štetna pojava, jer se energija ekvivalentnog izvora troši i u 

uvjetima praznog hoda. U praksi se izbjegava tako, da se za paralelno spajanje preporučuje uporaba 

izvora kod kojih su podjednaki: stanje nabijenosti, unutarnji otpori, proizvedeni naponi i starost 

izvora. Također paralelni spoj valja upotrebljavati samo u opterećenom stanju, jer se navedeni 

uvjeti ne mogu ostvariti u idealnom obliku. 

Ru1 

Ru2 

RT 

I 

I 

A 

B 

RT

64 

Analizirat ćemo, dakle, paralelni spoj sastavljen od m jednakih izvora. Tada je: 

E1 = E1 

= ⋅⋅⋅⋅⋅ 

= Em 

= E ; Ru 

= Ru 

= ⋅⋅⋅⋅⋅ 

= R 

1 2 

um 

Napon na stezaljkama ekvivalentnoga izvora je: 

U = E − I R = E − I R = ⋅⋅⋅⋅⋅ 

= E − I 

AB 

1 

1 

u1 

2 

2 

u2 

m 

m 

R 

um 

= R 

Ekvivalentni izvor, prikazan na Slici 16.3., imat će EMS jednaku EMS E pojedinog generatora, a 

unutarnji otpor m puta manji, dok će struja kroz trošilo biti m puta veća od one koju daje pojedini 

generator (Ii) , tj.: 

Ru 

Ru 

= ; 

eq m 

I = I + I + ⋅⋅⋅⋅⋅ 

+ I = mI 

1 

2 

m 

A 

I 

i 

E 

u 

Ru/m 

RT 

Slika 16.3. - Ekvivalentni izvor paralelnog spoja izvora 

Prema prikazu ekvivalentnog izvora, struja trošila i napon na stezaljkama izvora mogu se izraziti 

kao: 

E 

I = ; 

Ru 

+ RT 

m 

U 

AB 

Ru 

= E − I 

m 

Temeljem razmatranja struje kroz trošilo za obje vrste spajanja izvora zaključuje se: 

Ako želimo dobiti najveću moguću struju izvore ćemo spajati paralelno ako je RTRu. 

B

65 

POKUS 

Zadatak: 

Paralelno spojite dva izvora najprije jednakih, a zatim različitih EMS. U uvjetima bez opterećenja 

izmjerite struje izjednačenja, te napone na unutarnjim otporima i napon na stezaljkama izvora. 

Kada se spoji opteretni otpor izmjerite napone i struje na elementima kruga. 


Spojite paralelni krug prema Slici 16.4. sa stabiliziranim izvorom napajanja u jednoj i izvorom s 

baterijom od 1,5V, u drugoj grani. 

Ru 

G 

I1 

U1 

E1 

I0 

Ru 

I2 

+ 

- 

Slika 16.4. - Krug za pokus paralelnoga spajanja izvora 

Unutarnji otpori izvora uvećani su za Ru=22Ω radi lakšeg mjerenja unutarnjih padova napona 

(stvarni unutarnji otpori stabiliziranog izvora i baterije su zanemarivo maleni). 

Za simulaciju mjerenja u uvjetima dvaju jednakih istosmjernih izvora podesite napon napajanja 

izvora tako da točno odgovara naponu baterije (E1=E2). Ovisno o stanju baterije taj napon može 

varirati između 1,48-1,56V. Izmjerite tražene vrijednosti prema Tablici 16.1. i to bez i sa 

opterećenjem (RT=100Ω) i unesite ih u tablicu. 

Jednaki izvori 

Neopterećeni izvori 

U1(V) U2(V) U12(V) I0(mA) 

Uključeno trošilo 

U1(V) U2(V) U12(V) I1(mA) I2(mA) I(mA) 

Tablica 16.1. – Rezultati mjerenja paralelnog spoja jednakih izvora 

Podesite napon izvora napajanja na E1=3V radi mjerenja u uvjetima nejednakih izvora. Ponovite 

mjerenja kao u prethodnome slučaju i unesite ih u Tablicu 16.2. 

U2 

E2 

1 

2 

RT 

I

66 

Nejednaki izvori 

Neopterećeni izvori 

U1(V) U2(V) U12(V) I0(mA) 

Uključeno trošilo 

U1(V) U2(V) U12(V) I1(mA) I2(mA) I(mA) 

Tablica 16.2. – Rezultati mjerenja paralelnog spoja različitih izvora 

Zašto je za RTRu serijski spoj izvora? 

Usporedite struje kroz trošilo i struje izjednačenja s vrijednostima koje se dobiju proračunom. 


Proračun: (koristite neku od metoda za rješavanje mreža, prikažite postupak) 

Jednaki izvori (neopterećeni): I0= 

Različiti izvori (neopterećeni): I0= 

Jednaki izvori (opterećeni): I= 

Različiti izvori (opterećeni): I=

67 

MJEŠOVITI SPOJ NAPONSKIH IZVORA 

Ovaj se spoj realizira spajanjem n serijski spojenih izvora u m paralelnih grana. Ukupan broj 

upotrijebljenih izvora tada je z=m⋅n. Primjer mješovitog spoja s n=3 i m=2 prikazan je na Slici 

16.5. 

I 

E 

Ru Ru 

Ru 

E 

Ru Ru 

Ru 

A B 

E 

E 

E 

RT 

Slika 16.5. - Mješoviti spoj izvora 

Primijene li se zaključci koji vrijede za serijski i paralelni spoj izvora, dobije se struja kroz trošilo: 

I = 

nE 

n 

Ru 

+ RT 

m 

Djelomične struje u granama su međusobno jednake i iznose m-ti dio ukupne struje (I1=I/m). Napon 

na trošilu je: 

n 

= nE −nRuI 

1 = nE − R I 

m 

U AB 

u 

Cijela grupa izvora ponaša se kao ekvivalentni izvor čija je EMS n puta veća, a unutarnji otpor n/m 

puta veći od odgovarajućih vrijednosti pojedinih izvora. 

Za zadani otpor trošila RT i ukupno raspoloživi broj izvora z može se odrediti optimalni raspored 

izvora, koji će osigurati maksimalno moguću struju, odnosno snagu na trošilu. To je već spomenuti 

slučaj prilagođenja. Tada je: 

Ru eq 

= R 

T 

⇒ 

nR 

m 

u 

= R 

T 

Kako je z=m⋅n, izlazi da je potrebni broj elemenata u granama: 

zR 

R 

T n = , 

u 

m = 

zR 

R 

T 

u 

U izvedbi se n,m naravno zaokružuju na najbliži cijeli broj. 

E

68 

17. ELEKTRIČNI RAD, ENERGIJA I SNAGA 

Struja, napon i otpor temeljne su električne veličine u području elektrotehnike. S druge strane 

pojmovi rad, energija i snaga koriste se u svim granama prirodnih znanosti i povezuju međusobno 

različite fizikalne discipline. 

Rad je djelovanje sile F na određenoj udaljenosti s. Uz pretpostavku da sila djeluje na pravcu i u 

smjeru u kojem mjerimo udaljenost, tada je izvršeni mehanički rad A, potreban da bi se neko tijelo 

gibalo brzinom v: 

A = F ⋅ s = F ⋅ v ⋅ t 

Kada izvor napona (EMS) pokrene naboj kroz električni krug, vrši se određeni rad na sličan način 

kao kod bilo kojega mehaničkog kretanja. Rad izvora električne energije je: 

A = E ⋅ q = E ⋅ I ⋅ t 

Rad potreban za prenošenje električnog naboja q između dvije točke, čija je razlika potencijala U, 

može se iskazati relacijama: 

A = U ⋅ q = U ⋅ I ⋅ t 

Rad koji izvrši struja u nekom dijelu kruga proporcionalan je naponu U toga dijela kruga, jakosti 

struje I i vremenu t u tijeku kojega je tekla struja. 

Relacije za mehanički i električni rad mogu se usporediti, uvođenjem odgovarajućih formalnih 

analogija. Mehanička sila odgovara ( =ˆ ) električnom naponu F =ˆ U, jer se napon može zamisliti kao 

tlak na nabijene čestice. Brzina v odgovara struji I (v =ˆ I), jer je struja kretanje nabijenih čestica. 

U svakom se naponskom izvoru pretvara neka energija (mehanička, kemijska, sunčeva, …) u 

električnu energiju (W). Tako dobivena energija može obavljati rad (A). Ovisno o vrsti trošila rad 

koji izvrši struja prolaskom kroz trošilo ima za posljedicu pretvorbe u druge oblike energije: 

- toplinsku (termički uređaji, žarulje) 

- mehaničku (elektromotori) 

- kemijsku (elektroliza i punjenje akumulatora, punjenje Ni-Cd i drugih vrsta obnovljivih baterija) 

- svjetlosnu (plinske i žarulje sa žarnom niti) 

Poznato je iz fizike da je energija sposobnost tijela da vrši rad. Proizvedena energija predstavlja 

pokazatelj rada što ga izvrši električna struja, pa se energija i rad brojčano izražavaju istim 

jedinicama. Jedinica za rad, odnosno energiju, u SI sustavu je 1J (Joule), pri čemu je: 

m 

1 J = 1Nm 

= 1VAs 

= 1Ws 

= 1kg 

s 

2 

2 

Definicija: Džul ili vatsekunda je rad koji se izvrši u dijelu kruga pri naponu od 1V za vrijeme od 

1s. Budući da je u elektrotehnici vatsekunda vrlo mala jedinica, radije se primjenjuju veće jedinice. 

To su: 

Vatsat: 1Wh=3600J 

Kilovatsat: 1KWh= 1000Wh=3600000J=3,6MJ 

Megavatsat 1MWh=10 6 Wh 

Temeljna relacija za električnu energiju može se uporabom Ohmova zakona prikazati i u oblicima:

69 

2 U 2 

W = UIt = t = I Rt 

R 

Jedan te isti rad može se obaviti u više ili manje vremena, ovisno o upotrijebljenoj snazi. Za 

električnu snagu vrijede isti odnosi kao i za mehaničku snagu, tj. snaga je rad izvršen u jedinici 

vremena. Ako električna struja u toku vremena t izvrši rad A, snaga je: 

A 

P = = UI = I 

t 

R 

2 = 

U 

R 

2 

Jedinica električne snage je 1W=1VA. 

Snaga koje se razvija na trošilu neizravno se dobije mjerenjem napona i struje. Za izravno mjerenje 

koriste se vatmetri. 

U elektroničkim krugovima se dio električne energije transformira na omskim otporima u toplinsku 

energiju. To je nepoželjna pojava, jer se radi o gubicima snage. Ako se razmatra temeljni strujni 

krug s ekvivalentnim naponskim izvorom i trošilom (vidi Vježbu 14), naponska jednadžba kruga je: 

E = IR + IR 

u 

t 

Pomnoži li se gornji izraz sa strujom I, dobiju se odnosi snaga u krugu: 

EI = I + 

odnosno: 

uk 

2 2 Ru 

I Rt 

P = P + P 

u 

t 

gdje je: 

Puk=EI - ukupna snaga koju razvija izvor 

Pu=I 2 Ru - gubitak snage na unutarnjem otporu izvora 

Pt=I 2 Rt - snaga predana trošilu (korisna snaga). 

Iz podataka za maksimalno dozvoljenu snagu što se smije disipirati na otporniku može se u U-I 

dijagramu konstruirati hiperbola snage koja, određuje maksimalno dozvoljene vrijednosti struje i 

napona na otporniku.

70 

POKUS 

Zadatak: 

Mjerenjem napona i struje izračunajte snagu gubitaka na omskom otporniku. Odredite hiperbolu 

snage za omski otpornik maksimalno dozvoljene snage od 2W. 


Spojite krug prema Slici 17.1. 

+ 

U= 0... 14V 

- 

mA 

I 

Slika 17.1. - Krug za mjerenje snaga na otpornicima 

Za napone izvora podešene prema Tablici 17.1. odredite struje kroz otpor R1=220Ω.. Ponovite 

postupak za otpore R2=100Ω i R3=33Ω . Izmjerene vrijednosti unesite u tablicu. 

U(V) 0 2 3 4 6 8 10 12 14 

I(mA) - - - 

R=33Ω P(mW) - - - 

I(mA) 

R=100Ω P(mW) 

I(mA) 

R=220Ω P(mW) 

Tablica 17.1. –Rezultati mjerenja za određivanje snaga disipiranih na otpornicima 

Upozorenje: Maksimalno dozvoljena snaga za sve otpornike u priboru je 2W. Zbog toga se naponi 

veći od 8V (10, 12,14V) ne smiju pojaviti na otporniku od 33Ω. 

V 

R1 

R2 

R3

71 

Snaga P [W] 

2.2 

2 

1.8 

1.6 

1.4 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

OVISNOST DISIPIRANE SNAGE NA TROŠILU O NAPONU IZVORA 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 

Napon U [V] 

Graf 17.1. – Krivulje snage gubitaka na otpornicima 

Iz izmjerenih napona i struja izračunajte odgovarajuće snage. U Grafu 17.1. nacrtajte 

karakteristike P=f(U) za sva tri odabrana linearna otpornika. 

U cilju određivanja hiperbole snage za otpornike s Pmax=2W izračunajte pripadne struje za napone 

zadane prema Tablici 17.2. Unesite dobivene vrijednosti u Graf 17.2. 

U(V) 2 2,5 3 4 6 8 10 12 14 

I(A) 

Tablica 17.2. – Rezultati proračuna za određivanje hiperbole snage

72 

Struja I [A] 

1 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

NAPONSKO-STRUJNA KARAKTERISTIKA OTPORNIKA I HIPERBOLA SNAGE 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 

Napon U [V] 

Graf 17.2. – Hiperbola snage i naponsko strujna karakteristika otpornika 

Kolika je točna granična vrijednost napona na otporniku od 33Ω? Koje su vrste krivulje na 

Grafu 17.1.? Na kojem se otporniku najviše energije pretvara u toplinu pri konstantnom naponu? 

Pomoću hiperbole snage na Grafu 17.2. odredite maksimalno dozvoljeni napon i struju kroz 

otpornik od 20Ω (Nacrtajte I-U karakteristiku zadanoga otpora i odredite sjecište s hiperbolom 

snage). Koliki bi rad bio potreban kada bi napon od 12V bio narinut na otpor od 100Ω u periodu od 

10 sati? 


73 

18. KORISNOST ELEKTRIČNE SNAGE I ENERGIJE 

Prema zakonu o sačuvanju energije, energija se ne može izgubiti, niti ni iz čega stvoriti. Ona se 

može proizvoditi ili trošiti samo pretvorbom iz jednog oblika u drugi, ali pri tomu ukupna energija 

ostaje sačuvana. Svaku pretvorbu prate neizbježni gubici. Drugim riječima, nijedna pretvorba nije u 

potpunosti djelotvorna. Razlika između ulazne (uložene) energije Wul i izlazne (korisne energije) 

Wiz predstavlja gubitak u pretvorbi i/ili prijenosu energije Wg. Na isti se način definira ulazna Pul i 

izlazna tj. korisna snaga Piz, te snaga gubitaka Pg. Omjer izlazne i ulazne energije, odnosno snage, 

je korisnost η. Dakle, vrijedi: 

W = W −W 

; P = P − P 

iz 

η = 

W 

W 

iz 

ul 

ul 

= 

P 

P 

iz 

ul 

g 

= 

P 

iz 

P 

iz 

iz 

+ P 

pri čemu se η nalazi u granicama: 

0≤η≤1 

ili izraženo u (%): 

0≤η(%)≤100 

g 

ul 

g 

Put od ulaza u neki proces ili neki uređaj do izlaza iz njega može sadržavati n unutarnjih stupnjeva 

od kojih svaki ima svoju korisnost. Ukupna korisnost je tada: 

η = η ⋅η 

⋅⋅⋅⋅⋅η 

uk 

1 

2 

n 

Korisnost temeljnog strujnog kruga je: 

η = 

2 Pt 

I Rt 

Rt 

= = 

2 2 

P I R + I R R + R 

uk 

t 

u 

t 

u 

tj. ovisi o unutarnjem otporu ekvivalentnog naponskog izvora i otporu trošila. 

U elektrotehničkoj praksi od interesa je razmatranje dva karakteristična slučaja vezana za korisnost 

i odnose snaga u određenom sustavu. 

Prvi se odnosi na uvjete koje treba zadovoljiti za postizanje najveće moguće korisnosti. To je 

posebno važno kada se razmatraju energetski izvori, mreže, postrojenja i uređaji, gdje je gubitke 

poželjno svesti na najmanju moguću mjeru. To je razumljivo, budući da proizvedene i prenesene 

snage mogu biti izražene u stotinama megavata. 

Korisnost se dade prikazati i u obliku: 

η 

= 

− P P 

2 

g g I Ru 

IR 

= 1− 

= 1− 

= 1− 

P P EI E 

Pul u 

ul 

ul

74 

Za zadani iznos EMS E, želi li se postići η što bliži jedinici, uvjeti su ili I=0 ili Ru=0. Prvi uvjet 

znači rad u modu praznog hoda. Struja ne teče, izvor je neopterećen, ne troši se snaga izvora, ali ne 

izdvaja se ni korisna snaga. Od stvarnog je značenja uvjet Ru=0, jer je tada izvor opterećen. U 

praksi se to svodi na Ru

75 

POKUS 

Zadatak: 

Odredite korisnost na primjeru jednostavnog otporničkog strujnog kruga mjerenjem napona i struje. 


Spojite krug prema Slici 18.1.: 

+ 

mA 

1 

U=15V 

V 

V R 

- 

Pul 

2 

Rv1 

Rv2 

3 

4 

mA 

Piz 

Slika 18.1. – Krug za određivanje korisnosti 

Podesite ulazni napon na 15V. Dva otpornika Rv1=Rv2=22Ω simuliraju gubitke na vodovima, a 

otpor trošila je RT=150Ω. Proizvedena snaga koja se na stezaljkama 1-2 predaje u sustav sastavljen 

od prijenosnih vodova i trošila je P12=Pul. Korisna snaga što se predaje trošilu na stezaljkama 3-4 je 

P34=Piz. Obje snage izračunajte temeljem mjerenja odgovarajućih napona i struja. Odredite 

korisnost η i η%. 

Ulazna snaga: 

I= 

U12= 

Pul= 

Izlazna snaga: 

I= 

U34= 

Piz= 

Korisnost: 

η= 

RT

76 

η%= 

Kolika je snaga gubitaka u prijenosu od izvora do trošila? 

Koliki je rad izvora električne energije za 30 min rada sustava prema Slici 18.1.? 

Koliku energiju uzima trošilo u istom intervalu? 


77 

19. PRILAGOĐENJE STRUJE, NAPONA I SNAGE 

Struja, napon i snaga što ih generira izvor električne energije ovise o EMS izvora, unutarnjem 

otporu i priključenom trošilu. Promjenom odnosa unutarnjeg otpora Ru i otpora trošila RT mogu se 

stvoriti uvjeti za prilagođenje struje, napona, odnosno snage. Izbor tipa prilagođenja ovisi o 

području primjene određenog sklopa ili uređaja. 

Za sklopove s naponskim izvorima prilagođenje struje nastupa kada je otpor trošila relativno malen 

u odnosu na unutarnji otpor izvora RTRu. Tada je: 

E 

I ≈ , U12 

≈ E , Pu 

≈0 

R 

T 

U graničnom slučaju RT→∝ i izvor radi u modu praznog hoda. 

Prilagođenje snage je jedan od temeljnih zahtjeva u telekomunikacijskim sustavima, gdje je od 

iznimne važnosti dobivanje maksimalne snage signala iz izvora. Gubici energije su manje važni, jer 

se radi o nevelikim iznosima prenesene energije. 

Kako je pokazano za mod rada izvora neposredno blizu praznog hoda korisna snaga je mala radi 

male jakosti struje, a za rad u blizini kratkog spoja korisna snaga je mala zbog malog iznosa 

napona. Očito je da se maksimum korisne snage dobije u nekom srednjem modu rada između ova 

dva granična slučaja. 

Korisna snaga je snaga na otporu trošila, tj.: 

⎛ 2 E ⎞ 

Pk 

= PT 

= I R = ⎜ RT 

= 

Ru 

R ⎟ 

⎝ + T ⎠ 

2 

E 

( ) 2 

R + R 

u 

2 

R 

T 

T 

i njena grafička ovisnost o struji predstavlja funkciju oblika parabole. Potrebno je odrediti onu 

vrijednost otpora trošila za koju će uz zadani izvor, snaga na trošilu biti maksimalna. Uvjet se može 

odrediti primjenom matematičkog pravila za određivanje maksimalne vrijednosti funkcije. Izlazi da 

prvu derivaciju funkcije PT=f(RT) moramo izjednačiti s nulom. Radi se o parcijalnoj derivaciji 

∂ 

( ), jer se derivira samo po parametru RT: 

∂R 

∂P 

∂R 

T 

T 

T = 

0

78 

Primjenom pravila za deriviranje kvocijenta dobije se: 

2 

2 2 

E ( R + R ) −2E 

R 

u 

T 

T 

4 

T 

( R + R ) 

u 

( R + R ) 

u 

T 

= 0 

Nakon kraćenja i sređivanja gornje relacije ostaje: 

Ru + RT 

−2R 

T = 0 

pa je konačni uvjet za prilagođenje snage: 

R = R 

T 

u 

Zaključak: Korisna snaga koja se predaje trošilu postiže maksimum kada je otpor trošila jednak 

unutarnjem otporu izvora. 

Tada je: 

E 

I = 

2R 

u 

E IKS 

= = 

2R 

2 

t 

a maksimalna snaga iznosi: 

2 E 

Pt = max 4R 

t 

, 

U 

12 

E U PH = = 

2 2 

Korisnost kruga u modu prilagođenog opterećenja je: 

η = 

R 

R + R 

u 

t = 

t 

0, 

5 

odnosno u % svega 50%, jer se polovica snage gubi na unutarnjem otporu izvora.

79 

POKUS 

Zadatak: 

Mjerenjem napona i struje naponskoga izvora odredite pod kojim se uvjetima može ostvariti 

prilagođenje struje, napona i snage. Mjerenja provedite za rad izvora u modovima praznog hoda, 

kratkog spoja i različitih stanja opterećenja. 


Spojite krug prema Slici 19.1. Napon izvora podesite na 6V. 

G 

6V 

Ru 

Slika 19.1. – Sklop za ispitivanje prilagođenja struje, napona i snage 

Kako je izvor napajanja naponski stabiliziran s Ru≈0 serijski je spojen otpor Ru=22Ω koji simulira 

unutarnji otpor. 

Struja I i napon Ut=U12 mjere se za različite opteretne otpore RT specificirane prema Tablici 19.1. 

RT(Ω) 0 1022=6,9 2233=13,2 22 33 10+33=43 22+33=55 22+33+10=65 ∝ 

I(mA) 

U12(V) 

P(mW) 

Tablica 19.1. – Rezultati mjerenja za određivanje prilagođenja struje, napona i snage 

Zahtijevana vrijednost otpora trošila postiže se serijskim ili paralelnim vezivanjem odgovarajućih 

otpornika iz pribora. 

Iz izmjerenih podataka izračunajte odgovarajuće snage izvora i unesite ih u tablicu. 

Prema podacima iz tablice nacrtajte na Grafu 19.1. krivulje I=f(RT), U12=f(RT) i P=f(RT). 

1 

2 

I 

RT

80 

Snaga P [mW] 

420 

390 

360 

330 

300 

270 

240 

210 

180 

150 

120 

90 

60 

30 

0 

Struja I [mA] 

280 

260 

240 

220 

200 

180 

160 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

Napon U12 [V] 

7 

6.5 

6 

5.5 

5 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

OVISNOST STRUJE, NAPONA I SNAGE O OTPORU TROŠILA 

0 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 

Otpor trošila RT [Ω] 

Graf 19.1. – Krivulje ovisnosti struje, napona i snage o otporu trošila 

Pri kojim se uvjetima može postići prilagođenje struje, napona, odnosno snage? 

Očitajte otpor trošila za koji krivulja snage postiže maksimum. 

Poklapa li se dobivena vrijednost s očekivanom (RT=Ru)? 


81 

IZMJENIČNE STRUJE 

1. TEMELJNA RAZMATRANJA O PROMJENLJIVIM STRUJAMA 

Promjenljiva struja je ona struja čija se jakost mijenja u vremenu. Promjena se može vršiti po 

veličini i po smjeru, samo po veličini ili samo po smjeru. Kako slijedi iz Ohmova zakona, 

promjenljiva struja u nekom krugu može nastati ako se mijenja: 

EMS izvora 

otpor kruga 

Promjenljiva je struja takav način kretanja električnih naboja, pri kojem se količina naboja koja 

protječe kroz poprečni presjek vodiča mijenja u vremenu tj.: 

dq 

i = = 

dt 

f ( t ) 

Isto tako su i elektromotorna sila, napon i snaga funkcije vremena: 

e = f ( t ) , u = f ( t ) , p = 

f ( t ) 

Gornje funkcije opisuju vrijednost veličina u svakom trenutku, pa ih nazivamo trenutnim 

vrijednostima i po dogovoru označavamo malim slovima i, u, e, p. 

Vremenski promjenljive veličine mogu biti: 

Periodičke, kod kojih se promjene ponavljaju u jednakim vremenskim intervalima. 

Neperiodičke, čiji se proces promjene (valni oblik) ne ponavlja. 

Matematički se periodičnost izražava jednadžbom: 

f(t)=f(t+T)=f(t+kT) 

gdje je k bilo koji cijeli broj (k=0,1,2,3,…). 

Svaka složena periodička struja predstavlja općenito skup cijelog niza komponenata: istosmjerne 

komponente i odgovarajućeg broja sinusoidnih harmoničnih komponenata, od kojih je svaka 

različite frekvencije. Za analiziranje svojstava bilo koje složene struje potrebno je proučiti prostu, 

odnosno čistu sinusoidnu struju, koju obično zovemo izmjeničnom strujom. 

1.1. SINUSOIDNO PROMJENLJIVE STRUJE 

Izmjenično periodične struje mijenjaju predznak u tijeku jednog perioda (izmjenično) i to tako da je 

ukupna količina elektriciteta koja prođe kroz referentni presjek vodiča unutar jednoga perioda T 

jednaka nuli Quk(T)=0. 

Sinusne veličine imaju, kako u teoretskim razmatranjima, tako i u praktičnoj primjeni, vrlo veliku 

važnost. Tomu ima čitav niz razloga:

82 

• Titrajni procesi u prirodi (idealni, odnosno idealizirani) odvijaju se po sinusoidnom zakonu 

(titranje opruge, njihanje ljuljačke bez trenja, …). Te se promjene nazivaju harmoničkim 

promjenama. U realnim slučajevima postoji određeno gušenje, pa je i titranje prigušeno 

(sinusoida s padajućom amplitudom). 

• Sinusna vremenska funkcija najjednostavnija je od svih vremenski promjenljivih funkcija, tj. ne 

može se dalje razlagati. 

• Sve ostale funkcije, kao primjerice linearna vremenski ovisna funkcija, mogu se razlagati 

temeljem Fourierove transformacije na sumu sinusnih komponenti i istosmjernu komponentu. 

Poznavanje sinusnih funkcija omogućuje detaljnu analizu bilo koje druge vremenske funkcije. 

Analiza se provodi pomoću računala uporabom brze (FFT) i diskretne (DFT) Fourierove 

transformacije. Mogućnost primjene zadire u različita područja ljudske djelatnosti: istraživanje 

signala iz svemira, medicinu, genetiku, kriminalistiku, tehničko održavanje uređaja i dr. 

• Primijene li se operacije deriviranja i integriranja na sinusne funkcije, kao rezultat dobiju se 

kosinusne funkcije. One su u biti opet sinusne funkcije s vremenskim pomakom od 90 0 . 

• Sinusne funkcije koriste se i u analizi niza fizikalnih pojava koje se mogu sresti u prirodi. 

Primjerice, sinusni zvučni val određene frekvencije je čisti ton, a elektromagnetski val je čista 

boja. 

• Sva razmatranja, proračuni, analiza i sinteza vrše se na sinusoidnim veličinama, neovisno o 

njihovoj frekvenciji. 

Eksplicitni izraz za trenutnu vrijednost izmjenične struje možemo dobiti ako ju usporedimo sa 

sinusnom funkcijom kao trigonometrijskom funkcijom, kao što je to prikazano na Slici 1.1.: 

y 

1 

sinα 

i(t) 

Im 

i 

α 

π 2π 

t T/2 T 

Slika 1.1. – Valni oblik sinusne funkcije i izmjenične struje i(t) 

gdje je: i - trenutna vrijednost izmjenične struje 

Im- maksimalna vrijednost izmjenične struje 

1 - amplituda sinusne trigonometrijske funkcije 

sinα – ordinata sinusne trigonometrijske funkcije za proizvoljni kut α 

Iz omjera: 

α 

t

83 

i ÷ I m = sinα 

÷ 1 

t ÷ T = α ÷ 2π 

slijedi relacija za trenutnu vrijednost izmjenične struje: 

2π 

i = I m sin t = I m sinωt 

T 

Na isti se način mogu prikazati i druge izmjenične električne veličine, elektromotorna sila, napon i 

snaga. 

1.2. PARAMETRI IZMJENIČNIH VELIČINA 

Za potpuno definiranje sinusoidnog valnog oblika potrebno je poznavati vrijednosti triju 

parametara. To su: vršna (maksimalna vrijednost) ili amplituda, period/frekvencija i početni fazni 

kut. 

Vršna vrijednost je maksimalna trenutna vrijednost sinusoidne funkcije. U tijeku jednog perioda 

izmjenične veličine dva puta postižu maksimalnu vrijednost (jedan put u pozitivnom, a jedan put u 

negativnom smjeru). Amplitude se označuju velikim slovima i indeksom m: Em, Um, Im, Pm. 

Period je vrijeme za koje izmjenična veličina izvrši jednu punu oscilaciju tj. jednu punu promjenu 

po veličini i po smjeru. Označuje se sa T i mjeri u sekundama. Za identifikaciju brzine promjene 

uzima se kao osnova broj promjena koji se dešava u jedinici vremena (frekvencija). 

Frekvencija f je broj perioda ostvarenih u jednoj sekundi: 

f = 

1 

T 

Frekvencija se mjeri u Hercima (Hz). Jedan Hz je ona vrijednost izmjenične veličine čiji je period 

jednak 1s: 

1Hz 

= 

ciklus 

1 

s 

= s 

−1 

Poznato je da se izmjenični napon generira rotacijom vodljive petlje u homogenom magnetskom 

polju. Petlja rotira konstantnom brzinom i u periodu od T sekundi napravi jedan puni okretaj od 

360 0 ili 2π radijana. 

Kutna brzina ω je kut koji se ostvari rotacijom u jednoj sekundi. Naziva se još i kutna frekvencija, a 

mjeri se u rad/s: 

2π 

ω = = 2πf 

T 

Kut α koji se ostvari u vremenu t je: 

α = ωt 

Početni fazni kut (početna faza) φ je fazni kut koji odgovara početnom vremenskom trenutku. 

Početna faza se određuje kao fazna razlika između razmatranog sinusoidnog valnog oblika i 

referentnog sinusoidnog vala. Uobičajeno je za referentnu funkciju uzimati onu koja u t=0 ima 

vrijednost jednaku nuli, tj. funkcija počinje rasti iz nule:

84 

i = Im 

sinω 

t ili u = Um 

sinωt 

Na Slici 1.2. prikazan je referentni naponski valni oblik u, te valni oblik krivulje u1 koja ima 

maksimum prije referentne i u2 s maksimumom nakon referentne krivulje. 

u(t) 

+ϕ 

−ϕ 

u1 

u 

Slika 1.2. – Određivanje početnog faznog kuta 

Početak krivulje može biti pomjeren lijevo od koordinatnog početka (u1) ili desno od njega (u2). U 

prvom se slučaju promjena odvija prije referentne, a u drugom nakon referentne promjene. Stoga se 

pozitivan predznak početne faze +φ uzima ako je nul-točka krivulje pomaknuta po vremenskoj osi 

nalijevo, a –φ ako je pomaknuta nadesno. 

Valni oblik izmjeničnog napona i izmjenične struje, definiran pomoću prethodno opisanih 

parametara, tada je u općem slučaju: 

u(t) = U m sin( 

ω t ± ϕu 

) 

= I sin( 

ω t ± ϕ ) 

i(t) m 

i 

gdje su φu i φi početne faze napona, odnosno struje. 

Fazni kut (fazna razlika) φ između naponskog i strujnog vala definira se kao razlika početnih faza 

napona i struje: 

ϕ = ϕ −ϕ 

u 

Pri tomu vrijedi: 

i 

φ=0 (φu= φi) – naponski i strujni valni oblik su u fazi ili kraće: napon i struja su u fazi 

φ>0 (φu> φi) – napon prethodi struji za kut φ 

φ

85 

izražena u istraživanju i analiziranju složenijih izmjeničnih krugova. To je i razlogom uvođenja 

različitih simboličkih prezentacija za izmjenične sinusoidne vrijednosti. 

Jedan od prikaza temelji se na činjenici da se sinusoidna funkcija može dobiti pomoću rotirajućih 

vektora. Striktna definicija sinusoidnih veličina kao skalarnih veličina koje se periodički mijenjaju u 

vremenu po sinusnom zakonu, ne dozvoljava njihovo zamjenu vektorima, jer one to realno i nisu. 

Međutim, imajući na umu da je svaka sinusoidna veličina na datoj frekvenciji u potpunosti 

određena svojom amplitudom i faznim kutom, njena sličnost s vektorskom veličinom postaje 

evidentna. Amplitudu možemo smatrati iznosom vektora, a fazni kut određuje pravac i smjer 

vektora. Da se ipak naznači razlika ponekad se koriste i alternativni termini kao fazor, sinor, versor 

ili kompleksor, koji ukazuju da se sinusoidne funkcije samo tretiraju kao vektori. Vektorski prikaz i 

uporaba odgovarajućih vektorskih dijagrama omogućuju jasnu prezentaciju izmjeničnih vrijednosti. 

Na Slici 1.3. dat je prikaz sinusne funkcije kao rotirajućeg vektora: 

Slika 1.3. – Prikaz sinusne funkcije preko rotirajućeg vektora 

Duljina vektora je razmjerna amplitudi izmjenične veličine ili, što je uobičajenije, srednjoj 

efektivnoj 

vrijednosti. Vektor rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko čvrste točke i u 

jednom periodu izvrši jedan puni okretaj. Brzina rotacije odgovara 

kružnoj frekvenciji ω. Važno je 

uočiti 

da kružna frekvencija ω, period T, frekvencija f i valna duljina λ opisuju proces promjene 

izmjenične veličine u vremenu. Sve navedene veličine su jednoznačno međusobno povezane, tako 

da je za određivanje karakteristika izmjenične veličine dovoljno znati samo jednu od njih. 

Na gornjoj slici je prikazan rotirajući vektor i dijagram valnog oblika izmjenične struje za slučaj 

kada se početni položaj vektora poklapa s vodoravnom osi. Početnim položajem vektora određen je 

i prikaz vektora u vektorskom dijagramu. Projekcija rotirajućeg vektora na uspravnu os u svakom 

trenutku (za svaki kut rotacije) jednaka je trenutnoj vrijednosti izmjenične veličine. Vektorski 

dijagram daje istu informaciju kao i dijagram valnih oblika, ali u jednostavnijoj formi. 

1.4. SREDNJA VRIJEDNOST IZMJENIČNIH 

VELIČINA 

Stvarne promjene izmjeničnih veličina prikazuju se vremenskim (valnim) dijagramima 

koji 

obuhvaćaju 

trenutne vrijednosti promatrane veličine u određenom intervalu vremena. Ovakvi 

dijagrami mogu biti korisni za razmatranje određenih stanja u krugovima izmjenične struje. 

Međutim oni su u biti skup od neizmjerno mnogo različitih trenutnih vrijednosti. Poželjno bi bilo da 

se za iznos izmjenične 

veličine dobije jedna brojčana vrijednost, kao kod istosmjernih struja. 

Najjednostavniji način jedinstvenog prikaza skupa trenutnih vrijednosti temelji se na definiranju 

određenog tipa srednje vrijednosti. 

Aritmetička srednja vrijednost 

Za kontinuirane periodičke 

funkcije aritmetička srednja vrijednost dana je izrazom:

86 

y 

sr 

= 

1 

T 

T 

∫ 

0 

y( 

t ) dt 

Ova 

se relacija može geometrijski interpretirati: aritmetička srednja vrijednost periodičke veličine 

ysr u vremenskom intervalu (periodu) T, jednaka je visini pravokutnika koji nad osnovicom T ima 

površinu jednaku površini što je nad osnovicom T, zatvara krivulja y(t). 

Za 

sinusoidnu struju površina ispod sinusoide predstavlja ukupno proteklu količinu naboja, koja je u 

periodu T jednaka nuli: 

T 

= ∫ 

Q 0 

i( 

t ) dt 

= 0 

pa će i aritmetička srednja vrijednost sinusoidne struje biti jednaka nuli: 

I 

sr 

T 

T 

1 1 

= ∫ i( 

t ) dt = ∫ I m sin( ω t ) dt = ⋅ ⋅⋅ 

⋅⋅ 

= 

T T 

0 

0 

0 

Izlazi da je aritmetička srednja vrijednost sinusoidne struje neprikladna za razmatranje učinaka 

izmjenične 

struje. 

Elektrolitska srednja vrijednost 

Elektrolitska srednja vrijednost je aritmetička srednja vrijednost “ispravljene” struje. Upotrebljava 

se 

za računanje količine elektriciteta (u Ah-ampersatima) 

i za sve elektrolitske procese, pa otuda i 

njen 

naziv. Izračunava se prema općem izrazu za aritmetičku srednju vrijednost, ali se u relaciji 

uzima apsolutna (bez obzira na predznak) trenutna vrijednost: 

y 

sr 

el 

T 1 

= ∫ 

T 

0 

y( 

t ) dt 

Ako se izmjenična struja dovede na ispravljač (Graetzov spoj) isti će uzrokovati reverziju 

negativnih dijelova sinusoidne oscilacije u pozitivan smjer. Za ispravljenu sinusoidnu struju 

dovoljno je uzeti u razmatranje samo jednu polovicu perioda T, jer je sada stvarni period polovica 

prijašnjega, pa je elektrolitska srednja vrijednost: 

I 

srel 

T 

T 

T 

2 

2 

2 2I 

m 

2I m 

T ∫i( t ) dt = I m sin( ω t ) dt = − cosωt 

= ⋅⋅⋅⋅⋅ 

= 

2 T 

ωT 

0 

0 

0 π 

1 2 

= ∫ 

Efektivna srednja vrijednost 

= 

0, 

637 

Pokazano je da prethodno izneseni tipovi srednjih vrijednosti nisu pogodni za iskazivanje stvarnih 

fizikalnih procesa u krugovima izmjenične struje, a ne mogu se uzeti ni kao princip za mjerenje 

izmjeničnih veličina. Neki instrumenti, kao primjerice vršni voltmetri, mogu mjeriti amplitudu, ali 

ona se javlja samo dva puta u tijeku perioda. Stoga se instrumenti baždare tako da pokazuju 

kvadratni korijen prosjeka kvadrata (engl.: RMS - root mean square), koji se naziva efektivna 

vrijednost. Ona omogućuje usporedbu s ekvivalentnim istosmjernim vrijednostima. U praksi je 

pogodno 

uspoređivati struje po njihovom toplinskom efektu. Toplinsko djelovanje ne ovisi o 

frekvenciji, a karakterizirano je onom energijom koja se troši na savladavanje otpora trošila. 

I 

m

87 

Ako izmjenična struja prolazeći kroz otpornik otpora R razvija u vremenskom periodu T neku 

količinu topline W~, onda se uvijek može odabrati takva istosmjerna struja koja će na tom istom 

otporniku u jednakom vremenu T razviti jednaku količinu toplinske energije W=. Tada se može reći 

da su ove dvije struje po svom toplinskom djelovanju jednake. 

Definicija: Efektivnom srednjom vrijednošću izmjenične struje naziva se ona veličina istosmjerne 

struje, 

koja je po svom toplinskom djelovanju jednaka razmatranoj izmjeničnoj struji. 

Efektivne se vrijednosti označavaju velikim slovima (U,I,E) kao i odgovarajuće istosmjerne 

veličine. Opći izraz za efektivnu vrijednost dobije se, temeljem prethodne definicije, iz relacija za 

istosmjernu 

i izmjeničnu energiju: 

W= 

T 

2 2 

= I RT , W≈ 

= i () t Rdt 

Nakon 

izjednačavanja slijedi: 

I = 

T 1 

∫i 

T 

0 

2 dt 

T 1 2 2 

I = ∫ I m sin ω tdt 

T 

0 

∫ 

0 

Za 

sinusoidnu struju i=Imsinωt efektivna vrijednost temeljem gornje relacije je: 

Uporabom 

poznate trigonometrijske transformacije: 

sin 2 

1 − cos 2α 

α = 

2 

dobije se: 

2 T 

2 T 2 T 

I 

Im 

Im 

I = ∫ ( 1 − cos 2ω 

t) 

dt = ∫ dt − ∫ cos 2ω 

2T 

2T 

2T 

m tdt 

0 

0 

0 

Budući 

da je srednja vrijednost sinusne ili kosinusne funkcije unutar perioda T uvijek jednaka nuli, 

vrijednost drugog integrala u gornjem izrazu je nula, pa se konačno za efektivnu vrijednost struje 

(isto vrijedi i za efektivnu vrijednost napona) dobije: 

I m I = 

2 

U m U = 

2 

U praksi se uvijek koriste efektivne vrijednosti izmjeničnih struja i napona. Instrumenti za mjerenje 

izmjeničnih veličina mjere upravo efektivne vrijednosti, a i električne karakteristike električnih 

uređaja izražene su u efektivnim vrijednostima. Općenito, u svim slučajevima kada se navode 

vrijednosti struje i/ili napona, bez specijalne napomene, radi se o efektivnim vrijednostima.

88 

2. TROŠILO U KRUGU IZMJENIČNE STRUJE 

Istosmjerne mreže su električni krugovi sastavljeni kao složene mreže izvora EMS i/ili strujnih 

izvora i različitih kombinacija otpornika. Kondenzatori kapaciteta C u takvim mrežama, po 

završetku prijelazne pojave, predstavljaju prekid strujnog kruga. Svitci induktiviteta L zanemariva 

otpora R predstavljaju kratki spoj, ako kroz njih teče istosmjerna struja. Izmjenične struje i naponi 

su vremenski promjenljive veličine koje uzrokuju sasvim drukčije ponašanje kondenzatora, svitka 

pa i otpornika pod određenim uvjetima. Stoga izmjenične mreže osim izvora sadrže i pasivne 

elemente koji predstavljaju otpor protjecanju izmjenične struje, a to su aktivni, induktivni i 

kapacitivni otpori. 

2.1. AKTIVNI OTPOR 

Protjecanje struje kroz vodič izaziva gubitke energije uslijed zagrijavanja vodiča. U krugovima 

izmjenične struje u usporedbi s krugovima istosmjerne struje povećavaju se gubici, što je 

uzrokovano nizom procesa. Otpor jednog te istog vodiča za izmjeničnu struju veći je nego za 

istosmjernu. Da se uoči razlika otpor vodiča za istosmjernu struju naziva se omskim otporom, a 

otpor za izmjeničnu struju, djelatnim (aktivnim) otporom. 

Povećanje aktivnog otpora u odnosu na omski objašnjava se time što izmjenično elektromagnetsko 

polje izaziva u vodičima i oko njih niz fizikalnih pojava vezanih s dopunskim gubicima energije. 

Navedimo neke od tih pojava: 

• Istosmjerna struja je ravnomjerno raspoređena po poprečnom presjeku vodiča, tj. gustoća joj je 

konstantna. Izmjenična struja se neravnomjerno raspoređuje po poprečnom presjeku. Gustoća 

struje u središnjim dijelovima vodiča manja je nego u području uz površinu vodiča. Magnetsko 

polje proizvedeno izmjeničnom strujom generira elektromotornu silu koja stvara vrtložne struje, 

a one djeluju protiv uzroka koji ih je izazvao. Posljedica stvaranja vrtložnih struja je “guranje” 

izmjenične struje prema površini vodiča. Ova efektivna redukcija površine kroz koju teče struja 

uzrokuje povećanje otpora. Fenomen se zove površinski ili skin (koža) efekt. Tendencija rasta 

otpora postaje jako izražena kod viših frekvencija (f>10 4 Hz), a kod ultravisokih frekvencija i 

otpor postaje ekstremno velik. Primjerice bakrena žica s promjerom od 1mm za frekvenciju 

izmjenične struje od 1MHz ima otpor četiri puta veći od otpora za istosmjernu struju. 

• Izmjenično magnetsko polje stvara vrtložne struje u kompaktnim vodljivim masama, kao što su 

svitci s feromagnetskim jezgrama, jezgre transformatora, elektromagneta i dr., što uslijed 

zagrijavanja stvara energetske gubitke. U ekvivalentnim shemama ti se gubici prikazuju kao 

dodatni gubici na odgovarajućem aktivnom otporu. 

• U feromagnetskim materijalima nastaju dopunski gubici energije izazvani predmagnetiziranjem, 

To su gubici zbog magnetske histereze, a tretiraju se kao povećanje aktivnog otpora materijala. 

• Izmjenično električno polje uzrokuje preorijentaciju električnih dipola u dielektricima, tzv. 

električnu histerezu. Ona dovodi do zagrijavanja dielektrika i dopunskih gubitaka prikazanih 

preko pripadnog aktivnog otpora. 

U općem slučaju smatra se da su aktivnim otporom uzeti u obzir svi nepovratni (ireverzibilni) 

procesi pretvaranja električne energije u toplinsku ili neki drugi oblik energije. 

Pod aktivnim otporom ili rezistencijom podrazumijevamo onaj otpor koji ne stvara ni magnetsko ni 

elektrostatičko polje, kada kroz njega teče struja. Takvog otpora nema u praksi, ali mu se može 

dosta približiti, ako se ne radi s visokim frekvencijama izmjeničnih struja (do 300Hz). Trošila koja 

se mogu smatrati čistim aktivnim otporima zanemarivog induktiviteta i kapaciteta su žarulje, uređaji 

za zagrijavanje, bifilarno motani žičani otpornici i dr. 

Razmotrimo strujno/naponske odnose u krugu s aktivnim otporom R priključenim na izmjenični 

napon u(t)=Umsinωt prema Slici 2.1.1.:

89 

i(t) 

u(t) 

Slika 2.1.1. – Aktivni otpor u izmjeničnom krugu 

Trenutna vrijednost struje ovisi samo o priključenom naponu i otporu i određuje se po Ohmovom 

zakonu: 

u 

R 

U m sinω 

t 

= = I sinωt 

R 

i = 

m 

Valni oblici i pripadni vektorski dijagram prikazani su na Slici 2.1.2.: 

u,i 

π/2 

u(t) 

π 

i(t) 

3π/2 

2π 

R 

α=ωt 

Slika 2.1.2. – Valni oblici i vektorski dijagram za krug s aktivnim otporom 

Za iznose vektora struje i napona uzimaju se pripadne efektivne vrijednosti. 

Trenutna struja je sinusoidna i jednake je frekvencije kao i priključeni napon. Također se uočava da 

je fazni pomak između napona i struje: 

ϕ 

ϕ −ϕ 

= 0 

= u i 

Fizikalna bit nepostojanja faznog pomaka je u tomu što se energija u krugu ne nagomilava, već se u 

potpunosti troši na pretvorbu u toplinu, ili neki drugi oblik energije. 

Ohmov zakon za efektivne vrijednosti struja i napona izražava se jednakom relacijom kao i za 

istosmjerni krug: 

I 

U 

α=0

90 

I 

m 

U 

= 

R 

m 

⇒ 

I 

m 

2 

= 

U 

m 

2 

R 

⇒ 

I = 

U 

R 

Snaga na aktivnom otporu (djelatna snaga) 

Budući da su napon i struja vremenski promjenljive funkcije, slijedi da je i trenutna snaga također 

vremenski promjenljiva. Za već definirane sinusoidne vrijednosti struje i napona trenutna snaga je: 

p( 

t ) 

= u ⋅i 

= U 

m 

sinω 

t ⋅ I sinωt 

= U 

m 

m 

I 

m 

2 

sin ωt 

Uporabom trigonometrijske transformacije za kvadrat sinusne funkcije dobije se: 

U m I 

P = 

2 

m 

( 1 − cos 2ωt) 

= UI ( 1 − cos 2ωt) 

Krivulja trenutnih vrijednosti snage je uvijek pozitivna i oscilira frekvencijom dvostrukom od 

temeljne frekvencije ω kao što se vidi na Slici 2.1.3.: 

p,u,i 

p(t) 

T/2 

i(t) 

u(t) 

Slika 2.1.3. - Valni oblik snage za krug s aktivnim otporom 

U m I 

P = 

2 

t 

T 

Zbog rotacije dvostrukom frekvencijom fazor snage ne može se crtati zajedno sa strujom i naponom 

u vektorskom dijagramu. 

Dobivena snaga može biti samo pozitivna i naziva se aktivna ili djelatna snaga. Kada su napon i 

struja jednaki nuli energija ne dospijeva u krug, pa je i trenutna snaga p=0. Kada struja i napon 

dosegnu vršnu vrijednost trenutna snaga je najveća: p=Pm=UmIm. Snaga je stalno pozitivna jer je 

predaja energije uvijek usmjerena prema trošilu (ne vraća se iz njega). Naime, u drugoj poluperiodi 

mijenja se predznak napona, ali i struje, pa se smjer protoka energije ne mijenja, tj. opet se čitava 

energija predaje trošilu. Energija se prinosi trošilu neravnomjerno, u impulsima dvostruke 

frekvencije u odnosu na priključeni napon. Čitava energija se na aktivnom otporu pretvara u 

toplinsku. Takav proces je nepovratan (ireverzibilan) proces. Protok energije jednosmjeran je i 

između generatora i trošila nema oscilacija energije. 

Ireverzibilni procesi nisu karakteristični samo za pretvorbu električne u toplinsku energiju, već i u 

druge vidove energije: mehaničku, kemijsku, energiju zračenja i dr. Zato se svaki krug u kojem se 

vrše slični procesi može energetski razmatrati kao krug s aktivnim otporom. 

Prosječna vrijednost snage dobije se iz relacije za trenutnu snagu kao: 

m

91 

T 

T 

1 U mI 

m 

U mI 

m ⎛ sin 2ωt 

⎞ U mI 

m U m I m 

P = ∫ p( 

t ) dt = ∫ ( 1 − cos 2ω 

t) 

dt = ⎜t 

− ⎟ = ⋅⋅ 

⋅⋅ 

⋅ = = ⋅ = U ⋅ I 

T 0 2T 

0 

2T 

⎝ 2ω 

⎠ 

2 

0 

2 2 

Srednja vrijednost djelatne snage u krugu s aktivnim otporom jednaka je produktu efektivnih 

vrijednosti struje i napona. Jedinica za mjerenje aktivne snage je vat (W). 

Zaključak: U krugu s djelatnim otporom struja je u fazi s priključenim naponom. Sva energija 

pretvara se u toplinsku ili neke druge oblike energije. Nema oscilacija između izvora i trošila. 

T

92 

VJEŽBA A: AKTIVNI OTPOR 

Zadatak: 

Na zaslonu osciloskopa prikažite sliku sinusoidnog napona na aktivnom otporu i sa slike očitajte ili 

izračunajte slijedeće vrijednosti: 

Amplitudu napona Um 

Amplitudu struje Im 

Efektivnu vrijednost napona U 

Efektivnu vrijednost struje I 

Period T 

Frekvenciju f 

Kutnu frekvenciju ω 

Trenutnu vrijednost napona nakon jedne trećine perioda 


Funkcijski generator postavite na položaj za sinusoidne funkcije. Spojite krug s aktivnim 

otporom R=1KΩ prema Slici A.1. i priključite prvi kanal osciloskopa na ispitne točke A i B. 

G 

~ 

U 

R=1kΩ 

Slika A.1. – Mjerenje u krugu s aktivnim otporom 

A 

B 

Y1 

Osciloskop 

Na osciloskopu podesite vremensku bazu X i napon prvog kanala Y1 kako slijedi: 

Vremenska baza X: 0,1ms/podjeli 

Kanal Y1: 1V/podjeli 

Podesite frekvenciju i napon funkcijskog generatora tako da se dobije krivulja izmjeničnog 

sinusoidnog napona kao na Slici A.2.

93 

- 0 (Y1) 

Slika A.2. – Snimanje karakteristika sinusoidnog signala za zadani primjer 

Odredite vrijednosti navedene u zadatku vježbe: 

Amplituda napona: 

Um= 

Amplituda struje: 

Im= 

Efektivna vrijednost napona: 

U= 

Efektivna vrijednost struje: 

I= 

Period: 

T= 

Frekvencija: 

f= 

Kutna frekvencija: 

ω= 

Trenutna vrijednost za jednu trećinu 

perioda: 

u(t=T/3)= 

Što se dešava sa slikom valnog oblika ako se vremenska baza osciloskopa postavi na 

0,2ms/podjeli? 


94 

VJEŽBA B: SNAGA NA AKTIVNOM OTPORU (DJELATNA SNAGA) 

Zadatak: 

Osciloskopom snimite sliku sinusoidnog napona i struje na aktivnom otporu. Slike sa zaslona 

ucrtajte na zadanom dijagramu. Na istom dijagramu konstruirajte, množenjem trenutnih vrijednosti 

napona i struje, krivulju djelatne snage. 


Sastavite krug sa serijskim spojem otpora R=1KΩ i RM=100Ω prema Slici B.1. i priključite 

funkcijski generator (položaj sinus). 

U 

U 

UM 

R=1KΩ 

RM=100Ω 

A 

C 

B 

Y1 

Y2 

Osciloskop 

Slika B.1. - Mjerenje snage na aktivnom otporu 

Napomena: Otpor R=100Ω u zadanom krugu ima ulogu mjernog otpora. Napon UM na njemu 

proporcionalan je sa strujom koja teče kroz oba otpora, pa je struja: 

U 

I = 

R 

M = 

M 

U M 

100Ω 

Zajednička referentna točka C obaju napona postavljena je između otpora radi mogućnosti 

istovremenog prikaza napona U i UM. Pri tomu se treba uzeti u obzir da su tada navedeni naponi 

fazno pomaknuti za 180 0 . Korektni prikaz naponskih krivulja postiže se invertiranjem jednog od 

napona uz pomoć osciloskopa koji posjeduje invertirajući ulaz. U vježbi će to biti napon UM na 

kanalu Y2. 

Pažnja: Ispitna točka C ne smije biti spojena s ispitnim točkama A i B preko mase (zemlje) 

priključenih uređaja (funkcijski generator, osciloskop). Ako je potrebno postavlja se izolacioni 

transformator. 

Osciloskop spojite prema: 

Ispitna točka A na kanal 1 (Y1) 

Ispitna točka B na kanal 2 (Y2) 

Ispitna točka C na masu (zemlju) ⊥ 

Namještene vrijednosti (na osciloskopu):

95 


Kanal Y1: 2V/podjeli (napon U) 

Kanal Y2: 0,5V/podjeli-invertirano (mjerni napon UM ⇒I) 

Centrirajte nultu liniju obaju kanala. 

Okidni signal: Y1 

Podesite frekvenciju i napon funkcijskog generatora na: 

♦ Ugm=7,7V (maksimalna vrijednost) 

♦ f=1KHz 

Napomena: Prema pravilu naponskog djelila naponi na otporima će biti: 

Um=7V 

UMm=0,7V 

Odredite trenutne vrijednosti u, uM, i i p u trenucima određenim prema Tablici B.1.: 

Vrijeme 

t(ms) 

0,0 

0,1 

0,15 

0,25 

0,35 

0,4 

0,5 

0,6 

0,65 

0,75 

0,85 

0,9 

1,0 

Napon 

u(V) 

Napon 

uM(V) 

Struja 

i(mA) 

Tablica B.1. - Trenutne vrijednosti napona, struje i snage 

Ucrtajte snimljeni napon u i struju i u dijagram na Slici B.2. 

Iz dobivenih podataka konstruirajte oblik krivulje trenutne snage. 

Napomena: Podjele na osi ordinata različite su za svaku od ucrtanih veličina. 

Djelatna snaga 

p(mW)

96 

Snaga P [mW] 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

-10 

-20 

-30 

-40 

-50 

-60 

Struja I [mA] 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

-5 

-10 

-15 

-20 

-25 

-30 

Napon U [V] 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

-2 

-4 

-6 

-8 

-10 

OVISNOST STRUJE, NAPONA I SNAGE NA AKTIVNOM OTPORU 

-12 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 

Vrijeme t [ms] 

Slika B.2. – Dijagram struje, napona i snage na aktivnom otporu 

Što se može zaključiti iz valnog oblika snage? Kolika je srednja snaga? Odredite efektivne 

vrijednosti napona i struje na aktivnom otporu. 


97 

2.2. SVITAK U IZMJENIČNOM KRUGU 

Svitak se formira od zavoja vodljive (obično bakrene) žice, pri čemu broj zavoja N, duljina svitka l, 

presjek njegove jezgre S i permeabilnost µr materijala od kojega je napravljena jezgra, mogu 

varirati u širokim granicama, ovisno o željenoj vrijednosti induktiviteta L: 

L = 

N 

µ 0 

l 

2 

µ r 

S 

Svitci se izrađuju u širokoj paleti izvedbi ovisno o aplikaciji. Dvije temeljne skupine su zračni i 

svitci s magnetskom jezgrom (prigušnice). Izbor materijala i konstrukcija magnetske jezgre bitno 

utječu na karakteristike svitka. Realni svitak ima određeni aktivni otpor zavoja, a kada sadrži 

magnetsku jezgru dodatno se trebaju uzeti u obzir gubici koji nastaju u jezgri i koji uzrokuju 

nelinearne strujno-naponske odnose. 

Svitci su pasivni elementi izmjeničnih krugova s vrlo širokim mogućnostima uporabe u 

elektrotehnici. Primjerice služe za: 

• generiranje induciranih napona (transformator, "bobina" u automobilu) 

• generiranje magnetskih sila (električni motor, relej, kontaktori) 

• filtriranje signala (NF filtri, VF filtri, pojasni filtri) 

• skladištenje magnetske energije 

• stvaranje električnog otpora 

Prigušnice su svitci velikoga induktivnog otpora. Primjenjuju se u različitim vrstama električnih 

filtara koji osiguravaju raspodjelu struje ovisno o frekvenciji. Niskofrekventne (NF) prigušnice 

imaju znatan induktivitet od nekoliko ili desetak H, a imaju veliki induktivni otpor već pri niskim 

frekvencijama. Veliki se otpor u ovom slučaju postiže tako da se svitak konstruira s velikim brojem 

zavoja (L~N 2 ) i sa zatvorenom magnetskom jezgrom (µr>>). Visokofrekventne prigušnice (VF) 

imaju mali induktivitet (mH, µH) i predstavljaju veliki induktivni otpor samo za visoke frekvencije. 

Izrađuju se bez jezgre ili sa specijalnom jezgrom (feriti). 

Induktivni otpor 

Razmatrajmo krug izmjenične struje u koji je uključen svitak zanemariva omskog otpora R≅0, kao 

na Slici 2.2.1.: 

i(t) 

u(t) 

Slika 2.2.1. - Idealni svitak u izmjeničnom krugu 

Pod djelovanjem priključenog napona kroz zavoje svitka teče izmjenična struja stvarajući 

promjenljivo magnetsko polje. Ako svitak nema feromagnetsku jezgru, magnetski tok mijenja se 

sinusoidno i u fazi je sa strujom koja ga je izazvala. Obuhvaćajući zavoje magnetski tok inducira u 

svakom od njih EMS samoindukcije, koja je posljedica strujnih promjena. Inducirana EMS e 

razmjerna je prema zakonu indukcije induktivitetu svitka i brzini promjene struje: 

L

98 

e L 

dϕ 

= −N 

= −L 

dt 

di 

dt 

Za slučaj sinusoidno promjenljive struje i=Imsinω, EMS samoindukcije je: 

d 

= −L 

dt 

π ⎞ 

π ⎞ 

( I m sinω 

t) 

= −LωI 

m cosωt 

= ωLI 

m sin⎜ωt 

− ⎟ = EL 

sin⎜ωt 

− ⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

eL m 

⎛ 

Priključeni napon mora savladati samo EMS samoindukcije, jer je aktivni otpor zanemariv. U 

svakom trenutku priključeni napon i EMS samoindukcije jednaki su po iznosu i suprotno 

usmjereni, pa priključeni napon fazno prethodi struji za 90 0 : 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

uL = −eL 

= ω LI m sin⎜ωt 

+ ⎟ = U L sin⎜ωt 

+ ⎟ 

m 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

Maksimalni napon na induktivitetu je: 

U L = E m Lm 

= ωLI 

m 

Dijeljenjem s 2 dobiju se efektivne vrijednosti UL i I, a njihov kvocijent ima dimenziju otpora: 

U 

I 

L 

⎡1 

Vs V ⎤ 

= ωL 

= X L ⎢ 

⋅ = = Ω 

⎣ s A A ⎥ 

⎦ 

U krugu izmjenične struje s idealnim svitkom (zanemariv omski otpor), stvara se otpor induktivnog 

karaktera. Naziva se induktivni otpor ili induktivna reaktancija. Označava se sa XL, a prikazan je 

jednim od simbola na Slici 2.2.2.: 

Slika 2.2.2. - Simboli induktivnog otpora 

Frekvencijska ovisnost induktivnog otpora je linearna kao što se vidi na Slici 2.2.3. 

Na slici je dana ovisnost o frekvenciji triju različitih induktivnih otpora pri čemu je L1

99 

XL=ωL 

XL3 

XL2 

XL1 

Slika 2.2.3. - Frekvencijska ovisnost induktivnoga otpora 

Ohmov zakon primijenjen na krug s induktivnim otporom glasi: 

I = 

U 

X L 

Valni i pripadni vektorski dijagram kruga prikazan je na Slici 2.2.4.: 

e L,u L,i 

u L 

π/2 

i 

π 

eL 

3π/2 

2π 

f 

α=ωt 

Slika 2.2.4. - Valni i vektorski dijagram kruga s induktivnim otporom 

EMS samoindukcije suprotstavlja se i porastu i opadanju struje, odnosno nastoji zadržati njenu 

prethodnu vrijednost. Predznak EMS samoindukcije je stoga suprotan predznaku struje, što je 

vidljivo na valnom dijagramu. Izlazi da EMS samoindukcije fazno zaostaje za strujom za π/2. 

Priključeni napon je u protufazi u odnosu na EMS samoindukcije, pa prethodi struji za π/2. To se 

objašnjava upravo djelovanjem EMS samoindukcije radi koje zakašnjava promjena struje pri 

promjenama priključenog napona. Stvarni fizikalni uzrok je u izgradnji i razgradnji magnetskog 

polja svitka. 

U L 

E L 

I 

α=0

100 

Snaga na induktivnom otporu 

U krugu sa svitkom zanemariva aktivnog otpora naponski val prethodi strujnom za π/2: 

⎛ π ⎞ 

i(t) = I maxsinωt 

, u( 

t ) = U max sin⎜ω 

t + ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

Tada je trenutna snaga: 

⎛ π ⎞ 

p(t) = U maxI 

maxsinωt 

⋅ sin⎜ωt 

+ ⎟ = U maxI 

maxsinωt 

⋅ cosωt 

⎝ 2 ⎠ 

Uporabom transformacije: 

sin 2α 

= 2 sinα 

cosα 

dobije se: 

U mI m 

p = sin 2ω 

t = UI sin 2ωt 

2 

Trenutna snaga mijenja se po sinusoidnom zakonu, ali s dvostrukom frekvencijom. Valni dijagram 

snage prikazan je na Slici 2.2.5.: 

p,uL,i 

p(t) 

i(t) 

uL(t) 

Slika 2.2.5. – Valni dijagram snage na induktivnom otporu 

U prvoj četvrtini perioda trenutna snaga ima pozitivan predznak, jer matematički predstavlja 

produkt napona i struje koji su istog (pozitivnog) smjera. Fizikalno gledano struja u zavojnici raste, 

pa raste i energija magnetskog polja svitka. Energija se prostire od izvora ka trošilu. U drugoj 

četvrtini perioda struja je pozitivna, a napon negativan, pa trenutna snaga ima negativan predznak. 

Kako se struja smanjuje razgrađuje se magnetsko polje svitka i energija se vraća generatoru. 

Negativan predznak snage ukazuje na protok energije usmjeren od svitka prema generatoru. U 

trećoj četvrtini perioda struja ponovo raste, ali sada u suprotnom smjeru. Kako je i trenutni napon 

T 

t

101 

suprotnog smjera, snaga i energija su pozitivne tj. energija se predaje trošilu. U posljednjoj četvrtini 

perioda energija se ponovo vraća generatoru. 

Pošto u krugu nema aktivnog otpora, nema ni aktivnih gubitaka snage. Po zakonu o sačuvanju 

energije mora energija koju generator predaje svitku biti vraćena natrag u generator. Srednja aktivna 

snaga u toku jednog perioda mora biti jednaka nuli, što i matematički slijedi iz: 

T 

1 1 

P = p( 

t ) dt = UI sin 2 tdt = 

T ∫ T ∫ ω 

0 

T 

0 

UI 

T 

⎛ 1 ⎞ 

⋅⎜ 

− ⎟cos 

2ωt 

⎝ 2ω 

⎠ 

Naime, integral sinusne funkcije unutar cijelog broja perioda uvijek je jednak nuli. 

Energetski gledano proces izmjene energije u krugu s čistim induktivnim otporom je reverzibilan. U 

krugu se vrše oscilacije energije između generatora i magnetskog polja zavojnice bez gubitaka. 

Snagu u krugu nazivamo induktivnom jalovom snagom QL i mjerimo je u volt-amperima reaktivnim 

VAr: 

QL U L I = 

(VAr) 

Zaključak: U krugu s čistim induktivnim otporom struja fazno zaostaje za priključenim naponom za 

90 0 . Cjelokupna energija oscilira između generatora i magnetskog polja svitka. U krugu nema 

gubitaka energije. 

T 

0 

= 0

102 

VJEŽBA C: FAZNI POMAK IZMEĐU STRUJE I NAPONA NA SVITKU 

Zadatak: 

Na zaslonu osciloskopa prikažite sliku sinusoidnog napona i struje na svitku i očitajte fazni pomak 

između njih. 



otporom R=1KΩ i svitkom sa L=100mH prema Slici C.1.: 

UMM=3V 

f=1KHz 

R=1KΩ 

L=100mΗ 

A Y1 

C ⊥ 

B Y2 

Slika C.1. – Krug za mjerenje faznog pomaka na svitku 

Parametre sinusoidnog izvora podesite na osciloskopu tako da bude: 

♦ UMM=3V [napon od vrha do vrha (peak to peak) tj. od maksimuma do minimuma] 

♦ f=1KHz 

Napomena: Otpor R=1KΩ u zadanom krugu ima ulogu mjernog otpora. Napon na njemu UR 

proporcionalan je sa strujom IL koja teče kroz induktivni otpor. Radi istovremenog prikazivanja 

napona na svitku UL i struje svitka IL dane preko UR, referentna točka za mjerenje napona smještena 

je između svitka i mjernog otpora (ispitna točka C). Također treba uzeti u obzir da su zbog pozicije 

točke C dva spomenuta napona invertirana u fazi za 180 0 . Stvarno će se pokazivanje obaju napona 

dobiti tako da se jedan od njih invertira pomoću osciloskopa (tipka inv). U vježbi će to biti napon 

UL na kanalu 2 (Y2). 



Ispitna točka B na kanal 2 (Y2) - invertirano 


Namještene vrijednosti (na osciloskopu): 


Kanal Y1: 1V/podjeli (napon UR⇒IL) 

Kanal Y2: 1V/podjeli-invertirano (napon svitka UL) 

Okidni signal: Y1

103 

Napone sa zaslona osciloskopa prenesite u rešetku prema Slici C.2.: 

- 0 (Y1) 

- 0 (Y2) 

Slika C.2. – Određivanje faznog pomaka između struje i napona na induktivnom otporu 

Iz dijagrama očitajte fazni pomak između napona i struje na svitku: 

Period: 

T=.........ms ; ⇔ 360 0 

Vremenski pomak između napona i struje: 

t=..........ms 

Fazni pomak: 

ϕ = 

⋅ t 

= 

T 

360 0 

Komentar:

104 

VJEŽBA D: INDUKTIVNA REAKTANCIJA SVITKA 

Zadatak: 

Na zaslonu osciloskopa prikažite slike sinusoidnih napona i struja različitih svitaka na različitim 

frekvencijama i snimite krivulje XL=F(f). Induktivne reaktancije odredite iz snimljenih vrijednosti 

napona i struje i provjerite ih proračunom. 


Funkcijski generator postavite na položaj za sinusoidne funkcije. Spojite krug s aktivnim otporom 

R=1KΩ i svitkom sa L1=40mH prema Slici D.1.: 

UMM=8V 

f=1...6KHz 

R=1KΩ 

L1= 40mH 

L2=100mH 

L3=200mH 

A Y1 

C ⊥ 

B Y2 

Osciloskop 

Slika D.1. – Krug za mjerenje reaktancije svitka 

Sva mjerenja trebat će se ponoviti i za svitke induktiviteta L2=100mH i L3=200mH. 


♦ UMM=8V [napon od vrha do vrha (peak to peak) tj. od maksimuma do minimuma] 

♦ f=1KHz 

Napomena: Otpor R=1KΩ ponovo ima ulogu mjernog otpora. Napon na njemu UR proporcionalan 

je sa strujom IL koja teče kroz induktivni otpor, pa je struja IL=UR/R. Kanal Y2 mora biti invertiran. 







Odredite max.-min. vrijednosti URMM i ULMM te izračunajte struju ILMM=URMM/R za frekvencije i 

induktivitete određene podacima u Tablici D.1.:

105 

URMM[V] 

ULMM[V] 

ILMM[mA] 

XL[kΩ] 

f [kHz] 1 2 3 4 5 6 

40mH 

100mH 

200mH 

40mH 

100mH 

200mH 

40mH 

100mH 

200mH 

40mH 

100mH 

200mH 

Tablica D.1. – Mjerni podaci za proračun induktivnog otpora svitka 

Temeljem dobivenih podataka izračunajte pripadne vrijednosti XL=ULMM/ILMM i unesite ih u 

tablicu. 

Na dijagramu prema Slici D.2. unesite odgovarajuće iznose XL i konstruirajte karakteristične 

krivulje XL=F(f). 

Induktivna reaktancija XL [K Ω] 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

FREKVENCIJSKA OVISNOST INDUKTIVNE REAKTANCIJE 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 

Frekvencija f [KHz] 

Slika D.2. – Ovisnost induktivnog otpora svitka o frekvenciji

106 

Napomena: Namještene vrijednosti (na osciloskopu) podešavaju se ovisno o zahtijevanoj 

frekvenciji. 

Što se može zaključiti iz dobivenih frekvencijskih ovisnosti induktivne reaktancije? Odredite XL 

prema formuli XL=ωL na frekvenciji 2KHz za zadane induktivitete L1, L2 i L3. Usporedite ih s 

vrijednostima dobivenim eksperimentom. 

Napomena: Odstupanja mogu biti uzrokovana nepreciznostima u mjerenju i dozvoljenim 

tolerancijama komponenata. 


107 

VJEŽBA E: SNAGA NA INDUKTIVNOJ REAKTANCIJI 

Zadatak: 

Osciloskopom snimite sliku sinusoidnog napona i struje na svitku. Slike sa zaslona ucrtajte na 

zadanom dijagramu. Na istom dijagramu konstruirajte, množenjem trenutnih vrijednosti napona i 

struje, krivulju jalove induktivne snage. 


Sastavite krug sa serijskim spojem otpora R=1KΩ i induktiviteta L=100mH prema Slici E.1. i 

priključite funkcijski generator. 

Um=4V 

f=1KHz 

R=1KΩ 

L=100mΗ 

A Y1 

C ⊥ 

B Y2 

Slika E.1. - Mjerenje snage na induktivnoj reaktanciji 

Napomena: Otpor R=1KΩ u zadanom krugu ima ulogu mjernog otpora. Napon UR na njemu 

proporcionalan je sa strujom koja teče kroz svitak. 

Zbog položaja točke C kanal Y2 mora biti invertiran. 


♦ Um=4V 

♦ f=1KHz 







Kanal Y1: 1V/podjeli (napon UR ⇒I) 

Kanal Y2: 1V/podjeli-invertirano (napon na svitku UL) 

Centrirajte nultu liniju obaju kanala.

108 


Precrtajte slike trenutnih vrijednosti struje i napona na svitku sa zaslona osciloskopa i unesite ih u 

dijagram prema Slici E.2. 

Struja I [ mA ] ; Napon UL [V] ; Reakt. snaga 

Q L 

[mVAr] 

INDUKTIVNA REAKTANCIJA - VALNI DIJAGRAMI STRUJE, NAPONA I SNAGE 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

0 0 .1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0. 7 0.8 0.9 1 


Slika E.2. - Valni oblici struje, napona i snage na induktivnoj reaktanciji 

Očitajte navedene vrijednosti za trenutke specificirane prema Tablici E.1. i unesite ih u istu. 

Izračunajte pripadne vrijednosti trenutne reaktivne snage i unesite ih u dijagram na Slici E.2. te 

konstruirajte valni oblik snage.

109 

Vrijeme t(ms) Struja iL(mA) Napon uL(V) Snaga QL(mVAr) 

0 

0,1 

0,2 

0,3 

0,4 

0,5 

0,6 

0,7 

0,8 

0,9 

1,0 

Tablica E.1. - Izmjereni podaci za struje, napone i snage na induktivnoj reaktanciji 

Što 

se može zaključiti iz valnog oblika snage? Kolika je srednja snaga? Odredite efektivne 

vrijednosti napona i struje na induktivnoj reaktanciji. 


110 

2.3. KONDENZATOR U IZMJENIČNOM KRUGU 

Pored aktivnih otpora kondenzatori su najčešće korištene pasivne komponente izmjeničnih krugova. 

Uporaba im je vrlo raznovrsna. Između ostalog služe za: 

• Odvajanje istosmjerne komponente od izmjenične komponente struje 

• Ostvarivanje faznog pomaka napona i struje 

• Kratko spajanje izmjeničnih napona 

• Konstrukciju filtara i rezonantnih krugova 

• Pohranu električne energije 

• Realizaciju vremenskog kašnjenja 

Za istosmjernu struju po završetku kratkotrajne prijelazne pojave kondenzator postaje mjesto 

prekida strujnog kruga. Da bi se uspostavio stalni tok struje mora postojati zatvoreni strujni krug. 

Za vremenski promjenljiv napon izvora, krug se zatvara preko pomačne struje (dielektrične struje), 

koja predstavlja oscilatorno kretanje vezanih naboja dielektrika pod djelovanjem izmjeničnoga 

električnog polja. Kad nije priključen napon centri pozitivnog i negativnog naboja atoma dielektrika 

se poklapaju. Međutim, kada je na krug narinut izmjenični izvor, jezgre atoma se pomjeraju u 

smjeru djelovanja električnog polja, a putanje elektrona se eliptično izdužuju u suprotnom smjeru. 

Dakle, pomačna struja se opisuje kao oscilatorno kretanje jezgri atoma i periodička deformacija 

putanja elektrona u ritmu narinutih promjena napona izvora. Deformacije su “elastične” (dielektrik 

se vraća u stacionarno stanje kada nije priključen električni izvor) sve dok se ne prijeđe granična 

vrijednost jakosti električnog polja. Tada dolazi do proboja dielektrika (plastična deformacija). 

Kondenzator gubi svoju funkciju, jer je dielektrik nepovratno uništen. 

Kondenzator se periodički puni pri povećanju, odnosno prazni pri smanjenju napona. Izmjenična 

struja je, fizikalno gledano, struja punjenja i pražnjenja kondenzatora, a “zatvara” se preko 

polariziranih naboja u dielektriku. 

Kapacitivni otpor 

Razmatrajmo krug u kojem je na izmjenični izvor uključen kondenzator kapaciteta C bez gubitaka 

(Rc≈0), kao na Slici 2.3.1.: 

i(t) 

u(t) 

Slika 2.3.1. – Izmjenični krug s idealnim kondenzatorom 

Za veličinu struje bitna je brzina promjene napona izvora dU/dt. Isto tako veličina struje ovisi i o 

kapacitetu kondenzatora C, jer se s povećanjem kapaciteta povećava i sposobnost nagomilavanja 

naboja na njemu. Kako je struja određena vremenskim protokom naboja, ona mora biti 

proporcionalna i kapacitetu kondenzatora. Matematički prikazano, iz poznatih relacija: 

dq = 

Cdu = 

idt 

C

111 

dobije se: 

du 

iC = C 

dt 

Za slučaj narinutog izmjeničnog napona u=Umsinωt trenutna struja mu prethodi za 90 0 , jer je: 

d 

= C 

dt 

π ⎞ 

π ⎞ 

( U m sinω 

t) 

= U mωC 

cosωt 

= U mωC 

sin⎜ωt 

+ ⎟ = I sin⎜ωt 

+ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

iC m 

Maksimalna struja kroz kondenzator je: 

ICm = ωCU 

m 

Djeljenjem s 2 dobiju se efektivne vrijednosti U i IC, a njihov kvocjent ima dimenziju otpora: 

U 

I 

C 

⎡ 

⎤ 

1 ⎢ 1 V ⎥ 

= = X C ⎢ = = Ω ⎥ 

ωC −1 

As 

⎢ s 

A 

⎥ 

⎣ V ⎦ 

⎛ 

U krugu izmjenične struje s idealnim kondenzatorom (zanemariv aktivni otpor), stvara se otpor 

kapacitivnog karaktera. Naziva se kapacitivni otpor ili kapacitivna reaktancija. Označuje se sa XC, a 

simbol mu je prikazan na Slici 2.3.2.: 

XC 

Slika 2.3.2. - Simbol kapacitivne reaktancije 

Kapacitivni otpor je suprotstavljanje kondenzatora protoku izmjenične struje koje je obrnuto 

razmjerno frekvenciji i kapacitetu kondenzatora. Frekvencijska ovisnost kapacitivnog otpora je 

oblika hiperbole, a za dva različita kondenzatora kapaciteta C1 i C2 prikazana je na Slici 2.3.3.: 

XC=1/ωC 

XC1 

XC2 

C1>C2 

Slika 2.3.3. - Frekvencijska ovisnost kapacitivnoga otpora 

⎛ 

f

112 

Za frekvenciju f=0 (istosmjerna struja) kapacitivni otpor XC→∝, pa je na mjestu idealnog 

kondenzatora prekid strujnog kruga. Za vrlo visoke frekvencije kapacitivni otpor postaje vrlo 

malen, pa se za ultravisoke frekvencije ponaša gotovo kao kratki spoj. 

Ohmov zakon primjenjen na krug s kapacitivnim otporom glasi: 

I = 

C 

U 

X 

C 

Valna svojstva kruga s kapacitivnim otporom slijede iz ranije izvedenih relacija. Valni i pripadni 

vektorski dijagram prikazan je na Slici 2.3.4.: 

eC,uC,i 

uC 

i 

π/2 

π 

e C 

3π/2 

α=ωt 

Slika 2.3.4. - Valni i vektorski dijagram kruga s kapacitivnim otporom 

Referentna vrijednost je priključeni izmjenični napon. Struja kroz kondenzator fazno mu prednjači 

za π/2. EMS kondenzatora je u protufazi s priključenim naponom: 

= −u 

= E sin t 

eC Cm 

( ω + π ) 

Napon UC=ICXC koji se troši na savladavanje kapacitivnog otpora je kapacitivni pad napona. 

Snaga na kapacitivnom otporu 

U krugu s kondenzatorom zanemarivih gubitaka strujni val prethodi naponskomu za π/2: 

⎛ π ⎞ 

uC(t) = UC 

sinωt 

, iC( 

t ) = IC 

sin⎜ω 

t + 

max 

max ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

pa je trenutna snaga: 

⎛ π ⎞ 

p(t) = 

UC 

IC 

sinωt 

⋅ sin ω t = UC 

IC 

sinωt 

⋅ cosωt 

= UC 

IC 

sin 2ωt 

max max ⎜ + ⎟ max max 

⎝ 2 ⎠ 

2π 

EC 

I 

UC

113 

Trenutna snaga mijenja se opet po sinusoidnom zakonu s dvostrukom frekvencijom. Valni dijagram 

snage prikazan je na Slici 2.3.5.: 

p,uC,i 

p(t) 

i(t) 

uC(t) 

Slika 2.3.5. – Valni dijagram snage na kapacitivnom otporu 

U prvoj i trećoj četvrtini perioda kondenzator se puni, jer raste napon na njemu u pozitivnom (I 

četvrtina), odnosno negativnom smjeru (III četvrtina). Kondenzator uzima energiju s izvora. 

Trenutna energija i snaga je u oba slučaja pozitivna (UC i IC imaju jednaki predznak), jer se prostire 

s izvora na trošilo (kondenzator) i nagomilava se u njegovu električnom polju. U drugoj i četvrtoj 

četvrtini perioda kondenzator se prazni, pa napon na njemu opada. Kondenzator vraća energiju 

natrag u generator razgrađujući pri tom vlastito električno polje, pa je protok energije i snage 

negativan (UC i IC imaju suprotan preznak). Kako u krugu nema aktivnog otpora, nema ni aktivnih 

gubitaka snage. Kao i u slučaju induktivnog otpora sva energija koju generator predaje 

kondenzatoru mora biti vraćena natrag u generator. Srednja aktivna snaga u toku jednog perioda 

mora biti jednaka nuli. 

Proces izmjene energije u krugu s čistim kapacitivnim otporom je reverzibilan. U krugu se vrše 

oscilacije energije između generatora i električnog polja kondenzatora bez gubitaka. Snagu u krugu 

nazivamo kapacitivnom jalovom snagom QC i mjerimo je u volt-amperima reaktivnim VAr: 

Q UC 

IC 

C = 

(VAr) 

Zaključak: U krugu s kondenzatorom bez gubitaka struja prethodi priključenom naponu za 90 0 . 

Jalova energija oscilira između generatora i električnog polja kondenzatora. U krugu nema gubitaka 

energije. 

T 

t

114 

VJEŽBA F: FAZNI POMAK IZMEĐU STRUJE I NAPONA NA KONDENZATORU 

Zadatak: 

Na zaslonu osciloskopa prikažite sliku sinusoidnog napona i struje kondenzatora i očitajte fazni 

pomak između njih. 



otporom R=1KΩ i kapacitetom C=0,22µF prema Slici F.1.: 

UMM=3V 

f=1KHz 

R=1KΩ 

C=0,22µF 

A 

C 

B 

Y1 

Y2 

Osciloskop 

Slika F.1. – Krug za mjerenje faznog pomaka na kondenzatoru 


♦ UMM=3V 

♦ f=1KHz 

Otpor R=1KΩ je mjerni otpor. Napon na njemu UR proporcionalan je sa strujom IC koja teče kroz 

kapacitivni otpor. Radi istovremenog prikazivanja napona na kondenzatoru UC i struje kondenzatora 

IC dane preko UR, referentna točka C za mjerenje napona smještena je između kondenzatora i 

mjernog otpora. Napon UC na kanalu 2 (Y2) mora biti invertiran. 







Kanal Y1: 1V/podjeli (napon UR⇒IC) 

Kanal Y2: 1V/podjeli-invertirano (napon kondenzatora UC) 

Okidni signal: Y1

115 

Napone sa zaslona osciloskopa prenesite u rešetku prema Slici F.2.: 

- 0 (Y1) 

- 0 (Y2) 

Slika F.2. – Određivanje faznog pomaka između struje i napona na kapacitivnom otporu 

Iz dijagrama očitajte fazni pomak između napona i struje na kondenzatoru. 

Period: 

T=.........ms ; ⇔ 360 0 


t=..........ms 

Fazni pomak: 

ϕ = 

⋅ t 

= 

T 

360 0 


116 

VJEŽBA G: KAPACITIVNA REAKTANCIJA KONDENZATORA 

Zadatak: 

Na zaslonu osciloskopa prikažite slike sinusoidnih napona i struja različitih kondenzatora na 

različitim frekvencijama i snimite krivulje XC=F(f). Kapacitivne reaktancije odredite iz max.-min. 

vrijednosti napona i struje i provjerite ih proračunom. 



otporom R=1KΩ i kondenzatorom sa C1=0,22µF prema Slici G.1.: 

UMM=8V 

f=100...700Hz 

R=1KΩ 

C1=0,22µ F 

C2=0,47µ F 

C3=1µ F 

A 

C 

B 

Y1 

Y2 

Osciloskop 

Slika G.1. – Krug za mjerenje kapacitivne reaktancije 

Sva mjerenja trebat će se ponoviti i za kondenzatore kapaciteta C2=0,47µF i C3=1µF. 


♦ UMM=8V 

♦ f=0,1KHz 

Napomena: Otpor R=1KΩ je mjerni otpor. Napon na njemu UR proporcionalan je sa strujom IC koja 

teče kroz kapacitivni otpor, pa je struja IC=UR/R. 







Odredite max.-min vrijednosti napona URMM i UCMM te izračunajte struju ICMM=URMM/R za 

frekvencije i kapacitete određene podacima u Tablici G.1.:

117 

UCMM(V) 

URMM(V) 

ICMM(mA) 

XC(KΩ) 

f(KHz) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 

1µF 

0,47µF 

0,22µF 

1µF 

0,47µF 

0,22µF 

1µF 

0,47µF 

0,22µF 

1µF 

0,47µF 

0,22µF 

Tablica G.1. – Mjerni podaci za proračun kapacitivnoga otpora kondenzatora 

Temeljem dobivenih podataka izračunajte vrijednosti XC=UCMM/ICMM i unesite ih u tablicu. 

Kapacitivna reaktancija Xc [K Ω] 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

FREKVENCIJSKA OVISNOST KAPACITIVNE REAKTANCIJE 

0 

0 0,1 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 0.7 

Frekvencija f [KHz] 

Slika G.2. – Ovisnost kapacitivnog otpora kondenzatora o frekvenciji

118 

Na dijagramu prema Slici G.2. unesite odgovarajuće iznose XC i konstruirajte karakteristične 

krivulje XC=F(f). 

Što se može zaključiti iz dobivenih frekvencijskih ovisnosti kapacitivne reaktancije? Odredite XC 

prema formuli XC=1/ωC na frekvenciji 600Hz za zadane kapacitete C1, C2 i C3. Usporedite ih s 

vrijednostima dobivenim eksperimentom. 

Napomena: Odstupanja mogu biti uzrokovana nepreciznostima u mjerenju i dozvoljenim 

tolerancijama komponenata. 


119 

VJEŽBA H: SNAGA NA KAPACITIVNOJ REAKTANCIJI 

Zadatak: 

Osciloskopom snimite sliku sinusoidnog napona i struje na kondenzatoru. Slike sa zaslona ucrtajte 

na zadanom dijagramu. Na istom dijagramu konstruirajte, množenjem trenutnih vrijednosti napona i 

struje, krivulju reaktivne kapacitivne snage. 


Sastavite krug sa serijskim spojem otpora R=1KΩ i kapaciteta C=0,22µF prema Slici H.1. i 

priključite funkcijski generator. 

Um=4V 

f=1KHz 

U C 

UR 

R=1KΩ 

C=0,22µF 

A 

C 

B 

Y1 

Y2 

Osciloskop 

Slika H.1. - Mjerenje snage na kapacitivnoj reaktanciji 

Napomena: Otpor R=1KΩ u zadanom krugu ima ulogu mjernog otpora. Napon UC na kanalu Y2 

treba se invertirati. 


♦ Um=4V 

♦ f=1KHz 







Kanal Y1: 1V/podjeli (napon UR ⇒I) 

Kanal Y2: 1V/podjeli-invertirano (napon na kondenzatoru UC) 


Okidni signal: Y1

120 

Precrtajte slike trenutnih vrijednosti struje i napona na kondenzatoru sa zaslona osciloskopa i 

unesite ih u dijagram prema Slici H.2 

Struja I [mA ] ; Napon UC [V] ; Reakt. snaga QC 

[mVAr] 

KAPACITIVNA REAKTANCIJA - VALNI DIJAGRAMI STRUJE, NAPONA I SNAGE 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 

0.8 0.9 1 


Slika H.2. - Valni oblici struje, napona i snage na kapacitivnoj reaktanciji 

Očitajte navedene vrijednosti za trenutke specificirane prema Tablici H.1. i unesite ih u istu. 

Izračunajte prip adne vrijednosti trenutne reaktivne 

snage i unesite ih u dijagram na Slici H.2., te 

konstruirajte valni oblik snage.

121 

Vrijeme Struja iC(mA) Napon uC(V) Snaga QC(mVAr) 

0 

0,1 

0,2 

0,3 

0,4 

0,5 

0,6 

0,7 

0,8 

0,9 

1,0 

Tablica H.1. - Izmjereni podaci za struje, napone i snage na kapacitivnoj reaktanciji 

Što 

se može zaključiti iz valnog oblika snage? Kolika je srednja snaga? Odredite efektivne 

vrijednosti napona i struje na kapacitivnoj reaktanciji. 


122 

3. MJEŠOVITI SPOJEVI U KRUGOVIMA IZMJENIČNE STRUJE 

Pasivni elementi: aktivni, induktivni i kapacitivni otpor mogu u mrežama tvoriti različite serijske, 

paralelne i mješovite spojeve. Primjenjuju se ista pravila za određivanje ukupnog otpora koja 

vrijede i za istosmjerne struje. Pri tome valja imati na umu odgovarajuće fazne odnose pojedinih 

komponenti. Strujno naponski vektorski dijagrami svih pasivnih elemenata koje sadržavaju 

izmjenični krugovi, skupno su prikazani na Slici 3.1: 

R 

I 

UR 

UL 

XL 

I 

UC 

XC 

I 

Ref. os 

Slika 3.1. - Vektorski strujno-naponski dijagrami pasivnih elemenata izmjeničnih krugova 

Potrebno je provesti pomnu analizu svih kombinacija serijskih i paralelnih spojeva navedenih 

elemenata koja se onda može primjeniti na postavljanje ekvivalentnih shema sklopova i uređaja 

izmjenične struje, kao i na rješavanje složenih izmjeničnih krugova. 

Za realizaciju narednih vježbi dovoljno je poznavanje vektorskih odnosa izmjeničnih veličina, jer se 

razmatraju temeljni jednostavni krugovi. Međutim, analiza složenijih krugova na ovaj način postaje 

zamršena, pa zahtijeva jednostavniji pristup. Tada se primjenjuje dobro poznata matematička 

metoda u kojoj se izmjenične veličine zamjenjuju kompleksnim simbolima, pa otuda i njeno ime - 

simbolička metoda. 

Simboličku metodu uveo je Steinmetz već 1893. god. Temelji se na prikazu struja, napona, snaga, 

otpora i vodljivosti pomoću fazora u Gaussovoj kompleksnoj ravnini, gdje se izmjenične veličine 

dadu prikazati kompleksnim brojevima. Time se jednim simbolom označuje kako brojčana 

vrijednost, tako i faza određene izmjenične veličine. Važno je istaknuti da se simbolička metoda 

može primjenjivati samo za sinusoidne veličine. Uz to one moraju imati jednake i konstantne 

frekvencije.

123 

3.1. SERIJSKI SPOJ AKTIVNOG I INDUKTIVNOG OTPORA 

Realni svitak bez feromagnetske jezgre (zračni svitak) ima pored induktivnog i nezanemariv aktivni 

otpor zavoja. Stoga se može prikazati ekvivalentnom shemom koja sadržava serijski R-XL spoj, kao 


I 

R 

U 

Slika 3.1.1. - Serijski R-XL spoj (ekvivalentna shema realnoga svitka) 

Za savladavanje aktivnog otpora stvara se pad napona koji se fazno poklapa sa strujom, a za 

savladavanje induktivnog otpora pad napona koji fazno prethodi struji za 90 0 . Očigledno je da 

napon narinut na serijsku kombinaciju mora fazno prethoditi struji za neki kut ϕ, koji ovisi o 

međusobnom odnosu aktivnog i induktivnog otpora: 

0 

0 ≤ ϕ ≤ 90 

Što je aktivni otpor veći kut ϕ je bliži nuli, a što je induktivni otpor veći kut ϕ je bliži 90 0 . Budući 

da u serijskome krugu svim elementima kruga teče jedna te ista struja, logično ju je odabrati kao 

referentnu vrijednost. 

Trenutne vrijednosti struja i svih napona u krugu su: 

i = I 

u 

u 

R 

L 

m 

= U 

= U 

u = U 

sinωt 

m 

R 

L 

m 

m 

sin 

sinωt 

sin 

0 ( ωt 

+ 90 ) 

( ωt 

+ ϕ ) 

Odgovarajući valni oblici prikazani su na Slici 3.1.2.: 

u,uL,uR,i 

uL 

u 

i 

π/2 

uR 

π 

XL 

3π/2 

Slika 3.1.2. - Valni dijagrami serijskoga R-XL spoja 

2π 

α=ωt

124 

Ukupni napon dobije se kao zbroj trenutnih vrijednosti uR i uL. Vidljivo je da prikaz preko trenutnih 

vrijednosti postaje kompliciran i nepregledan već i za jednostavni serijski spoj. Zato će se u analizi 

ostalih spojeva izbjegavati, jer se sve potrebne informacije mogu izvući iz pripadnih vektorskih 

dijagrama. 

Za savladavanje aktivnog otpora stvara se aktivni pad napona UR koji se fazno poklapa sa strujom. 

Induktivni pad napona UL fazno prethodi struji za 90 0 . Efektivne vrijednosti su im: 

U 

U 

R 

L 

= IR 

= IX 

L 

Ovi se naponi ne zbrajaju algebarski kao kod istosmjernih struja, već se simbolički tretiraju kao 

vektori. Za jakost struje odabranu kao referentni vektor dobije se vektorski dijagram napona i struja 

razmatranog kruga kao na Slici 3.1.3.: 

ϕ 

U 

UR 

90 0 

Slika 3.1.3. – Vektorski dijagram serijskoga R-XL kruga 

Promatra li se izdvojeno trokut napona kruga očigledno je da je ukupni napon hipotenuza trokuta: 

U = U + U 

2 

R 

2 

L 

Dijeljenjem svih stranica trokuta napona s konstantnom strujom I dobije se trokut otpora, a 

množenjem sa I trokut snaga. Sva tri trokuta koji u potpunosti oslikavaju sve veličine potrebne za 

proračun kruga, prikazana su na Slici 3.1.4: 

ϕ 

U 

UR 

90 0 

UL 

ϕ 

Z 

R 

Slika 3.1.4. – Trokut napona, otpora i snaga serijskoga R-XL kruga 

Fazni odnosi u sva tri slučaja ne mijenjaju se jer se množenjem i dijeljenjem sa I proporcionalno 

mijenjaju sve stranice trokuta napona. 

Komponente trokuta otpora su: 

90 0 

XL 

UL 

I 

ϕ 

S 

P 

90 0 

QL

125 

U R 

R = djelatni ili aktivni otpor (rezistencija) 

I 

X 

L 

U L 

= induktivni otpor (induktivna reaktancija) 

I 

U 

Z = ukupni ili prividni otpor (impedancija) 

I 

Impedancija Z obuhvaća aktivne gubitke i protudjelovanje EMS samoindukcije koju savladava 

napon na induktivitetu UL. Iz trokuta otpora slijedi: 

2 

Z = R + X 

2 

L 

Ohmov zakon za zadani krug je: 

I = 

U 

Z 

= 

R 

U 

2 

+ X 

2 

L 

Fazni se kut može odrediti neposredno iz vektorskog dijagrama, ako u se u mjerilu ucrtaju sve 

veličine. Jednostavnije je fazni kut izraziti analitički pomoću neke od trigonometrijskih funkcija. Iz 

trokuta otpora dobije se: 

ϕ = 

R 

arccos 

Z 

Trenutna snaga je: 

p m m 

X 

= arcsin 

Z 

L = 

X 

arctg 

R 

( ω ϕ ) 

= ui = U I sinω 

t ⋅ sin t + 

Valni dijagram snage prikazan je na Slici 3.1.5.: 

p,uL,i 

L 

p(t) 

uL(t) 

Slika 3.1.5. – Valni dijagram snage za serijski R-XL spoj 

i(t) 

T 

t

126 

Električna energija predana od izvora dijelom se pretvara u toplinsku na aktivnom otporu, a dijelom 

oscilira između generatora i magnetskoga polja svitka. Fazni kut ϕ odgovara onom dijelu perioda u 

toku kojeg je trenutna snaga negativna, tj. vraća se u generator. Što je fazni pomak veći to se manje 

svrsishodno koristi energija generatora. 

Ireverzibilni proces pretvaranja električne energije u toplinsku opisuje se djelatnom snagom P: 

P = U R I 

Kako je iz trokuta napona: 

U R = U cosϕ 

dobije se: 

P = UI cosϕ 

(W) 

Jalova snaga QL karakterizira oscilacije između generatora i magnetskoga polja svitka: 

QL = U LI 

= UI sinϕ 

(VArind 

) 

Ukupna ili prividna snaga S uzima u obzir ireverzibilne gubitke i reverzibilni proces oscilacija. 

Jednaka je geometrijskom zbroju aktivne i reaktivne snage, a mjeri se u VA. 

Međusobni odnosi snaga mogu se odrediti iz trokuta snaga s prethodne slike. Tako je: 

2 

2 

( UI cosϕ 

) + ( UI sin ) = UI 

2 2 

S = P + Q = 

ϕ 

Q = S sinϕ 

P = S cosϕ 

Također vrijedi i: 

P = I 

R 

2 = 

U 

R 

2 

Q = I X L = 

S = I 

Z 

2 = 

2 

R 

U 

Z 

U 

X 

2 

2 

L 

L 

Usporede li se izrazi za aktivnu i prividnu snagu vidi se da aktivna snaga, uz postojanje faznog 

pomaka, može biti manja ili najviše jednaka prividnoj snazi. Omjer ovih snaga naziva se faktorom 

snage cosϕ: 

cos ϕ 

= 

P 

S

127 

Faktor snage pokazuje koliki dio prividne snage koju razvija generator, iskoristi trošilo u vanjskom 

dijelu kruga. Često se u praksi kao karakteristika elektrotehničkih uređaja navodi i faktor snage. 

Rad u uvjetima postojanja reaktivne snage je nepovoljan, jer se u graničnom slučaju čistoga 

reaktivnog trošila ne razvija aktivna snaga, a generator radi s punim opterećenjem. Vodovi za 

prijenos električne energije opterećeni su reaktivnom snagom i na njima nastaju dodatni gubici. 

Razmotrimo kao primjer rad generatora s konstantnom prividnom snagom od 100KVA, pri promjeni 

karaktera otpora trošila. Ako je faktor snage trošila cosϕ=0,5 induktivno, aktivna snaga koju trošilo 

stvarno konzumira je 50KW. Povećanje faktora snage postiže se paralelnim vezivanjem 

kondenzatora, čija reaktivna snaga reducira induktivnu snagu. Taj se postupak zove kompenzacija 

faktora snage. Povećanjem na primjerice cosϕ=0,9 trošilo će koristiti znatno veću snagu od 90KW. 

Povećanje faktora snage omogućuje potpunije iskorištenje nominalne snage generatora. Imajući na 

umu da veliki dio elektrotehničkih uređaja (elektromotori, transformatori) ima osim aktivne i 

reaktivnu induktivnu snagu, značaj kompenzacije faktora snage je očigledan. U cjelokupnom 

elektroenergetskom sustavu povećanje faktora snage za 1% može donijeti godišnje uštede koje se 

mjere u milionima KWh električne energije. 

Faktor jalove snage je: 

Q 

sin ϕ 

= 

S

128 

VJEŽBA I: SERIJSKI SPOJ AKTIVNOG I INDUKTIVNOG OTPORA 

Zadatak: 

Na serijskom spoju aktivnog otpora i svitka izmjerite pomoću multimetra i osciloskopa napon 

svitka UL, aktivni napon UR, struju I i fazni pomak između ukupnog napona U i napona UR. 

Izračunajte induktivnu reaktanciju svitka XL, prividni otpor (impedanciju) Z i fazni pomak između 

ukupnog napona i aktivnog napona. 

Napomena: Stvarni djelatni otpor zavoja svitka koji se koristi u vježbi je malen i iznosi oko 13Ω , 

pa se može zanemariti u traženim proračunima. 


Spojite krug s aktivnim otporom R=1KΩ i svitkom sa L1=100mH prema Slici I.1.: 

UMM=6V 

f=1KHz 

I 

L=100mΗ 

R=1KΩ 

A Y1 

B Y2 

C ⊥ 

Osciloskop 

Slika I.1. – Krug za mjerenje parametara serijskoga R-XL kruga 

Parametre sinusoidnog izvora podesite pomoću osciloskopa: 

♦ UMM=6V [maksimum - minimum] 

♦ f=1KHz 







Kanal Y1: 1V/podjeli (ukupni napon U) 

Kanal Y2: 1V/podjeli (aktivni napon UR ⇒I) 


Centrirajte nultu crtu obaju kanala. 

Napone sa zaslona osciloskopa prenesite u rešetku prema Slici I.2.

129 

- 0 (Y1,Y2) 

Slika I.2. – Određivanje faznog pomaka između ukupnog i napona na aktivnom otporu 

Iz dijagrama očitajte fazni pomak između ukupnog napona i aktivnog napona: 

Period: 

T=.........ms ; ⇔ 360 0 


t=..........ms 

Fazni pomak: 

ϕ = 

⋅ t 

= 

T 

360 0 

Multimetrom izmjerite: 

Napon svitka (ispitne točke A-B): 

UL= 

Aktivni napon (ispitne točke B-C): 

UR = 

Efektivna vrijednost napona: 

U= 

Izračunajte: 

Induktivnu reaktanciju: 

XL=ωL= 

Impedanciju: 

2 

Z = R + X 

Faktor snage: 

cosϕ= 

Struju: 

U 

= 

R 

I R 

= 

2 

L

130 

Iz izmjerenih i izračunatih podataka konstruirajte vektorske dijagrame napona i otpora prema 

Slici I.3.: 

a) b) 

Slika I.3. – Vektorski dijagrami napona (a) i otpora (b) u serijskome R-L krugu 

Napomena: 

Dijagram napona 0,5V/podjeli 

Dijagram otpora 100Ω/podjeli 

Početna točka za crtanje vektorskog dijagrama: • 

Komentar:

131 

3.2. PARALELNI SPOJ AKTIVNOG I INDUKTIVNOG OTPORA 

Realni svitak bez magnetske jezgre može se prikazati i ekvivalentnom paralelnom shemom kao na 

Slici 3.2.1.: 

U 

I 

IR 

R 

Slika 3.2.1 - Paralelni spoj aktivnog i induktivnog otpora 

U grani s aktivnim otporom teče struja IR koja je u fazi s priključenim izmjeničnim naponom, a u 

grani s induktivnim otporom teče reaktivna struja IL koja fazno zaostaje za naponom za 90 0 . Ukupna 

struja I je geometrijski zbroj parcijalnih struja u paralelnim granama. 

U konstruiranju vektorskog dijagrama za sve vrste paralelnih spojeva prirodno je početi od napona 

kao referentne veličine, jer je jedan te isti napon na svim paralelnim granama. Dijagram 

razmatranog spoja prikazan je na Slici 3.2.2: 

ϕ 

I 

IR 

Slika 3.2.2. - Vektorski dijagram paralelnoga R-L spoja 

Vidljivo je da su ukupna struja i njene komponente: 

I 

I 

I 

R 

L 

= 

I 

2 

R 

+ I 

= I cosϕ 

= I sinϕ 

2 

L 

Ukupna struja fazno zaostaje za naponom za kut: 

− ϕ 

0 

90 < < 

0 

0 

Dijeljenjem svih stranica trokuta s konstantnim naponom dobije se njemu sličan trokut vodljivosti, a 

množenjem s naponom dobije se također sličan trokut snaga. Trokuti struja, vodljivosti i snaga 

prikazani su na Slici 3.2.3.: 

IL 

L 

IL 

U

132 

ϕ 

I 

IR 

IL 

Stranice trokuta vodljivosti su: 

ϕ 

Y 

G 

ka 3.2.3. - Trokut struja, vodljivosti i snaga paralelnoga R-L spoja 

I R G = aktivna vodljivost (konduktancija) 

U 

I L BL 

= induktivna reaktivna vodljivost (induktivna susceptancija) 

U 

I 

Y = ukupna vodljivost (admitancija) 

U 

Dimenzije navedenih veličina dane su u Siemensima (S). Iz trokuta vodljivosti admitancija je: 

Y = G + 

2 2 

BL 

Fazni kut može se odrediti iz trokuta struja ili iz trokuta vodljivosti temeljem jedne od relacija: 

ϕ = 

B 

arcsin 

Y 

G 

= arccos 

Y 

L = 

Iz trokuta snaga dobije se: 

BL 

arctg 

G 

2 

2 I R 

P = UI R = U G = djelatna snaga (W) 

G 

2 

I L 

= induktivna jalova snaga (VArind) 

B 

2 

Q UI L = U BL 

= 

S = 

P 

2 

+ Q 

2 

= 

L 

2 2 2 

( U G) 

+ ( U B ) 

L 

2 

= U 

2 

G 

2 

+ B 

2 

L 

BL 

= U 

2 

Y 

ϕ 

2 

I 

= 

Y 

S 

P 

QL 

Sli

133 

VJEŽBA J: PARALELNI SPOJ AKTIVNOG I INDUKTIVNOG OTPORA 

Zadatak: 

Izmjerite ukupnu struju I, reaktivnu struju svitka IL i aktivnu struju IR za paralelni spoj otpora i 

svitka. Izračunajte vodljivost G, induktivnu vodljivost BL, admitanciju Y i fazni kut ϕ. Konstruirajte 

vektorski dijagram struja i vodljivosti. 


Spojite paralelni R-L krug prema prema Slici J.1.: 

U=5V 

f=1KHz 

I 

A 

C 

D 

B 

IL 

100mH 

IR 

E 

F 

1KΩ 

Slika J.1. – Shema za mjerenja u paralelnome R-L krugu 

Na sinusoidnom izvoru mjereći napon i frekvenciju izvora multimetrom, postavite slijedeće 

vrijednosti: 

♦ U=5V [efektivna vrijednost] 

♦ f=1KHz 

Izmjerite: 

Ukupnu struju I (ispitne točke A-B) 

I= 

Reaktivnu struju IL (ispitne točke C-D) 

IL= 

Aktivnu struju IR (ispitne točke E-F) 

IR= 

Izračunajte: 

Aktivnu vodljivost G: 

1 

G = = 

R 

Reaktivnu vodljivost BL: 

1 

= = 

L 

B L ω 

Admitancija Y: 

Y 

= 

G 

+ 

2 2 

BL 

= 

Fazni kut ϕ: 

I L 

tgϕ 

= = 

I 

⇒ ϕ = 

R

134 

Iz izmjerenih i izračunatih podataka konstruirajte vektorske dijagrame struja i vodljivosti prema 

Slici J.2.: 

a) b) 

Slika J.2. – Vektorski dijagrami struja (a) i vodljivosti (b) u paralelnome R-L krugu 

Napomena: 

Dijagram struja 1mA/podjeli 

Dijagram vodljivosti 0,2mS/podjeli 


Usporedite vrijednosti struja dobivenih mjerenjem s izračunatim vrijednostima: I=UY, IR=UG, 

IL=UBL. 


135 

3.3. SERIJSKI SPOJ AKTIVNOG I KAPACITIVNOG OTPORA 

Realni kondenzator ima energetske gubitke radi struje odvođenja uzrokovane nesavršenom 

izolacijom i gubitke u samom dielektriku. 

Struja odvođenja dana je sa Iod=U/Riz gdje je Riz otpor izolacije. Prisutnost vlage, nečistoća i 

prašine u kondenzatoru smanjuje otpor izolacije, povećavajući struju odvođenja, a time i gubitke 

kondenzatora. Dopunski gubici stvaraju se kod oscilatornog kretanja vezanih (polariziranih) naboja 

dielektrika pod djelovanjem izmjeničnog napona. U procesu periodičke preorijentacije iona, dipola i 

molekula dielektrika, dolazi do trenja koje je praćeno pretvorbom dijela električne energije u 

toplinsku. Od svih oblika polarizacije dielektrika samo elektronska nije vezana s gubicima energije, 

jer je deformacija putanja elektrona vrlo elastična. Deformacije koje nastaju kod većine krutih i 

tekućih dielektrika pod djelovanjem promjenljivog električnog polja nisu potpuno elastične, pa 

nastaju gubici energije. Gubici energije rastu s povišenjem frekvencije. Za smanjivanje gubitaka 

radi promjene orijentacije naboja koriste se kondenzatori s plinskim, keramičkim, polistirenskim ili 

stirofleksnim dielektricima. 

U općem slučaju kondenzatora s gubicima isti se može prikazati serijskim R-C spojem kako je to 

prikazano ekvivalentnom shemom Slici 3.3.1.: 

I 

R 

UR 

U 

Slika 3.3.1. - Serijski R-XC spoj (ekvivalentna shema realnoga kondenzatora) 

Za savladavanje aktivnog otpora stvara se pad napona koji se fazno poklapa sa strujom, a za 

savladavanje kapacitivnog otpora pad napona koji fazno zaostaje za strujom za 90 0 . Efektivne 

vrijednosti su im: 

U 

U 

R 

C 

= IR 

= IX 

C 

Izbjeći ćemo određivanje ukupnoga napona na dijagramu valnih oblika iz ranije spomenutih 

razloga. Pogodnije je zbrajanje napona izvesti geometrijski na vektorskom dijagramu, čiju 

konstrukciju opet počinjemo s jedinstvenim vektorom struje koja teče kroz sve elemente kruga, kao 


ϕ 

U 

UR 

C 

UC 

I 

UC 

Slika 3.3.2. – Vektorski dijagram serijskoga R-XC kruga

136 

Očigledno je da napon narinut na serijsku kombinaciju mora fazno prema struji zaostajati za neki 

kut ϕ, koji ovisi o međusobnom odnosu aktivnog i kapacitivnog otpora: 

− 90 ≤ ϕ ≤ 

0 

Izdvajanjem trokuta napona kruga, dobije se za ukupni napon: 

U U U + = 

2 

R 

2 

C 

Dijeljenjem, odnosno množenjem svih stranica trokuta napona s konstantnom strujom I dobiju se 

trokut otpora i trokut snaga kao na Slici 3.3.3.: 

ϕ 

U 

UR 

Komponente trokuta otpora su: 

UC 

ϕ 

Z 

R 

Slika 3.3.3. – Trokut napona, otpora i snaga serijskoga R-XC kruga 

U R 

R = aktivni otpor (rezistencija) 

I 

UC 

X C = kapacitivni otpor (kapacitivna reaktancija) 

I 

U 2 2 

Z = = R + X C ukupni ili prividni otpor (impedancija) 

I 

Ohmov zakon za razmatrani krug je: 

I 

= 

U 

Z 

= 

R 

U 

+ 

2 2 

X C 

Fazni kut određen iz trokuta otpora može se izraziti na jedan od slijedećih načina: 

ϕ = 

R 

arccos 

Z 

Kako je: 

i = I 

m 

u = U 

sinωt 

m 

sin 

X 

= arcsin 

Z 

( ωt 

− ϕ ) 

C = 

X 

arctg 

R 

C 

XC 

ϕ 

S 

P 

QC

137 

trenutna snaga je: 

( ω ϕ ) 

= ui = U I sinωt 

⋅ sin t − 

p m m 

Valni dijagram snage prikazan je na Slici 3.3.4.: 

p,uC,i 

p(t) 

i(t) 

uC(t) 

Slika 3.3.4. – Valni dijagram snage za serijski R-XC spoj 

Električna energija predana od izvora dijelom se pretvara u toplinsku na aktivnom otporu, a dijelom 

oscilira između generatora i električnog polja kondenzatora. Ireverzibilni dio procesa zbog 

navedenih gubitaka kondenzatora opisuje se aktivnom snagom P: 

P = U 

R 

2 

2 U R 

I = I R = = UI cosϕ 

(W) 

R 

Reaktivna snaga QC karakterizira oscilacije između generatora i električnog polja kondenzatora: 

2 

2 UC 

QC = UC 

I = I X C = = UI sinϕ 

(VArkap 

) 

X 

Ukupna snaga S je iz trokuta snaga: 

C 

U 

Z 

2 

2 

2 

( UI cosϕ 

) + ( UI sin ) = UI = I Z = (VA) 

2 2 

S = P + Q = 

ϕ 

C 

Također vrijedi i: 

Q = S sinϕ 

P = 

S cosϕ 

2 

T 

t

138 

VJEŽBA K: SERIJSKI SPOJ AKTIVNOG I KAPACITIVNOG OTPORA 

Zadatak: 

Na serijskom spoju aktivnog otpora i kondenzatora izmjerite napon kondenzatora UC, aktivni napon 

UR, struju I i fazni pomak između impedancije Z i reaktancije XC. Izračunajte kapacitivnu 

reaktanciju kondenzatora XC i impedanciju Z. 


Spojite krug s aktivnim otporom R=1KΩ i kondenzatorom sa C=0,22µF prema Slici K.1.: 

A 

U=5V 

f=1KHz 

B 

1KΩ 

0,22µ F 

Slika K.1. – Krug za mjerenje parametara serijskoga R-XC kruga 

Parametre sinusoidnog izvora podesite pomoću multimetra: 

♦ U=5V 

♦ f=1KHz 

♦ 

Multimetrom izmjerite slijedeće vrijednosti: 

Struju I (ispitne točke A-B): 

I= 

Napon na kondenzatoru UC (ispitne točke D-E): 

UC= 

Aktivni napon UR (ispitne točke C-D): 

UR= 

C 

D 

E 

Izračunajte: 

Fazni kut ϕ: 

U 

tan = 

U 

C ϕ ⇒ ϕ= 

R 

Impedanciju Z: 

Z 

U 

= 

I 

= 

Kapacitivnu reaktanciju XC: 

UC 

X C = Z sinϕ 

= Z = 

U

139 

Iz izmjerenih i izračunatih podataka konstruirajte vektorske dijagrame napona i otpora prema 

Slici K.2.: 

a) b) 

Slika K.2. – Vektorski dijagrami napona (a) i otpora (b) u serijskome R-C krugu 

Napomena: 

Dijagram napona 0,5V/podjeli 

Dijagram otpora 100Ω/podjeli 


Kolike su vrijednosti aktivne, kapacitivne i prividne snage? 


140 

3.4. PARALELNI SPOJ AKTIVNOG I KAPACITIVNOG OTPORA 

Ako kondenzator s gubicima prikažemo ekvivalentnom paralelnom RC shemom dobije se mreža 

kao na Slici 3.4.1.: 

I 

U 

C 

IC 

Slika 3.4.1. - Paralelni spoj aktivnog i kapacitivnog otpora 

U grani s aktivnim otporom teče struja IR koja je u fazi s priključenim izmjeničnim naponom, a u 

grani s kapacitivnim otporom teče kapacitivna struja IC koja fazno prethodi naponu za 90 0 : 

I R 

= 

U 

R 

= UG 

U 

I C = = UB 

X 

C 

C 

Ukupna struja I je geometrijski zbroj parcijalnih struja. Konstruiranje vektorskog dijagrama počinje 

od napona kao referentne veličine, a zatim se unose struje u granama te ukupna struja, kao na Slici 

3.4.2.. Na istoj su slici prikazani i pripadni trokuti otpora i snaga. 

ϕ 

I 

IR 

90 0 

IC 

U 

ϕ 

Y 

G 

Slika 3.4.2. - Vektorski dijagram, trokut otpora i trokut snaga paralelnog R-C spoja 

Ukupna struja je: 

I = I + I 

2 

R 

2 

C 

a napon fazno zaostaje za kut: 

90 0 

BC 

IR 

R 

ϕ 

S 

P 

90 0 

QC

141 

− 90 ≤ϕ 

≤ 

0 

Stranice trokuta vodljivosti su: 

I R G = konduktancija 

U 

IC 

BC 

= kapacitivna vodljivost (kapacitivna susceptancija) 

U 

I 2 2 

Y = = G + BC 

admitancija 

U 

Fazni kut je: 

ϕ = 

B 

arcsin 

Y 

G 

= arccos 

Y 

C = 

Iz trokuta snaga dobije se: 

BC 

arctg 

G 

2 

P = UI = U G = UI cosϕ 

(W) 

R 

2 

= UI = U B = UI sinϕ 

(VArkap) 

Q C 

C 

2 2 2 

S = UI = P + Q = U Y (VA)

142 

VJEŽBA L: PARALELNI SPOJ AKTIVNOG I KAPACITIVNOG OTPORA 

Zadatak: 

Izmjerite ukupnu struju I, reaktivnu struju kondenzatora IC i aktivnu struju IR za paralelni spoj 

otpora i kondenzarora. Iz izmjerenih vrijednosti izračunajte vodljivost G, kapacitivnu vodljivost BC, 

admitanciju Y i fazni kut ϕ. Konstruirajte vektorski dijagram struja i vodljivosti. 


Spojite paralelni R-C krug prema prema Slici L.1.: 

I 

U=5V 

f=1KHz 

A 

C 

D 

B 

IC 

0,22µF 

IR 

1KΩ 

Slika L.1. – Shema za mjerenja u paralelnom R-C krugu 

Na sinusoidnom izvoru mjereći napon i frekvenciju izvora multimetrom, postavite slijedeće 

vrijednosti: 

♦ U=5V 

♦ f=1KHz 



I= 

Reaktivnu struju IC (ispitne točke C-D) 

IC= 

Aktivnu struju IR (ispitne točke E-F) 

IR= 

Izračunajte: 

E 

Konduktanciju G 

1 

G = = 

R 

Reaktivnu vodljivost BC: 

B 

F 

1 

= = C = 

X 

C ω 

C 

Ukupnu vodljivost (admitanciju) Y: 

Y 

= 

G 

+ 

2 2 

BC 

Fazni kut ϕ: 

= 

IC 

tanϕ 

= = ⇒ ϕ = 

I 

R

143 


Slici L.2.: 

a) b) 

Slika L.2. – Vektorski dijagrami struja (a) i vodljivosti (b) u paralelnome R-C krugu 

Napomena: 

Dijagram struja 1mA/podjeli 

Dijagram vodljivosti 0,2mS/podjeli 


Kolika je impedancija kruga? Odredite snage u krugu. 


144 

3.5. SERIJSKI SPOJ AKTIVNOG, INDUKTIVNOG I KAPACITIVNOG OTPORA 

Serijski R-L-C spoj najjednostavniji je spoj koji obuhvaća sve vrste pasivnih elemenata izmjeničnih 

krugova, a prikazan je na Slici 3.5.1.: 

I 

R 

UR 

C 

UC 

U 

Slika 3.5.1. - Shema serijskoga spoja aktivnog, induktivnog i kapacitivnog otpora 

Naponi na pojedinim elementima kruga su: 

U 

U 

U 

R 

L 

C 

= IR 

= IX 

= IX 

L 

C 

Analizirat ćemo tri različita slučaja determinirana međuodnosima reaktivnih otpora. Naime, krug 

može biti induktivnog, čisto aktivnog ili kapacitivnog karaktera i to kada je: 

X 

X 

X 

L 

L 

L 

> X 

= X 

< X 

C 

C 

C 

respektivno. Posebno je važan drugi slučaj (XL =XC) kada se reaktivne komponente poništavaju. 

Tada u krugu nastaje serijska ili naponska rezonancija. Zbog važnosti za tehničku praksu ovakvo 

stanje kruga posebno se i odvojeno analizira. 

Temeljem ranije provedene analize mogu se nacrtati pripadni vektorski dijagrami za preostale dvije 

kombinacije. Na Slici 3.5.2.a) prikazan je slučaj prevladavajuće kapacitivne komponente kada je 

napon UL

145 

φ 

U 

UR 

UL 

UC 

a) 

UL - UC 

UL 

I 

φ 

U 

UR 

UL 

UC 

Slika 3.5.2. - Vektorski dijagrami serijskog R-L-C spoja za: 

a) ULUC 

Ukupni napon narinut na krug određuje se iz: 

2 

R 

( ) 2 

U U 

U = U + − 

L 

C 

b) 

UC 

UL - UC 

Na već poznati način određujemo trokut otpora i snaga koji su na primjeru XL

146 

U krugu teče struja: 

I 

= 

R 

2 

+ 

U 

( ) 2 

X − X 

Pripadne snage su: 

P = UI cosϕ 

Q = Q 

L 

S = UI = 

− Q 

C 

P 

2 

L 

+ Q 

2 

C 

= UI sinϕ 

U krugu sa zastupljenim svim pasivnim elementima može se dogoditi da iznosi napona na 

reaktivnim elementima UL i UC budu i znatno veći od ukupnog napona U, što je vidljivo i iz 

konstrukcije vektorskog dijagrama.

147 

VJEŽBA M: SERIJSKI SPOJ AKTIVNOG, INDUKTIVNOG I KAPACITIV. OTPORA 

Zadatak: 

Na serijskom spoju aktivnog otpora, svitka i kondenzatora izmjerite napon svitka UL, napon 

kondenzatora UC, aktivni napon UR i odredite je li ukupni napon prethodi ili zaostaje u odnosu na 

aktivni napon. Pomoću osciloskopa izmjerite fazni pomak ϕ. 


Spojite serijski krug s aktivnim otporom R=1KΩ, svitkom L=200mH i kondenzatorom sa 

C=0,22µF prema Slici M.1.: 

U=3V 

f=1KHz 

L 

C 

R 

200mΗ 

0,22µ F 

1KΩ 

Slika M.1. – Krug za mjerenje parametara serijskog R-L-C kruga 

Parametre sinusoidnog izvora podesite pomoću multimetra: 

♦ U=3V 

♦ f=1KHz 


Napon na svitku UL (ispitne točke A-B): 

UL= 

Napon na kondenzatoru UC (ispitne točke B-C): 

UC= 

Aktivni napon UR (ispitne točke C-D): 

UR= 

Osciloskopom odredite fazni pomak ϕ, tako da je: 

Kanal 1 (Y1) - ispitna točka C 

Kanal 2 (Y2) - ispitna točka A 

A 

B 

C 

D

148 

Zemlja - ispitna točka D 



Kanal Y1: 2V/podjeli (prikaz aktivnog napona UR) 

Kanal Y2: 2V/podjeli (prikaz ukupnog napona U) 


Napone sa zaslona osciloskopa prenesite u rešetku prema Slici M.2.: 

- 0 (Y1) 

- 0 (Y2) 

Slika M.2. – Određivanje faznog pomaka između ukupnog napona i napona na aktivnom otporu 

Iz dijagrama očitajte fazni pomak između ukupnog napona i napona na aktivnom otporu. 

Period: 

T=.........ms ; ⇔ 360 0 


t=..........ms 

Fazni pomak: 

ϕ = 

⋅ t 

= 

T 

360 0 

Komentar:

149 

3.6. PARALELNI SPOJ AKTIVNOG INDUKTIVNOG I KAPACITIVNOG OTPORA 

Paralelni krug svitka i kondenzatora s gubicima u izdvojenoj grani prikazan je na Slici 3.6.1.: 

I 

Djelomične struje u paralelnim granama su: 

I 

I 

I 

R 

L 

C 

= UG 

= UB 

L 

= UB 

C 

U 

U krugu su moguća tri moda rada: 

B 

B 

B 

L 

L 

L 

> B 

C 

= B 

< B 

C 

C 

C 

IC 

L 

IL 

IR 

Slika 3.6.1. - Paralelni R-L-C krug 

Jednakost kapacitivne i induktivne susceptancije karakterizira pojavu paralelne ili strujne 

rezonancije, kada se krug ponaša kao da je priključen samo aktivni otpor. Vektorski dijagram za 

preostala dva slučaja (vektor napona je referentan) prikazan je na Slici 3.6.2. 

φ 

I 

IR 

IC 

IL 

a) 

IC - IL 

IC 

U 

φ 

R 

I 

IR 

IC 

IL 

b) 

IL 

IC - IL 

Slika 3.6.2. - Vektorski dijagram paralelnog R-L-C spoja za slučaj: a) IL>IC i b) IL

150 

Ako se pretpostavi da je induktivna vodljivost veća od kapacitivne BL>BC , struja u induktivnoj 

veća je od struje u kapacitivnoj grani (Slika 3.6.2.a) i krug je induktivnog karaktera (pozitivan fazni 

kut). Za slučaj da je BLBC prikazan na 

Slici 3.6.3.: 

φ 

G 

Y 

BC 

BL 

BC - BL 

BC 

Slika 3.6.3. - Trokut vodljivosti i snaga paralelnog R-L-C spoja za BL>BC 

Admitancija i fazni kut dani su sa: 

Y 

= 

G 

2 

+ 

B 

ϕ = arctg 

( B − B ) 

L 

L 

− B 

G 

C 

Pripadne snage su: 

P = UI cosϕ 

Q = Q 

L 

S = UI = 

− Q 

C 

P 

2 

+ Q 

2 

C 

2 

= UI sinϕ 

φ 

S 

P 

QC 

QL 

QC - QL 

U paralelnom krugu sa zastupljenim svim pasivnim elementima može se dogoditi da iznosi struja na 

reaktivnim elementima IL i IC budu i znatno veći od ukupne struje I. 

QC

151 

VJEŽBA N: PARALELNI SPOJ AKTIVNOG, INDUKTIVNOG I KAPACITIVNOG 

OTPORA 

Zadatak: 

Izmjerite ukupnu struju I, reaktivne struje kondenzatora IC i svitka IL, te aktivnu struju IR za 

paralelni spoj djelatnog otpora, svitka i kondenzatora. Iz izmjerenih vrijednosti izračunajte 

vodljivost G, kapacitivnu vodljivost BC, induktivnu vodljivost BL, admitanciju Y i fazni kut ϕ. 

Konstruirajte vektorski dijagram struja i vodljivosti. 

Izmjerite aktivnu snagu P, reaktivne snage QC i QL, prividnu snagu S, odredite fazni kut iz odnosa 

snaga, te konstruirajte odgovarajuće vektorske dijagrame snaga. 


Spojite paralelni R-L-C krug prema Slici N.1.: 

I 

U=3V 

f=1KHz 

A 

B 

C 

D 

IR 

IC 

E 

F 

IL 

R= C= 

1KΩ 0,22µF 

G 

H 

L= 

200mΗ 

Slika N.1. – Shema za mjerenja u paralelnom R-L-C krugu 

Mjereći napon i frekvenciju izvora multimetrom, postavite slijedeće vrijednosti: 

♦ U=3V 

♦ f=1KHz 

Izmjerite: 


I= 

Aktivnu struju IR (ispitne točke C-D) 

IR= 

Reaktivnu struju IL (ispitne točke G-H) 

IL= 

Reaktivnu struju IC (ispitne točke E-F) 

IC=

152 

Izračunajte: Reaktivnu vodljivost BC: 

1 

BC 

= 

X C 

= ω C = 

Aktivnu vodljivost G: 

Ukupnu vodljivost (admitanciju) Y: 

1 

G = = 

R 

Y = 

2 

G + B − B 

2 

Reaktivnu vodljivost BL: 

1 1 

BL 

= = = 

X ωL 

L 

( ) = 

C 

Fazni kut ϕ: 

I L − IC 

tanϕ 

= 

I 

= ⇒ ϕ = 


Slici N.2.: 

IR 

a) b) 

Slika N.2. – Vektorski dijagrami struja (a) i vodljivosti (b) u paralelnom R-L-C krugu 

Napomena: 

Dijagram struja: 1mA/podjeli (Na slici je naznačen referentni vektor struje IR) 

Dijagram vodljivosti: 0,333mS/podjeli (Na slici je naznačen referentni vektor vodljivosti G) 

Izračunajte: 

Aktivnu snagu P: 

P=UIR= 

Kapacitivnu reaktivnu snagu QC: 

QC=UIC= 

Induktivnu reaktivnu snagu QL: 

QL=UIL= 

R 

G 

L

153 

Ukupnu (prividnu) snagu S: 

S=UI= 

Fazni kut ϕ: 

P 

cos ϕ = = ⇒ ϕ = 

S 

Iz izmjerenih i izračunatih podataka konstruirajte vektorski dijagram snage prema Slici N.3.: 

 

Slika N.3. - Vektorski dijagram snaga u paralelnome R-L-C krugu 

Napomena: 

Dijagram snage: 3mW(mVAr,mVA)/podjeli (Na slici je naznačen referentni početni položaj za 

crtanje dijagrama) 

Komentar:

154 

4. TRANSFORMATORI 

Transformator je statički elektromagnetski uređaj koji pretvara izmjenični napon jedne vrijednosti u 

izmjenični napon druge vrijednosti uz istu frekvenciju. Sastoji se od dva svitka koji nisu povezani 

galvanskom vezom. Veza se ostvaruje isključivo preko magnetskog polja uz direktnu primjenu 

principa međuindukcije. Na Slici 4.1. prikazan je primjer transformatora s jezgrom. Transformator 

je na primarnoj strani priključen na izmjenični izvor, a na sekundarnoj opterećen trošilom. 

G 

∼ 

Primarni 

svitak 

U1 

Ulazne 

stezaljke 

I1 

Magnetska 

jezgra 

Sekundarni 

svitak 

U2 

Izlazne 

stezaljke 

Slika 4.1. - Shema transformatora priključenog na izmjeničnu mrežu 

Transformatori se primjenjuju za vjerno prenošenje oblika strujnih i naponskih impulsa male snage, 

prilagođenje struje i napona i njihovu transformaciju, promjenu impedancije, kao i za izolaciju 

električnih krugova (galvansku izolaciju). 

Idealni transformator (bez gubitaka) konzumira snagu jednaku proizvedenoj. U praktičnim 

izvedbama transformatora gubici se stvaraju u zavojima i jezgri transformatora, tako da se samo dio 

proizvedene snage prenosi na trošilo. Gubici stvoreni na omskom otporu zavoja svitka nazivaju se 

gubicima u bakru PCu, a gubici u jezgri nastali zbog vrtložnih struja i histereze feromagnetskog 

materijala su gubici u željezu PFe. Dodatni gubici mogu nastati u zračnom rasporu na poprečnom 

presjeku jezgre, koji se postavlja radi poboljšanja svojstava transformatora. 

Transformatori mogu biti realizirani sa i bez feromagnetske jezgre, što bitno determinira njihova 

svojstva. Naime, induktivitet svitka L bez jezgre ne ovisi o struji koja teče kroz svitak. Induktivitet 

je konstantan i određen je geometrijskim karakteristikama svitka. Krug s takvim svitkom je 

linearan. Međutim, za svitak s feromagnetskom jezgrom ne vrijedi linearna ovisnost između struje i 

magnetskog toka, pa ni induktivitet takvih svitaka nije konstantan, već zavisi od veličine struje. 

Električni krugovi koji sadržavaju svitke s feromagnetskom jezgrom nelinearni su što znači da 

izobličuju strujni signal. 

4.1. MEĐUINDUKTIVNA SPREGA 

Svojstva transformatora temelje se na međusobnoj indukciji dvaju svitaka postavljenih jedan do 

drugoga, tako da se prožimaju svojim tokovima. 

U analizi polazimo od transformatora bez jezgre kojeg nazivamo zračni ili linearni transformator. 

Takvi tipovi transformatora nemaju gotovo nikakvu primjenu u praksi kod niskih frekvencija, ali se 

mogu egzaktno matematički tretirati. Samom činjenicom da nema magnetske jezgre otklanjaju se i 

sve komplikacije zbog nelinearnosti krivulje magnetiziranja i zbog gubitaka izazvanih pojavama 

histereze i vrtložnih struja. Kod linearnog transformatora lakše se uočavaju opće karakteristike 

mehanizma transformacije, koje se onda, uz korekcije uvjetovane prisutnošću jezgre, mogu 

primijeniti i na transformatore s magnetskom jezgrom. Potrebno je podsjetiti se nekih ranijih 

I2 

Rt

155 

razmatranja o međuinduktivnoj sprezi. Promatrat ćemo međuodnose dvaju induktivno spregnutih 

svitaka s brojevima zavoja N1 i N2 i pripadnim induktivitetima L1 i L2. Pri tom se ulazni krug s 

prvim svitkom naziva primarnim krugom, ili kraće primar. Izlazni krug je krug sa sekundarnim 

svitkom ili kraće sekundar. Magnetski tokovi generirani u svitcima zbog protjecanja struja i1 i i2 

prikazani su na Slici 4.1.1.: 

i1 

Ψ11 

Ψ21 

Ψ12 

Ψ22 

Ψ1σ Ψ2σ 

Slika 4.1.1. - Slika magnetskih tokova zračnog transformatora 

Svaki zavoj primara protjecan strujom i1 proizvede tok Φ11, a svaki zavoj sekundara protjecan 

strujom i2 proizvede tok Φ22. Navedeni su tokovi dani sa: 

Φ = Φ + Φ 

11 

1σ 

Φ = Φ + Φ 

22 

12 

21 

2σ 

U gornjim je relacijama tok Φ12 onaj dio toka primara koji obuhvaća i zavoje sekundara. Preostali 

tok Φ1σ je rasipni tok primara. Analogno je Φ21 dio toka sekundara koji obuhvaća i zavoje primara, 

a preostali tok Φ2σ je rasipni tok sekundara. 

Ukupni magnetski tok proizveden primarnom strujom i ulančen primarnim svitkom Ψ11 je: 

Ψ 

11 

= N Φ = L i 

1 

11 

1 1 

Isto vrijedi i za ukupni tok proizveden u sekundarnom svitku Ψ22: 

Ψ 

22 

= N Φ = L i 

2 

22 

2 2 

Ukupni tok kroz sekundarni svitak Ψ12 izazvan tokom Φ12 proporcionalan je struji i1 koja ga je 

stvorila, a faktor proporcionalnosti je međuinduktivitet M12. Vrijedi, dakle: 

Ψ 

12 

= N Φ = M 

2 

12 

i 

12 1 

Isto tako ukupni tok kroz primarni svitak izazvan tokom Φ21 proporcionalan je struji i2: 

Ψ 

= N Φ = M 

21 

1 

21 

i 

21 2 

i2

156 

Tokovi Φ12 i Φ21 prolaze istim magnetskim putem, znači savladavaju isti magnetski otpor i ulančuju 

iste svitke. 

Međuinduktivitet M dvaju svitaka ovisi o njihovim dimenzijama, broju zavoja, međusobnom 

položaju i permeabilnosti magnetske sredine. Utjecaj svih navedenih parametara na induktivnu 

povezanost primarnog i sekundarnog kruga definira se faktorom sprege k: 

Φ Φ 

k = 

= 

Φ 

12 21 ⋅ k1k 

2 

11 Φ22 

Pri tom k1 pokazuje koliki je dio magnetskog toka primarnog kruga obuhvaćen sekundarnim 

krugom, a k2 koliki je dio toka sekundarnog kruga obuhvaćen primarnim krugom. Evidentno je iz 

odnosa tokova u gornjem izrazu da se k može kretati u granicama: 

0 ≤ k ≤ 

1 

Ako krugovi nisu induktivno spregnuti (Φ12=Φ21=0) koeficijent sprege je k=0. S druge strane, ako 

je tok jednog kruga u potpunosti ulančen drugim krugom (Φ12=Φ11 i Φ21=Φ22), onda je k=1. To 

približno odgovara slučaju kada su svitci neposredno jedan uz drugoga i povezani su zajedničkom 

feromagnetskom jezgrom. 

Kako je: 

M 12 = M 21 = M 

za koeficijent sprege dobije se uvrštavanjem odgovarajućih tokova: 

Mi 

N 

2 1 

k = ⋅ = 

L1i1 

L2i2 

N 

1 

1 

Mi 

N 

N 

2 

2 

M 

L L 

1 

1 

Ovako izraženim koeficijentom sprege omogućeno je njegovo mjerenje, jer je izražen mjerljivim, 

odnosno računski odredivim veličinama. 

U cilju poboljšanja magnetske sprege primarni i sekundarni krug transformatora međusobno se 

povezuju magnetskom jezgrom. Ovisno o faktoru sprege magnetski tok u jezgri je veći ili manji, pa 

se na odgovarajući način povisuju ili snize naponi inducirani u sekundarnom svitku. 

Za izbjegavanje izobličenja signala koji se transformira i izbjegavanje preuranjenog magnetskog 

zasićenja istosmjernom strujom, faktor sprege se reducira formiranjem zračnog raspora. 

Bit međuindukcije je u induciranju EMS u jednom krugu radi promjena struje u drugom krugu, koji 

je s prvim induktivno spregnut. Električna energija prenosi se iz jednog kruga u drugi iako nema 

direktne galvanske veze i to uz posredovanje magnetskog polja. U jednom se krugu električna 

energija pretvara u energiju magnetskog polja, a u drugome se vrši obrnuti proces, tj. energija 

magnetskoga polja pretvara se u električnu. Magnetsko polje je prenositelj električne energije iz 

primarnoga u sekundarni krug.

157 

VJEŽBA O: FAKTOR SPREGE 

Zadatak: 

Odredite karakteristike magnetske sprege dvaju svitaka mjerenjem primarnog i sekundarnog napona 

i to na primjerima: 

• svitka s jezgrom 

• svitka s jezgrom i zračnim rasporom 

• svitka bez jezgre 


Spojite primarni (primary coil) i sekundarni svitak (secondary coil) iz pribora vježbe (svaki s po 

900 zavoja) i povežite ih feromagnetskom jezgrom, kao što je prikazano na Slici O.1.: 

Slika Q1 - Shema sklapanja transformatora sa željeznom jezgrom 

Priključite funkcijski generator (opcija sinus) na primarni svitak prema Slici O.2.: 

U1=3V 

f=1KHz 

N1 

N2 

900 900 

Slika O.2. - Shema spoja za mjerenje faktora sprege 

Mjereći napon i frekvenciju izvora multimetrom, postavite 

slijedeće vrijednosti: 

♦ U1=3V 

♦ f=1KHz 

U2

158 

Izmjerite sekundarni napon U2 multimetrom 

i unesite vrijednost u Tablicu O.1. u rubriku svitak s 

jezgrom. 

Za mjerenje sekundarnog napona na svitku s jezgrom i zra čnim rasporom umetnite komadić 

papira između gornje i donje polovice jezgre čime se simulira zračni raspor. Izmjerite U2 

multimetrom 

i unesite vrijednost u Tablicu O.1. u rubriku svitak s jezgrom i zračnim rasporom. 

Sekundarni 

napon U2 za slučaj svitka bez jezgre izmjerite tako da svitke međusobno postavite 

prema Slici O.3. Izmjerenu vrijednost unesite u Tablicu O.1. u rubriku svitak bez jezgre. 

Faktor sprege 

Izvedba transformatora: U1[V] U2[V] 

Svitak s jezgrom 3V 

Svitak s jezgrom i zračnim rasporom 3V 

Svitak bez jezgre 3V 

Tablica O.1. - Podaci za ocjenu faktora sprege 

N1 

Slika O.3. - Spoj svitaka za slučaj transformatora bez jezgre 

Što 

uzrokuje različitost induciranih napona na sekundaru? 


N2

159 

4.2. TRANSFORMACIJA NAPONA, STRUJA I OTPORA 

Ustanovili smo kakva je i kako se određuje sprega između svitaka transformatora. U slijedećem 

koraku razmotrit ćemo na koji način transformator vrši svoju temeljnu funkciju transformacije 

električnih veličina i kako se ona iskazuje. 

Ako želimo napon U1 transformirati na neki drugi veći ili manji napon, priključit ćemo ga na 

primarni svitak sa N1 zavoja. Tok stvoren u zavoju primarnog svitka, kroz kojeg teče izmjenična 

struja, mijenja se u ritmu promjena struje, tj. po sinusoidnom zakonu: 

Φ = Φ 

11 

11m 

sinωt 

Trenutna vrijednost inducirane EMS na primaru bit će prema zakonu elektromagnetske indukcije: 

dΦ 

= ω sin ω 

dt 

11 

e1 −N 

1 = −N 

1Φ 

11 ω cosωt 

= N 

m 

1Φ 

11m 

Amplituda EMS-e je: 

E = N 

11m 

1Φ 

11m 

ω 

a njena efektivna vrijednost: 

E11 

N 

m 1Φ 

11 2πf 

m 

E1 = = 

= 4, 

44 fN1Φ 

2 2 

11m 

0 ( t + 90 ) 

Ova EMS drži ravnotežu narinutom naponu tj. U1≈E1. 

Izmjenični tok generiran u primarnom svitku djelomice je obuhvaćen i sekundarnim svitkom. Ovaj 

djelomični tok Φ12 stvara elektromotornu silu e2 suprotnog smjera u sekundarnom svitku: 

dΦ 

dt 

0 ( t 90 ) 

12 

e2 = −N 

2 = N 2Φ 

12 ω sin ω + 

m 

Analogno prijašnjem postupku odredi se njena efektivna vrijednost: 

E12m 

E2 = = 4, 

44 fN 1Φ 

2 

12m 

Omjer elektromotornih sila primarnog i sekundarnog svitka tada je: 

E 

E 

1 

2 

= 

4, 

44 

4, 

44 

fN 

1Φ 

11m 

= 

fN Φ 

2 

12m 

N Φ 

1 

N Φ 

2 

11m 

12m 

Za transformator s feromagnetskom jezgrom rasipanje toka je zanemarivo maleno, faktor sprege je 

k≈1, odnosno Φ12=Φ11. Omjer induciranih EMS poprima vrlo jednostavni oblik: 

E 1 

= 

E 

2 

N 

N 

1 

2

160 

Ovo je bitan izraz koji opisuje temeljnu karakteristiku transformatora: inducirane EMS na primarnoj 

i sekundarnoj strani proporcionalne su odgovarajućim brojevima zavoja. Dakle, ako je N1>N2 

primarni svitak je visokonaponski, a sekundarni niskonaponski, pa se transformacija vrši s višeg na 

niži napon. Obratno je u slučaju N1

161 

Z 

Z 

U 

I 

= 

1 

1 1 1 2 

2 

n n n 

U 2 2 U 2I 

1 

I 

2 

U 

= 

I 

= 

⋅ 

= 

Zaključujemo da se impedancija sa sekundara (impedancija trošila) transformira na primarnu stranu 

sa kvadratom prijenosnog omjera, tj.: 

Z = n 

1 

2 

Z 

2 

U jednadžbama kojima se definiraju ekvivalentne sheme realnih transformatora vrši se redukcija 

svih sekundarnih veličina na primarnu stranu (redukcija na primar), temeljem gore izvedenih 

odnosa. Analogno se može izvesti i redukcija primarnih veličina na sekundarnu stranu (redukcija na 

sekundar). Uz uporabu reduciranih veličina proračun se vrši kao da je broj zavoja primara i 

sekundara jednak. Tako se dobije bolja preglednost vektorskih dijagrama i omogućuje crtanje 

ekvivalentnih shema. 

Značaj transformacije napona posebno se sagledava u činjenici da prenesena snaga raste s 

kvadratom napona (P=U 2 /R), pa transformacija na više napone omogućuje i veći prijenos snage uz 

smanjene gubitke na otporu vodova (Pv=I 2 Rv). Prije nego se snaga preda trošilima napon se 

transformacijom na niže vrijednosti prilagođuje potrebama trošila.

162 

VJEŽBA P: FAKTOR TRANSFORMACIJE (PRIJENOSNI OMJER) 

Zadatak: 

Odredite odnos transformacije na primarnoj i sekundarnoj strani transformatora mjerenjem napona i 

struje za različite brojeve zavoja sekundarnog svitka. 


Spojite primarni (300 zavoja) i sekundarni svitak (100 zavoja) iz pribora vježbe i povežite ih 

feromagnetskom jezgrom, kao što je prikazano na Slici P.1.: 

Slika P.1. - Shema sklapanja transformatora s različitim brojem zavoja 

Priključite funkcijski generator (opcija sinus) na primarni svitak prema Slici P.2.: 

G 

~ 

♦ U1=3V 

♦ 

f=1KHz 

U1=3V 

f=1KHz 

N1 

300 

N2 

100 

300 

900 

Slika P.2. - Shema spoja za mjerenje omjera transformacije napona 

Mjereći napon i frekvenciju izvora multimetrom, postavite slijedeće vrijednosti: 

U2 

V

163 

Izmjerite sekundarni napon U2 za sekundarne svitke sa 100, 300 i 900 zavoja i unesite vrijednosti 

u Tablicu P.1: 

N1 

N2 U1[V] U2[V] n 

300 100 3 

300 300 3 

300 900 3 

Tablica P.1. - Mjerenje naponskih omjera 

Izračunajte prijenosni omjer iz odnosa napona u sva tri slučaja i unesite ga u tablicu: 

Za N 1=300 i N 2=100 

n 

U1 

= 

U 

2 

= 

Za N1=300 i N2=300 

U 

n = 

U 

1 

2 

= 

Za N1=300 i N2=900 

U 

n = 

U 

1 

2 

= 

Izmjerite primarne i sekundarne struje za sekundarne svitke od 100, 300 i 900 zavoja prema Slici 

P.3. i unesite vrijednosti u Tablicu P.2: 

G 

∼ 

U1= 3V 

f=1KHz 

A 

I1 

N1 

300 

I2 

N2 

100 

300 

900 

Slika P.3. - Shema spoja za mjerenje omjera transformacije struja 

A

164 

N1 N2 I1[mA] I2[mA] n 

300 100 

300 300 

300 900 

Tablica P.2. - Mjerenje strujnih omjera 

Izračunajte prijenosni omjer iz odnosa struja u sva tri slučaja i unesite ga u tablicu: 

Za N1=300 i N2=100 

I 

n = 

I 

2 

1 

= 

Za N1=300 i N2=300 

I 2 n = = 

I 1 

Za N1=300 

i N2=900 

I 2 n = = 

I 

1 

Napomena: Primarni napon U1=3V mora se održavati konstantnim. 

Zašto se javljaju male razlike u odnosu na očekivane vrijednosti? 


165 

VJEŽBA Q: TRANSFORMACIJA OTPORA 

Zadatak: 

Odredite vrijednosti ulaznih i izlaznih impedancija Z1 i Z2 na primarnoj i sekundarnoj strani 

transformatora mjerenjem napona i struje i to za različite prijenosne omjere broja zavoja n i za 

različita trošila RT. 

Usporedite dobivene omjere Z1/Z2 s kvadratom prijenosnog omjera. 


Spojite primarni (300 zavoja) i sekundarni svitak (100 zavoja) iz pribora vježbe i povežite ih 

feromagnetskom jezgrom, kao u prethodnoj vježbi. 

Priključite funkcijski generator na primarni svitak i otpor trošila RT1=10Ω na sekundarni 

svitak 

prema 

Slici Q.1. Sva mjerenja ponovite za RT2=100Ω i RT3=1000Ω. 

U1=4 V 

f=1KHz I 1 

mA 

N 1 

N 

2 

I 2 

mA 

Slika Q.1. - Shema spoja za mjerenje omjera transformacije otpora 

Mjereći napon i frekvenciju izvora, postavite slijedeće vrijednosti: 

♦ U=4V 

♦ f=1KHz 

Izmjerite struje i napone za omjere 

zavoja i otpore trošila specificirane prema Tablici Q.1: 

N1 N2 n RT[Ω] U1[V] U2[V] I1[mA] I2[mA] Z1[Ω] Z2[Ω] 

300 100 3 10 

300 300 1 100 

300 900 0,33 1000 

U2 

Tablica Q.1. - Podaci za mjerenje transformacije otpora 

Izračunajte impedancije Z1=U1/I1 i Z2=U2/I2, i unesite ih u tablicu. 

Izračunajte prijenosni omjer iz 

zavoja. 

R T 

odnosa impedancija i usporedite ga s prijenosnim omjerom

166 

Za N1=300; N2=100; RT=10Ω 

n 

2 

= 

Z 

Z 

1 

2 

⇒ 

n = 

Z 

Z 

Za 

N1=300; N2=300; RT=100Ω 

n = 

Z 

Z 

1 

2 

= 

Za N1=300; 

N2=900; RT=1000Ω 

n = 

Z 

Z 

1 

2 

= 

1 

2 

= 

Zašto 

se javljaju razlike u odnosu na očekivane vrijednosti? 

 


167 

5. TROFAZNI SUSTAVI 

Kada bi energetski sustav bio temeljen na istosmjernoj energiji izvori bi morali biti u neposrednoj 

blizini trošila, jer s povećanjem udaljenosti znatno rastu gubici na prijenosnim vodovima. 

Protjecanje istosmjerne struje prati konstantno magnetsko polje, pa nema mogućnosti 

transformacije napona. Tek u uvjetima kada bi supravodljivi vodiči bili komercijalno isplativi 

moglo bi se razmišljati i o prijenosu većih količina istosmjerne energije. Za prijenos električne 

energije s mjesta gdje se ona proizvede (električna centrala) do konzumnog područja gdje se ista 

eksploatira, uglavnom se koristi izmjenična struja. Vremenski promjenljivo magnetsko polje 

omogućuje transformaciju napona. Kako je već rečeno transformacijom na visoki napon (400KV) 

povećava se količina prenesene snage uz smanjene gubitke na vodovima. 

Do sada razmatrani izmjenični izvori predstavljali su jednofazne izvore. Oni se mogu realizirati 

rotiranjem vodljive petlje konstantnom kutnom brzinom u homogenom magnetskom polju, kao na 

Slici 5.1.: 

Slika 5.1. - Generiranje jednofaznog izmjeničnog napona 

Međutim električna se energija može proizvoditi i u višefaznim simetričnim sustavima. To su 

sustavi 

koji se sastoje od nekoliko izmjeničnih EMS jednakih frekvencija i amplituda, koje su jedna 

u odnosu na drugu fazno pomaknute za kut: 

2π 

α = 

n 

gdje je n broj faza. 

Višefazni sustav EMS može se dobiti ako se na statoru generatora razmjesti nekoliko jednakih 

izoliranih 

zavoja, koji su međusobno pomjereni za jednaki kut α. Pri okretanju rotora njegovo 

magnetsko polje presijeca zavoje statora i u njima inducira izmjeničnu EMS. Ako se u jednom 

zavoju inducira EMS: 

e1 = Em 

sinωt 

onda će se u svakom slijedećem zavoju zbog njihova geometrijskog rasporeda inducirati EMS-e 

koje su fazno pomjerene za kut α, 2α,... Primjerice u drugom po redu zavoju (obzirom na smjer 

rotacije) zakonitost promjene EMS će biti dana sa:

168 

= E sin t 

e2 m 

( ω + α ) 

Sustav je simetričan ako su svi dobiveni naponi međusobno pomaknuti za jednaki kut. Pojedini 

zavoji višefaznog sustava nazivaju se fazama. Općenito se može 

koristiti bilo koji broj faza, ali od 

praktična su značenja samo trofazni 

sustavi. 

Trofazni je sustav onaj sustav u kojem djeluju tri EMS jednake po amplitudi i frekvenciji, 

a fazno 

su pomaknute za kut: 

2 π 

α = = 

3 

0 

120 

Z a generiranja trofaznog sustava može se koristiti sličan princip koji je vrijedio i za jednofazni 

sustav kao na Slici 5.2.: 

Slika 5.2. - Generiranje trofaznih napona 

Razlika je što sada tri vodljive petlje (L1,L2,L3) rotiraju konstantnom kutnom brzinom oko iste osi u 

jednolikom magnetskom polju. Geometrijski su petlje razmaknute međusobno za 120 0 i uvijek 

zadržavaju taj razmak. Budući da se jedan puni okretaj (360 0 ) izvede u vremenu jednog perioda T, 

tri inducirana napona kasne vremenski za trećinu perioda, odnosno fazno za 120 0 jedan u odnosu na 

drugoga. Trenutne vrijednosti generiranih napona tada su: 

u 

u 

u 

1 

2 

3 

= U 

= U 

= U 

m 

m 

m 

sinωt 

sin 

sin 

0 ( ωt 

− 120 ) 

0 ( ωt 

− 240 ) = U 

0 

sin( 

ωt 

+ 120 ) 

m 

Ovi se naponi osim 

brojčano označavaju i na drugi način: A-B-C, R-S-T ili L1-L2-L3. 

Na Slici 5.3. prikazan je valni i pripadni vektorski dijagram trofaznog sustava napona za spoj 

generatora u zvijezdu:

169 

u(t) 

120 0 

u1 

120 0 

u2 

120 0 

Slika 5.3. - Valni i vektorski dijagram trofaznoga sustava napona 

Dobivanje sinusoidne EMS vrtnjom petlje konstantnom brzinom u homogenom magnetskom polju 

ne koristi se u praksi za proizvodnju izmjeničnih struja. Naime, teško je ostvariti homogeno 

magnetsko polje u dovoljno velikom prostornom području. 

Stvarni industrijski tip generatora pravi se tako da aktivni dio vodiča statora "sječe" magnetske 

silnice nejednolikog magnetskog polja pod konstantnim kutom od 90 0 . Silnice magnetskog polja 

prožimaju zračni raspor između rotora i statora i usmjerene su radijalno na površinu rotora. Gustoća 

magnetskog toka B u zračnom rasporu je sinusoidno distribuirana po periferiji rotora. Ovakva se 

distribucija postiže odgovarajućom selekcijom oblika polova. 

Prednosti trofaznih sustava nad jednofaznim su mnogostruke. Spomenimo neke od njih: 

• Omogućuju ekonomičniji prijenos energije s manjim gubicima i uštedom materijala za vodove. 

• Generiraju rotaciono magnetsko polje što je temeljni zahtjev za rad većine modernih rotacionih 

strojeva, primjerice trofaznog indukcionog motora. 

• Trenutna snaga simetričnog trofaznog trošila je konstantna bez obzira na vrstu spoja. 

• Trofazni uređaji su jednostavni, robustni i ekonomični. 

Dva su temeljna načina spajanja zavoja trofaznog generatora, ali i trofaznog trošila, motora 

primjerice. To su spoj u zvijezdu i spoj u trokut. 

5.1. SPOJ ZAVOJA TROFAZNOG GENERATORA U ZVIJEZDU 

Spoj u zvijezdu dobije se ako se krajevi svakog zavoja spoje međusobno u zajedničku točku. Spojna 

točka naziva se nultom točkom ili kraće nulom. Vodovi koji idu od početaka zavoja generatora ka 

trošilu nazivaju se linijskim, a vod izveden iz nulte točke je nulti vod. Veza generatora i trošila 

može biti trovodna (bez nulvoda) ili četverovodna (s nulvodom). Generator s nul vodom u zvijezda 

spoju s naznačenim karakterističnim naponima, prikazan je na Slici 5.1.1.: 

T 

u3 

t 

U3 

ω 

U1 

U2

170 

3 

1 

0 

UL1,N 

2 

U L2, N 

U L3, L1 

N 

U L3, 

UL1, L2 

L2, L3 

U 

Slika 5.1.1. - Spoj u zvijezdu trofaznog generatora 

Napon između jednog linijskog voda i nultog voda naziva se faznim naponom. Fazne napone 

označit ćemo, obzirom na izlazne točke svitaka generatora sa UL1,N=U1, UL2,N=U2, UL3,N=U3. Ako 

se zanemare padovi napona na samim zavojima generatora, može se smatrati da su fazni naponi 

jednaki faznim EMS: E1,E2,E3. Fazni su naponi jednaki po iznosu i fazno su pomjereni za 120 0 . 

Zbroj faznih napona jednak je nuli. Naime, spoj u zvijezdu je tzv. serijski protuspoj, u kojem su 

vektori napona tako usmjereni 

da njihova suma počinje i završava u istoj točki. 

Linijski naponi su naponi između bilo koja dva linijska voda. Na slici trofaznog 

generatora su 

značeni sa U ,U ,U , a kao i fazne napone zapisat ćemo ih u kraćem obliku kao 

o 

U12,U23,U31. 

L1,L2 L2,L3 L3,L1 

Združeni 

vektorski dijagram faznih i linijskih napona prikazan je na Slici 5.1.2.: 

U31 

U3 

1 

3 

U23 

2 

Slika 5.1.2. - Vektorski dijagram faznih i linijskih napona 

Zbroj linijskih napona je kao i zbroj faznih napona jednak nuli, jer obilaze trokut u istom smjeru. 

Sva tri linijska napona jednaka su po iznosu i svaki je pomjeren prema svom referentnom naponu za 

30 0 . Odnos efektivnih vrijednosti linijskih i faznih napona može se odrediti ako se izdvojeno 

promatra bilo koji od istokračnih trokuta koji povezuje dva fazna s odgovarajućim linijskim 

naponom. Neka je to primjerice trokut s vrhovima 0-2-3, kao na Slici 5.1.3. : 

U1 

0 

U2 

U12 

L 1 

L2 

L3 

N

171 

Uf 

120 0 

Slika 5.1.3. - Određivanje odnosa faznih i linijskih napona 

Temeljem kosinusova poučka ili dijeljenjem istokračnog na dva pravokutna trokuta dobije se: 

U 

= 

2 

L 0 

U f cos 30 

odnosno: 

U = 

L 

3U 

f 

Za spoj u zvijezdu linijski naponi su za 1,73 puta veći od faznih napona. Niskonaponske električne 

mreže obično se rade s linijskim naponima od 380V za koje su fazni naponi 220V. 

U zvijezda spoju kraj faznog zavoja neposredno je spojen s linijskim vodom koji se spaja na trošilo, 

pa je očito da je fazna struja If istovremeno i linijska struja IL, odnosno: 

I = 

I 

f 

L 

UL 

Uf

172 

VJEŽBA R: TROFAZNI GENERATOR - SPOJ U ZVIJEZDU 

Zadatak: 

Na zaslonu osciloskopa prikažite fazne napone trofaznog sustava i precrtajte ih u odgovarajući 

dijagram. Odredite fazni pomak između pojedinih napona. 

Izmjerite multimetrom fazne i linijske napone i odredite njihov međuodnos. 

Izračunajte i provjerite na osciloskopu maksimalne vrijednosti faznih i linijskih napona. 


Uključite trofazni izvor koji se nalazi u lijevom donjem dijelu vježbovne ploče. 

Napomena: Tri potrebna sinusoidna napona ne uzimaju se direktno iz mreže. Oni se generiraju 

pomoću elektroničkih sklopova koji stvaraju odgovarajući fazni pomak. Radi smanjenja rizika pri 

vršenju pokusa fazni napon od 220V je ograničen na 7V, a linijski je sveden sa 380V na 12V. 

Osciloskop spojite prema Slici R.1 tako da je: 

Faza L1 na kanalu 1 (Y1) 



Nulti vod N na masi ⊥ 

Napomena: Ako osciloskop ima samo dva kanala pokus izvršite u dva koraka tako da najprije 

izmjerite potrebne podatke za L1 i L2, a nakon toga prebacite kanal Y2 na L3. 

G 

3~ 

7/12V 

50Hz 


Vremenska baza X: 2ms/podjeli 




Centrirajte nultu liniju svih kanala. 


L1 

L2 

L3 

N 

Kanal 1 (Y1) 

Kanal 2 (Y2) 

Kanal 3 (Y3) 

masa 

Osciloskop 

Slika R.1. - Shema spoja za mjerenje trofaznih napona 

Prikažite fazne napone UL1,N, 

UL2,N i UL3,N na zaslonu osciloskopa i precrtajte ih u dijagram na 

Slici R.2:

173 

Napo N apon n U U[V] 

[V] 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

-2 

-4 

-6 

-8 

-10 

VALNI DIJAGRAMI FAZN IH NAPONA TROFAZNOG SUSTAVA 

-12 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 

Iz dijagrama očitajte: 

Period: 

T=.........ms ; ⇔ 360 0 

Vremenski pomak između pojedinih napona: 

t=..........ms 

Fazni pomak između pojedinih napona: 

ϕ = 

⋅ 

t 

= 

T 

360 0 

Multimetrom izmjerite: 

Fazne napone Uf: 

UL1,N=..........V 


Slika R.2. - Fazni naponi trofaznog sustava 

Linijske napone UL: 

UL1,L2=..........V

174 

UL2,N=..........V UL2,L3=..........V 

UL3,N=..........V UL3,L1=..........V 

Izračunajte: 

Omjer linijskog i faznog napona: 

U 

U 

L 

f 

= 

Frekvenciju f: 

1 

f = = .......... Hz 

T 

Maksimalnu vrijednost faznog napona Ufm: 

U fm = 2U 

f 

= .......... V 

Maksimalnu vrijednost 

linijskogog napona ULm: 

U Lm = 2U 

L 

Komentar: 

= .......... V

175 

5.2. SPOJ ZAVOJA TROFAZNOG GENERATORA U TROKUT 

Ako se kraj prvog spoji na početak drugog zavoja, kraj drugog na početak trećeg, a kraj trećeg na 

početak prvog zavoja, dobije se spoj u trokut trofaznog generatora, kao na Slici 5.2.1: 

If2 

1 

2 3 

If3 

If1 

IL1 

IL2 

I 

L3 

Slika 5.2.1. - Spoj u trokut zavoja trofaznog generatora 

Naponi na zavojima (fazama) generatora su fazni naponi: U12=UL1,L2, U31=UL3,L1, U23=UL2,L3. 

Zavoji generatora formiraju zatvoreni serijski krug. U uvjetima praznog hoda generatora (bez 

priključenog trošila) izgledalo bi da su zavoji kratko 

spojeni. Međutim stvarnoga kratkog spoja 

nema, jer 

je zbroj EMS koje djeluju u ovom zatvorenom krugu u svakom trenutku jednak nuli. Kada 

bi se omaškom zamijenili krajevi jednog zavoja (reverzija faznog napona za 180 

znog napona i generator bi se našao u 

ratkom spoju. 

inijski vodovi kod spoja u trokut vode od spojnih točaka k trošilu. Vidljivo je na gornjoj slici da je 

napon između linijskih vodova jednak naponu svake pojedine faze, pa za spoj u trokut vrijedi: 

0 ), rezultirajući 

napon unutar trokuta bio bi jednak dvostrukoj veličini fa 

k 

L 

U = 

U 

L 

f 

Fazne struje u zavojima generatora If1,If2,If3 su, kao i naponi na zavojima, jednake po iznosu i fazno 

razmaknute za 120 0 . Linijske struje IL1,IL2,IL3 vode od čvorova 1,2,3 prema trošilu. Odnos faznih i 

linijskih struja dan je jednadžbama triju čvorova, a može se razlučiti iz vektorskog dijagrama prema 

Slici 5.2.2.: 

UL3, L1 

UL1, L2 

,L3 

UL2 

L1 

L2 

L3

176 

3 

IL2 

If3 

1 

If1 

IL3 

Slika 5.2.2. - Vektorski dijagram struja za spoj u trokut 

Analogno razmatranju odnosa napona u zvijezda spoju, za spoj u trokut odnos struja je: 

I = 

L 

3I 

f 

U spoju u trokut linijske su struje za 1,73 puta veće od faznih struja. 

Usporede li se spoj u zvijezdu i spoj u trokut može se zaključiti slijedeće: 

U zvijezda spoju povećava se napon između linijskih vodova za 1,73 puta u odnosu na 

napon pojedine faze, ali su zato, pri jednakom opterećenju, manje linijske struje. Prednost ovog 

spoja je postojanje zajedničke nultočke. Ako je i trošilo spojeno u zvijezdu mogu se povezati 

nultočke generatora i trošila zajedničkim nulvodom. Time izbjegavamo poteškoće koje mogu 

nastati radi nesimetrije sustava. Uz zanemariv pad napona na nulvodu sustav napona na trošilu 

ostaje simetričan bez obzira na nesimetriju trošila. 

U trokut spoju nema mogućnosti izvođenja nulvoda, što može izazvati znatne neugodnosti 

pri neravnomjernom opterećenju faza. Zato su u razvodima niskonaponskih mreža sekundarni 

zavoji mrežnih transformatora u pravilu vezani u zvijezdu. 

If2 

IL1 

2

177 

5.3. TROŠILO U ZVIJEZDA SPOJU 

Nesimetrično trošilo 

Trošila se također mogu spajati u zvijezdu ili u trokut. Na Slici 5.3.1. prikazano je trofazno trošilo 

spojeno u zvijezdu i priključeno 

na simetrični trofazni generator u zvijezda spoju. Međusobna veza 

izvedena je četverožičnim vodom zanemariva otpora. 

3 

U 3 

1 

U 1 

L 1 

0 

N 

0’ 

U2 

2 

L 2 

L3 

IL1 

Slika 5.3.1. - Sustav trofaznog generatora i trošila u zvijezda spoju 

I N 

IL2 

IL3 

Impedancije u pojedinim fazama trošila su u općem slučaju različite, pa se takvo trofazno trošilo 

naziva nesimetrično trošilo, odnosno na generator je priključeno nesimetrično opterećenje. Budući 

da 

su zvjezdišta (nul točke) generatora 0 i trošila 0' međusobno spojene vodom zanemariva otpora, 

nalaze se na jednakom potencijalu. Zato u svakoj fazi trošila djeluje odgovarajući napon faze 

generatora, tj. sustav napona na trošilu je simetrični trofazni sustav napona generatora (U1,U2,U3). 

Sva fazna trošila rade na naponu za kojeg su predviđena (nazivni, nominalni). To je ujedno 

najvažniji razlog postojanja nul voda. 

Kroz 

faze trošila teku fazne struje (I f=I L) I L1,I L2,I L3, za koje ćemo 

kao i za napone uzeti 

jednostavnije indekse 1,2,3. Iako su naponi na svim fazama trošila jednaki: 

= U 

= U 

= U 

U1 2 3 f 

iznosi tih struja su različiti zbog nesimetrije trošila: 

U 

U 

1 

2 

I 1 = I 2 = I 3 = 

Z1 

Z 2 

U 

Z 

3 

3 

a različiti su i fazni kutovi između napona i struja. Također i fazni pomaci između struja ne 

zadržavaju međusobni odnos od 120 0 kao što je to slučaj s faznim naponima. Struja u nul vodu IN 

(I0 ) je jednaka vektorskom zbroju faznih struja (I0≠0). 

Ukupna djelatna snaga nesimetričnog trošila jednaka je sumi djelatnih snaga u svakoj fazi trošila: 

P = P + P + P 

uk 

1 

2 

3 

Isto vrijedi i za jalovu (Q), odnosno prividnu (S) snagu: 

Q = 

Q + Q + Q 

uk 

1 

2 

3 

Z3 

Z1 

Z 2

178 

S = S + S + S 

uk 

1 

Simetrično trošilo 

2 

3 

Razmatrajmo sada poseban slučaj kada su impedancije u svim fazama jednake po iznosu i po fazi: 

Z = Z = Z = Z 

1 

2 

3 

f 

Takvo trofazno trošilo je simetrično trošilo. Budući da su sve faze ravnomjerno opterećene, fazne 

će struje imati jednake vrijednosti i u odnosu na pripadne fazne napone bit će pomjerene za isti kut 

ϕ određen karakterom impedancije: 

I 

1 

1 

= I 

2 

2 

= I 

3 

U f 

= 

Z 

ϕ = ϕ = ϕ = ϕ = 

3 

R 

arccos 

Z 

Zbog simetrije trošila međusobni fazni pomak struja je 120 0 . Već je na primjeru napona pokazano 

da je vektorski zbroj triju vektora jednakih iznosa i fazno pomaknutih za 120 0 jednak nuli, pa to u 

ovom slučaju vrijedi i za zbroj faznih struja. Može se zaključiti da je pri ravnomjernom opterećenju 

faza, struja u nultom vodu, koja je jednaka sumi faznih struja, također jednaka nuli: 

I0=0 

Dakle, kod simetričnog trošila, kao što je primjerice trofazni motor, nama ni potrebe za spajanjem 

nul voda, jer struja ne teče kroz nul vod. Međutim, na mrežu je uvijek uključeno više različitih 

trošila, pa je globalno gledano sustav uvijek nesimetričan. 

Djelatna snaga simetričnog trošila je zbroj triju jednakih faznih snaga: 

P = = P = P 

1 

P2 3 

pa je ukupna djelatna snaga: 

U L 

Puk = 

3P 

= 3U 

f I f cosϕ 

= 3 I L cosϕ 

= 3U 

LI 

L cosϕ 

3 

Jalova i prividna snaga dane su sa: 

Quk = 3Q 

= 3U 

f I f sinϕ 

= 3U 

LI 

L sinϕ 

S = 3S 

= 3U 

I = 

uk 

f 

f 

3U 

L 

I 

L 

Ukupna trenutna snaga je suma trenutnih faznih snaga. Može se pokazati da članovi s dvostrukom 

frekvencijom iščezavaju, tj. da je trenutna vrijednost snage simetričnog trošila konstantna i jednaka 

gornjem izrazu. Ako je trofazno trošilo primjerice indukcioni motor, onda će njegova snaga, pa tako 

i zakretni moment na osovini biti konstantni. To je bitna prednost trofaznih sustava. Jednofazni 

motor dobiva snagu u impulsima dvostruke frekvencije što može stvoriti mehaničke vibracije 

motora. Isto se može zaključiti i za generatore.

179 

Poremećeni trofazni zvijezda spojevi 

U trofaznom sustavu mogu se dogoditi slučajni poremećaji ili kvarovi koji uzrokuju promjenu 

prijema snage na trošilu P u odnosu na izvornu (početnu) snagu Po. Pokazat ćemo to na nekoliko 

primjera neregularnih uvjeta rada simetričnog trofaznog trošila s aktivnim otporima R (cosϕ=0). 

Ukupna djelatna snaga u normalnim uvjetima je: 

P 

0 

= 

3U 

f 

I 

f 

= 3 

2 

U f 2 

= 3I 

f 

Primjeri poremećenih spojeva: 

R 

R 

Ispad (prekid) jednoga vanjskog vodiča ili jedne faze trošila: 

Snaga se predaje u dvije faze, koje su ostale u nepromijenjenim uvjetima napona i struja: 

P = 2U 

I = 

f 

f 

2 

3 

P 

0 

Ispad jednog jednoga vanjskog vodiča ili jedne faze i nul vodiča: 

Impedancije u preostale dvije faze su u serijskom spoju i priključene su na linijski napon, pa je: 

U 3U 

P = = 

2R 

2R 

2 

2 2 

L f 1 

= P0 

Ispad dvaju vanjskih vodiča ili dvije faze: 

Snaga se predaje jedinoj preostaloj fazi, koja je ostala u nepromijenjenim uvjetima napona i struja: 

P = U I = 

f 

f 

1 

3 

P 

0 

Ispad dvaju vanjskih vodiča ili dvije faze i nul vodiča: 

Struja ne teče kroz faze trošila i ne predaje se snaga: 

P=0 

Iz gornjih se primjera vidi da trošila u fazama koje ostaju uključene rade u normalnim uvjetima. 

Kod poremećenih uvjeta na simetričnom trošilu mijenja se predana snaga, ali trošila ostaju u 

nominalnim 

uvjetima. Problemi mogu nastati kod nesimetričnog opterećenja i prekida nul voda. 

Suma faznih struja mora biti jednaka nuli, jer nema nul voda. Stoga 

se zbog različitih struja i 

različitih 

impedancija po fazama 

moraju mijenjati i fazni naponi koji više nisu jednaki faznim 

naponim a gen eratora. Primjerice, ako nastupi kratki sp oj u jednoj fazi, preostale dvije 

faze su 

priključene na linijski napon, tj. trošilo 

radi na 173% svog nominalnog napona. U slučaju 

prekida 

jedne fa ze na ostale dvije faze rasporedi 

se po polovica linijskog napona, pa trošilo radi na 86% 

nominalnog napona. Očigledno bi u ovakvim slučajevima došlo do kvarova ili uništavanja 

sklopova 

i uređaja, jer su poremećeni odnosi napona, 

što evidentno ukazuje na neophodnost postojanja 

nul 

voda. Stoga se uglavnom sve razvodne trofazne mreže 

izvode s nul vodom.

180 

VJEŽBA S: TROFAZNO TROŠILO - SPOJ 

U ZVIJEZDU 

Zadatak: 

Na trofazni izmjenični sustav priključite trofazno trošilo s aktivnim otporima u zvijezda spoju. 

Izmjeri te linijske (fazne) struje IL i struju nul-voda IN, linijske UL i fazne napone Uf, 

fazne djelatne 

snage Pf i ukupnu djelatnu snagu P. Mjerenja izvršite s priključenim simetričnim odnosno 

nesimetričnim trošilom. 


Uključite trofazni izvor koji se nalazi u lijevom donjem dijelu vježbovne ploče. Spojite 

simetrično trofazno trošilo s aktivnim otporima R1=R2= R3=1KΩ prema Slici S.1.: 

1 

L2 

L3 

Slika S.1. - Mjerni krug sa zvijezda spojem aktivnoga trofaznog trošila 

Izmjerite napone i struje prema Tablici S.1. i izračunajte pripadne fazne snage i ukupnu djelatnu 

snagu. Dobivene vrijednosti unesite u tablicu. 

Ponovite sva mjerenja i proračune za slučaj nesimetričnog trošila sa R1=1KΩ, R2=680Ω, 

R3=330Ω. 

Proračun fazne i ukupne snage (fazne snage označene su sa PR1, PR2 i PR3): 

Simetrično trošilo: 

G 

3∼ 

7/12V 

50 Hz 

L 

PR1= UL1,N ⋅IL1 =.................=...........W 

PR2= UL2,N ⋅IL2 =.................=...........W 

PR3= UL3,N ⋅IL3 =.................=...........W 

Puk= PR1 +PR2 +PR3=3Pf=...........W 

N 

IL3 

R3 

IL1 

R1 

IN 

R2 

Neimetrično trošilo: 

IL2 

PR1= UL1,N ⋅IL1 =.................=...........W 

PR2= UL2,N ⋅IL2 =.................=...........W 

PR3= UL3,N ⋅IL3 =.................=...........W 

Puk= PR1 +PR2 +PR3=...........W

181 

Zvijezda spoj Simetrično trošilo Nesimetrično trošilo 

Linijske (fazne) struje IL 

IL1 

IL2 

IL3 

Struja nul-voda IN 

Linijski naponi UL 

Komentar: 

Fazni naponi Uf 

Fazne snage Pf 

UL1,L2 

UL2,L3 

UL3,L1 

UL1,N 

UL2,N 

UL3,N 

PR1 

PR2 

PR3 

Ukupna snaga Puk 

Tablica S.1. - Mjerni podaci za simetrično i nesimetrično trošilo

182 

VJEŽBA T: TROFAZNO TROŠILO - POREMEĆENI (DEFEKTNI) SPOJ U ZVIJEZDU 

Zadatak: 

Na trofazni izmjenični sustav priključite simetrično trofazno trošilo s aktivnim otporima u zvijezda 

spoju. Izmjerite linijske (fazne) struje, linijske i fazne napone, fazne djelatne snage i ukupnu 

djelatnu snagu. Mjerenja izvršite za nekoliko primjera defektnog trofaznog spoja. 


Uključite trofazni generator. Spojite simetrično trofazno trošilo s aktivnim otporima 

R1=R2=R3=1KΩ prema Slici T.1.: 

G 

3~ 

7/12V 

50Hz 

L1 

L2 

L3 

N 

IL1 

IL2 

IL3 

IN 

Slika T.1. - Mjerni krug s zvijezda spojem aktivnog trofaznog trošila 

Napomena: Očekivani rezultati mjerenja za rad u normalnim uvjetima uneseni su u Tablicu T.1. (to 

su vrijednosti iz prethodne vježbe) 

Realizirajte odgovarajući prekid faznog i/ili nul-voda prema Slikama T.2., T.3., T.4. i Tablici T.1. 

čime se simuliraju slučajni poremećaji trofaznog spoja. Izmjerite napone i struje i izračunajte 

pripadne fazne snage i ukupnu djelatnu snagu. Dobivene vrijednosti unesite u tablicu. 

Fazne i linijske napone mjerite na točkama A,B,C,D. 

C 

R3 

A 

R1 

D 

R2 

B

183 

G 

3~ 

7/12V 

50Hz 

G 

3~ 

7/12V 

50Hz 

G 

3~ 

7/12V 

50Hz 

L1 

L2 

L3 

N 

IL1 

IL2 

IL3 

IN 

C 

R3 

A 

R1 

Slika T.2. - Mjerni krug s prekidom faze L1 

L1 

L2 

L3 

N 

IL1 

IL2 

IL3 

IN 

C 

R3 

A 

R1 

D 

D 

R2 

R2 

Slika T.3. 

- Mjerni krug s prekidom faza L1 i L2 

L1 

L2 

L3 

N 

IL1 

IL2 

IL3 

IN 

Slika T.4. - Mjerni krug s prekidom faze L1 i nul-voda N 

C 

R3 

A 

R1 

D 

R2 

B 

B 

B

184 

Zvijezda spoj 

Linijske (fazne) struje IL [mA] 

IL1 7,0 

IL2 7,0 

IL3 7,0 

Struja nul-voda [mA] IN 0 

Linijski naponi UL [V] 

Fazni naponi Uf [V] 

Fazne snage Pf [mW] 

UL1,L2 12,1 

UL2,L3 12,1 

UL3,L1 12,1 

UL1,N 7,0 

UL2,N 7,0 

UL3,N 7,0 

PR1 49 

PR2 49 

PR3 49 

Ukupna snaga [mW] Puk 147 

Prekid vodiča 

Bez L1 L1/L2 L1/N 

Tablica T.1. - Mjerni podaci za defektni spoj u zvijezdu 

Proračun 

fazne i ukupne snage (fazne snage označene su sa PR1, PR2 i PR3): 

Prekid faze L1: 

PR1= UL1,N ⋅IL1 =.................=...........W 

PR2= UL2,N ⋅IL2 =.................=...........W 

PR3= UL3,N ⋅IL3 =.................=...........W 

Puk= PR1 +PR2 +PR3=3Pf=...........W 

Prekid faze L1 i L2: 

PR1= UL1,N ⋅IL1 =.................=...........W 

PR2= UL2,N ⋅IL2 =.................=...........W 

PR3= UL3,N ⋅IL3 =.................=...........W 

Puk= PR1 +PR2 +PR3=3Pf=...........W

185 

Prekid faze L1 i N: 

PR1= UL1,N ⋅IL1 =.................=...........W 

PR2= UL2,N ⋅IL2 =.................=...........W 

PR3= UL3,N ⋅IL3 =.................=...........W 

Puk= PR1 +PR2 +PR3=3Pf=...........W 

Komentar:

186 

5.4. TROŠILO U TROKUT SPOJU 

Nesimetrično 

trošilo 

Na Slici 5.4.1. prikazano je trofazno trošilo spojeno u trokut i priključeno na simetrični trofazni 

generator u zvijezda spoju. 

L1 

N 

L2 

L3 

IL1 

IL2 

IL3 

IZ3 

Generator Trošilo 

Slika 5.4.1. - Sustav trofaznog generatora i trošila u trokut spoju 

U takvom sustavu svaka faza trošila spojena je na odgovarajući linijski napon generatora 

(U12,U23,U31) 

koji je istovremeno i fazni napon trošila u trokut spoju (UL=Uf). Kroz faze trošila teku 

fazne struje IZ1,IZ2,IZ3 dane sa: 

U 

U 

12 

23 

I Z1 = I Z 2 = I Z 3 = 

Z1 

Z 2 

U 

Z 

31 

3 

Linijske struje IL1,IL2,IL3 dobiju se iz jednadžbi čvorova 1,2 i 3. Te su struje za nesimetrično trošilo 

različite po iznosu i/ili fazi, a njihova vektorska suma mora biti jednaka nuli. 

Ukupna djelatna snaga nesimetričnog trošila 

jednaka je sumi djelatnih snaga u svakoj fazi (Pf=UfIf) 

trošila: 

P = P + P + P 

uk 

1 

Isto vrijedi i za jalovu (Q), odnosno prividnu (S) snagu: 

Q = Q + Q + Q 

uk 

1 

S = S + S + S 

uk 

1 

Simetrično trošilo 

2 

2 

2 

3 

3 

3 

Razmatrajmo sada slučaj simetričnog u trokut spojenog trošila kada su impedancije u svim 

fazama 

jednake po iznosu i po fazi: 

3 

Z3 

Z2 

1 

IZ1 

Z1 

IZ2 

2

187 

Z1 = Z 2 = Z 3 = Z 

ϕ ϕ = ϕ = ϕ 

1 = 2 3 

Budući da su sve faze ravnomjerno opterećene, fazne će struje imati jednake vrijednosti i u odnosu 

na pripadne linijske napone bit će pomjerene za isti kut ϕ određen karakterom impedancije: 

U 

I Z 1 = I Z 2 = I Z 3 = 

Z 

R 

ϕ = arccos 

Z 

L 

f 

Zbog simetrije trošila međusobni fazni pomak struja je 120 0 , a suma im je jednaka nuli. Linijske 

struje tvore također simetričan 

sustav struja. Odnos faznih i linijskih struja pokazan je na primjeru 

generatora u trokut spoju: 

I = 

L 

3I 

f 

Linijske struje pomjerene su u fazi za 30 0 u odnosu na odgovarajuće fazne struje. 

Ukupna djelatna snaga simetričnog trošila u trokut spoju je zbroj triju jednakih faznih snaga: 

I L 

Puk = 3P 

= 3U 

f I f cosϕ 

= 3U 

L cosϕ 

= 3U 

LI 

L cosϕ 

3 

Vidi 

se da je ukupna snaga bez obzira na vrstu spoja (trokut ili zvijezda) dana istom relacijom. 

Analogno vrijedi i za jalovu i prividnu snagu: 

Quk = 3Q 

= 3U 

f I f sinϕ 

= 3U 

LI 

L sinϕ 

S = 3S 

= 3U 

I = 

uk 

f 

f 

3U 

Poremećeni trofazni trokut spojevi 

L 

I 

L 

Ako nastupe slučajni poremećaji u sustavu trošila uzrokovat će promjenu prijema snage na trošilu P 

u odnosu na izvornu (početnu) snagu Po. Pokazat ćemo to nekim primjerima neregularnih uvjeta 

rada simetričnoga trofaznog trošila s aktivnim otporima R (cosϕ=0). Ukupna djelatna snaga u 

normalnim uvjetima je: 

P 

0 

= 

3U 

f 

I 

f 

2 

U f 

= 3 = 

R 

3I 

2 

f 

Primjeri poremećenih spojeva: 

R 

Ispad (prekid) jedne faze trošila: 

Snaga se predaje u dvije faze, koje su ostale u nepromijenjenim uvjetima napona i struja:

188 

P = 2U 

I = 

f 

f 

2 

3 

P 

0 

Ispad jednog jednoga vanjskog (linijskog) vodiča: 

Stanje jedne faze se ne mijenja, a u preostale dvije faze otpori su u serijskom spoju i priključeni su 

na linijski, odnosno fazni napon, pa je: 

2 2 2 

U f U f 3U 

f 

P = + = = 

R 2R 

2R 

1 

2 

P 

0 

Ispad dvije faze: 

Snaga 

se predaje jedinoj p reostaloj fazi, koja je ostala u nepromijenjenim uvjetima napona i struja: 

P = U I = 

f 

f 

1 

3 

P 

0 

Ispad jednoga vanjskog (linijskog) vodiča i nasuprotne faze: 

Otpori u dvije preostale faze spojeni su serijski i na njima je fazni napon, pa je snaga: 

2 

U f 

P = = 

2R 

1 

6 

P 

0 

Ispad jednoga vanjskog (linijskog) vodiča i susjedne faze: 

U ovakvim uvjetima iz sustava ispada i druga faza vezana na čvor prekinutog linijskog vodiča, pa 

se snaga predaje jedinoj preostaloj fazi, koja je ostala u nepromijenjenim uvjetima napona i struja: 

P = 

U I = 

f 

f 

1 

3 

P 

0

189 

VJEŽBA U: TROFAZNO TROŠILO - SPOJ 

U TROKUT 

Zadatak: 

Na trofazni izmjenični sustav priključite trofazno trošilo s aktivnim otporima u trokut spoju. 

Izmjerite linijske i fazne struje, linijske (fazne) napone, fazne djelatne snage i ukupnu djelatnu 

snagu. Mjerenja izvršite s priključenim simetričnim odnosno nesimetričnim trošilom. 


Uključite trofazni generator. Spojite simetrično 

trofazno trošilo u trokut spoju s aktivnim 

otporima R1=R2=R3=1KΩ prema 

Slici U.1.: 

G 

3~ 

7/ 12V 

50Hz 

L1 

L2 

L3 

N 

IL3 IL1 IL2 

Slika U.1. - Mjerni krug s trokut spojem aktivnoga trofaznog trošila 

Izmjerite napone i struje prema Tablici U.1. i izračunajte pripadne fazne i ukupnu djelatnu snagu. 

Dobivene vrijednosti unesite u tablicu. 

Ponovite sva mjerenja i proračune za slučaj nesimetričnog trošila sa R1=1KΩ, R2=680Ω, 

R3=330Ω. 

Proračun fazne i ukupne snage (fazne snage označene su sa PR1, PR2 i PR3): 

Simetrično trošilo: 

PR1= UL1,L2 ⋅IR1 =.................=...........W 

PR2= UL2,L3 ⋅IR2 =.................=...........W 

3= 

PR UL3,L1 ⋅IR3 =.................=...........W 

Puk= PR1 +PR2 +PR3=3Pf=...........W 

R3 

IR3 

R2 

IR1 

IR2 

R1 

Neimetrično trošilo: 

PR1= UL1,L2 ⋅IR1 =.................=...........W 

PR2= UL2,L3 ⋅IR2 =.................=...........W 

PR3= UL3,L1 ⋅IR3 =.................=...........W 

Puk= PR1 +PR2 +PR3=3Pf=...........W

190 

Trokut spoj Simetrično trošilo Nesimetrično trošilo 

Linijske struje IL 

Fazne struje If 

Linijski (fazni) naponi UL 

Komentar: 


IL1 

IL2 

IL3 

IR1 

IR2 

IR3 

UL1,L2 

UL2,L3 

UL3,L1 

PR1 

PR2 

PR3 

Ukupna snaga Puk 

Tablica U.1. - Mjerni podaci za simetrično i nesimetrično trošilo

191 

VJEŽBA V: TROFAZNO TROŠILO - POREMEĆENI (DEFEKTNI) SPOJ U TROKUT 

Zadatak: 

Na trofazni izmjenični sustav priključite simetrično 

trofazno trošilo s aktivnim otporima u trokut 

spoju. Izmjerite linijske i fazne struje, linijske (fazne) napone, fazne djelatne snage i ukupnu 

djelatnu snagu. Mjerenja izvršite za nekoliko primjera defektnoga trofaznog spoja. 


Uključite trofazni generator. Spojite simetrično trofazno trošilo s aktivnim otporima 

R1=R2=R3=1KΩ prema Slici V.1.: 

G 

3~ 

7/12V 

50 Hz 

L1 

L2 

L3 

N 

C 

Slika V.1. - Mjerni krug s trokut spojem aktivnoga trofaznog trošila 

Napomena: Očekivani rezultati mjerenja za rad u normalnim uvjetima uneseni su u Tablicu V.1. (to 

su vrijednosti iz prethodne vježbe) 

Realizirajte odgovarajući prekid faznog i/ili linijskog (vanjskog) voda prema Slikama V.2., V.3., 

V.4., V.5., V.6. i Tablici V.1. čime se simuliraju slučajni poremećaji trofaznog spoja. Izmjerite 

napone i struje i izračunajte pripadne fazne snage i ukupnu djelatnu snagu. Dobivene vrijednosti 

unesite u tablicu. 

Fazne i linijske napone mjerite na točkama A,B,C. 

R3 

IR3 

A 

R2 

IR1 

R1 

IR2 

B

192 

Linijske struje IL 

Fazne struje If 

Trokut spoj 

Linijski (fazni) naponi UL 


IL1 21,3 

IL2 21,3 

IL3 21,3 

IR1 12,3 

IR2 12,3 

IR3 12,3 

UL1,L2 12,1 

UL2,L3 12,1 

UL3,L1 12,1 

PR1 148,8 

PR2 148,8 

PR3 148,8 

Ukupna snaga Puk 446,4 

Prekid faznog i/ili linijskog vodiča 

Bez R2 L1 R1/R3 L2/R2 L1/R2 

Tablica V.1. - Mjerni podaci za defektni spoj u zvijezdu 

G 

3~ 

7/12V 

50 Hz 

L1 

L2 

L3 

N 

C 

Slika V.2. - Mjerenje u krugu pri prekidu faze s otporom R2 

R3 

IR3 

A 

IR1 

R1 

B

193 

G 

3~ 

7/12V 

50 Hz 

L1 

L2 

L3 

N 

C 

Slika V.3. - Mjerenje u krugu s prekidom linijskog voda L1 

G 

3~ 

7/12V 

50 Hz 

N 

3 

Slika V.4. - Mjerenje u krugu s prekidom faza s otporima R1 i R3 

G 

3~ 

7/12V 

50 Hz 

L1 

L2 

L 

L1 

L 

2 

L3 

N 

C 

C 

Slika V.5. - Mjerenje 

u krugu s prekidom faze s otporom R2 i linijskog voda L2 

R3 

R3 

IR3 

IR3 

A 

A 

A 

R2 

R2 

IR1 

IR1 

R1 

IR2 

IR2 

R1 

B 

B 

B

194 

G 

3~ 

7/12V 

50 Hz 

L1 

L2 

L3 

N 

C 

Slika V.6. - Mjerenje u krugu s prekidom faze s otporom R2 

i linijskog voda L1 

Proračun fazne i ukupne snage (fazne snage označene 

su sa PR1, PR2 i PR3): 

Prekid fa ze s otporom R2: 

P 

R1= UL1,L2 ⋅IR1 

=.................=...........W 

PR 2= 

UL2,L3 ⋅IR2 =.................=...........W 

3= 

PR UL3,L1 ⋅IR3 =.................=...........W 

Puk= PR1 

+PR2 +PR3=...........W 

Prekid linijskog voda L1: 

PR1= UL1,L2 ⋅IR1 =.................=...........W 

2= 

PR UL2,L3 ⋅IR2 =.................=...........W 

3= 

PR UL3,L1 ⋅IR3 =.................=...........W 

k= P 

Pu R1 +PR2 +PR3=...........W 

Prekid faza s otporima R1 i R3: 

PR 1= 

UL1,L2 ⋅IR1 =.................=...........W 

2= 

PR UL2,L3 ⋅IR2 =.................=...........W 

PR3 = UL3,L1 ⋅IR3 =.................=...........W 

Puk= 

PR1 +PR2 +PR3=...........W 

R3 

IR3 

A 

IR1 

R1 

B

195 

Prekid faze s otporom R2 linijskog voda L2: 

1= 

PR UL1,L2 ⋅IR1 =.................=...........W 

PR2 = UL2,L3 ⋅IR2 =.................=...........W 

3= 

PR UL3,L1 ⋅IR3 =.................=...........W 

k= P 

Pu R1 +PR2 +PR3=...........W 

Prekid faze s otporom R2 

linijskog voda L1: 

1= 

PR UL1,L2 ⋅IR1 =.................=...........W 

2= 

PR UL2,L3 ⋅IR2 =.................=...........W 

PR 3= 

UL3,L1 ⋅IR3 =.................=...........W 

k= P 

Pu R1 +PR2 +PR3=...........W 

 

Komentar:

196 

BILJEŠKE:

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE Repetitorij s laboratorijskim vježbama

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?