Joone pikkuse ja pöördkeha pindala arvutamine

Joon
Joone pikkuse arvutamine Joon
Vaatame joont Γ : [a, b] → R 3 parameetrilste võrranditega
⎧
⎨
⎩
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
t ∈ [a, b]
Joone alguspunkt A = Γ(a) = (x(a), y(a), z(a)).
Joone lõpp-punkt B = Γ(b) = (x(b), y(b), z(b)).
Definitsioon
Joont nimetatakse siledaks, kui
ja
˙x, ˙y, ˙z ∈ C[a, b]
˙x 2 (t) + ˙y 2 (t) + ˙z 2 (t) = 0 t ∈ [a, b].
G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 1 / 10

Definitsioon
Joone pikkuse arvutamine Joone pikkus
joont Γ : [a, b] → R 3 parameetrilste võrranditega
⎧
⎨
⎩
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
t ∈ [a, b]
nimetatakse sirgestuvaks, kui eksisteerib piirväärtus
lim
max ∆t j →0
j
(∆x j) 2 + (∆y j) 2 + (∆z j) 2
sõltumata lõigu [a, b] osalõikudeks jaotamisest.
Sirgestuva joone Γ pikkus sΓ avaldub kujul
(∆xj) 2 + (∆yj) 2 + (∆zj) 2
sΓ := lim
max ∆t j →0
j
G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 2 / 10

Esimest liiki joonintegraal
Definitsioon
Kui eksisteerib piirväärtus
Joone pikkuse arvutamine Esimest liiki joonintegraal
lim
max ∆s j →0
n
f (Qj)∆sj, j=0
mis ei sõltu joone Γ osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust
osakaares Pj−1Pj (j = 1,. . . , n), siis nimetatakse seda piirväärtust
esimest liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks kaarepikkuse järgi
funktsioonist f mööda joont Γ ja tähistatakse
f (x, y, z)ds
Γ
G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 3 / 10

Lause
Joone pikkuse arvutamine Esimest liiki joonintegraal
Kui s on joone Γ loomulik parameeter (kaare pikkus) s.t.
siis
Γ
⎧
⎨
⎩
x = x(s)
y = y(s)
z = z(s)
f (x, y, z)ds =
sΓ
0
s ∈ [a, b]
f (x(s), y(s), z(s))ds
G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 4 / 10

Lause
Joone pikkuse arvutamine Esimest liiki joonintegraal
Sirgestuva joone Γ korral kehtivad järgmised väited
Γ
1ds = sΓ
Esimest liiki joonintegraal ei sõltu integreerimistee läbimise
suunast.
f (P)ds =
f (P)ds +
f (P)ds, Γ = Γ1 ∪ Γ2
Γ
Γ1
Γ2
c(f (P) + g(P))ds = c f (P)ds + c g(P)ds
Γ
Γ
Γ
Kui m f (P) g(P) M, siis
msΓ f (P)ds
Γ
Γ
g(P)ds MsΓ
G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 5 / 10

Joone pikkuse arvutamine Esimest liiki joonintegraali arvutamine
Esimest liiki joonintegraali arvutamine
Definitsioon
Joont Γ nimetatakse tükiti siledaks kui ta koosneb lõplikust arvust
siledatest osadest
Lause
Kui tükiti sile joon Γ : [a, b] → R 3 on antud parameetrilste võrranditega
siis
Γ
f (P)ds =
b
a
⎧
⎨
⎩
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
t ∈ [a, b]
f (x(t), y(t), z(t)) ˙x 2 (t) + ˙y 2 (t) + ˙z 2 (t)dt.
G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 6 / 10

Näide
8
6
4
2
Γ
Joone pikkuse arvutamine Esimest liiki joonintegraali arvutamine
2yds, Γ :
20 40 60 80 100
x = 4(t − sin t)
y = 4(1 − cos t)
t ∈ [0, 8π]
G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 7 / 10

Näide
Γ
Joone pikkuse arvutamine Esimest liiki joonintegraali arvutamine
3z − x 2 + y 2
⎧
⎨
ds, Γ :
⎩
1
-2 2 4 6
-1
-2
-3
-4
x = t cos t
y = t sin t
z = t
t ∈ [0, 2π]
G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 8 / 10

Pöördpinna pindala
Definitsioon
Sirgestuva joone Γ : [a, b] → R 2
Joone pikkuse arvutamine Pöördpinna pindala
x = x(t)
y = y(t)
SΣ := 2π lim
max ∆t j →0
j
t ∈ [a, b]
pöörlemisel ümber x-telje tekkiva pöördpinna Σ pindalaks SΣ
nimetatakse piirväärtust
y(τj) (∆xj) 2 + (∆yj) 2
kui see piirväärtus ei sõltu lõigu [a, b] tükeldamise viisist ja valikust
τ j ∈ [t j−1, t j].
G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 9 / 10

Pöördpinna pindala
Lause
Sirgestuva joone Γ : [a, b] → R 2
Joone pikkuse arvutamine Pöördpinna pindala
x = x(t)
y = y(t)
t ∈ [a, b]
pöörlemisel ümber x-telje tekkiva pöördpinna Σ pindala SΣ saame
arvutada kasutades esimest liiki joonintegraali
SΣ = 2π
a
b
y(t) ˙x 2 (t) + ˙y 2 (t)dt.
G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 10 / 10